Ahogy arra az előző szakaszokban sokszor utaltunk, a determinisztikus jeleket szinte minden esetben modellezhetjük megfelelően paraméterezett szinuszoidok összegeként. A jelek lehet, hogy eredendően is szinuszos jelek voltak, s csak a szuperpozíció elve alapján adódtak össze, de lehet, hogy már létrejöttükkor is összetett, esetleg tranziens jelek keletkeztek, s ezek összegeit érzékeljük mérőeszközünkkel.
A jelfeldolgozás diszciplinájának fő feladatait az alábbi pontokban foglaljuk össze:
1.
A különböző típusú jelek érzékelését lehetővé tevő mérőeszközök működési tulajdonságainak meghatározása.
Például egy mobiltelefonba épített mikrofonnak és egy stúdió minőségű felvételek készítésére alkalmas mikrofonnak más méret és minőség elvárásoknak kell eleget tennie.
2.
A mérőeszközök által érzékelt jelek mintavételezése. A mérőeszközök első lépésben szinte minden esetben analóg jelet állítanak elő. Az analóg jelek azonban sokszor redundánsak, feldolgozásuk nehézkes. A hatékonyság növelése érdekében a jeleket mintavételezést és kvantálást, egyszóval digitalizálst követően diszkrét mintákkal kell reprezentálnunk.
3.
A mintavételezett jelek tárolása és szükség esetén tömörítése. Mivel sok esetben még a mintavételezett jelek is redundánsak, hatékony tárolásukhoz tömörítő eljárások alkalmazására van szükség.
4.
A mintavételezett és tárolt jelek visszaállítása. Természetes igény, hogy a mintavételezett és tárolt jeleket szükség esetén vissza tudjuk állítani, például egy hanghullámot le tudjunk játszani. A hibátlan visszaállítás elméleti kérdéseinek vizsgálata és gyakorlati megvalósítása a jelfeldolgozás egyik legfontosabb feladata.
5.
A jelek forrásainak szétválasztása. Többnyire számos különböző forrásból érkező jel összegét tudjuk csak detektálni. Például audiofelvételeknél a feldolgozóelektronikából származó termikus zaj mindig hozzáadódik a hanghullámból származó jelhez. Alapvető feladat, hogy a különböző forrásokból származó komponenseket szeparálni tudjuk, s a szeparált jelek tulajdonságai alapján akár a forrásokat is jellemezhessük.
7Arra a kérdésre, hogy miért tekinthetjük a tranziens jeleket végtelen sok szinuszoid összegének, a Fourier-transzformáció bevezetése után kapunk választ.
6.
Sajátságok kinyerése. A jelfeldolgozás alkalmazásai nagyon gyakran a statisztikus tanulóalgoritmusok területéhez kapcsolódóan jelennek meg: amellett, hogy egy jelet detektálni tudunk, sokszor szeretnénk azt automatikusan megkülönböztetni más jelektől, azaz osztályozni. Például egy orvosi szűrő alkalmazásban egy elváltozás képét szeretnénk tudni automatikusan megkülönböztetni egy egészséges szövet képétől. A tanulóalgoritmusok alkalmazásához azonban a sokszor igen hosszú mintasorozatokat alacsony dimenziós vektorokkal kell helyettesítenünk, azaz ki kell nyernünk a detektált jelre legjellemzőbb sajátságokat.
Az első pontban megfogalmazott feladat egy szűkebb, a villamosmérnöki tudományokhoz közel álló terület, a méréstechnika feladata. A méréstechnika szabványairól, módszereiről, az egyes mérőeszközök működésének hátteréről az olvasó részletes leírást találhat a [10] forrásban.
A jegyzet hátralévő részében bevezetjük azt a matematikai apparátust, mellyel a felsorolás további pontjaira adhatunk válaszokat. Ha a Fourier-elmélet és a fenti felsorolás pontjainak kapcsolatát egyetlen mondatban kellene jellemeznünk, azt úgy tehetnénk meg, hogy a Fourier-eszközök lehetővé teszik, hogy egy összetett jelet egyszerűbb függvények (szinuszoidok) összegére bontsunk, s fent megfogalmazott feladatokat ezen szinuszoidokon elvégzett műveletekre vezessük vissza.
7. Összefoglalás
Jelen fejezetben megpróbáltuk példákon keresztül szemléltetni, hogy mit is jelent a jelfeldolgozás és általánosságban mit értünk a jel fogalma alatt.
Egyszerű példákon keresztül beláttuk, hogy mechanikai vagy elektronikai elrendezések megoldásai a tapasztalati törvények alapján szinuszoid függvényekkel írhatók le, azaz a függvény matematikai absztrakciója számos helyen megjelenik környezetünkben, s bevezettük a szinuszos hullámok leírására alkalmazott fizikai alapfogalmakat.
Bemutattuk a hullámegyenleteket, melyek mechanikai vagy elektromágneses anomáliák, zavarok terjedését írják le. És megpróbáltuk messzevezető matematikai fejtegetések nélkül, kvalitatívan értelmezni a megoldásként előálló függvények tulajdonságait. Kiemeltük, hogy a hullámegyenleteknek azt a tulajdonságát, hogy megfelelően paraméterezett szinuszoidok megoldását képezhetik, s ezek összege is kiegyenlíti a hullámegyenleteket. „Megsejtettük” továbbá, hogy megfelelő körülmények között szinte minden függvény, amely kielégíti ezen egyenleteket, felbontható egyszerű szinuszoidok összegére. Példaként részletesen megvizsgáltunk néhány elemi interferenciajelenséget, s elsősorban az interferenciajelenségeknél megfigyelt tulajdonságok alapján csoportosítottuk a gyakorlatban megjelenő jeleket.
A jegyzet hátralévő fejezeteiben lépésről lépésre építjük fel a Fourier-elméletet, melynek eszközei lehetővé teszik, hogy sejtésünket beigazolva nem túl erős megszorítások mellett szinte minden jelet felbonthassunk szinuszoidok súlyozott összegére, s a jelfeldolgozás legfontosabb feladatait ezen szinuszoidok vizsgálatára vezessük vissza.
8. Feladatok
3.8.1. Feladat. (**) Behelyettesítéssel lássa be, hogy a
függvény és választással, azaz a szobahőmérsékletű
levegőben a zenei A hang terjedését leíró függvény valóban megoldása a
hullámegyenletnek.
3.8.2. Feladat. (*) Határozza meg az előző feladatban szereplő hanghullám hullámhosszát, hullámszámát térfrekvenciáját, periódusidejét, amplitúdóját, kezdőfázisát és körfrekvenciáját!
3.8.3. Feladat. (**) Lássa be, hogy ha a rugóerőtől hatása alatt mozgó test mozgását leíró
függvényt alakban keressük, akkor az
alakban keresett megoldással összehasonlítva és teljesül!
3.8.4. Feladat. (*) Tekintsünk az hullámfüggvényt, mely egy időbeli rezgést ír le. Milyen fáziskülönbség van a rezgés azon állapotai között, amelyek egymástól időben távolságra vannak?
3.8.5. Feladat. (*) Mekkora egy az 600 nm hullámhosszú látható fény frekvenciája?
Mekkora a 103.5 MHz-es frekvencián sugárzott rádióadás elektromágneses hullámainak hullámhossza? Mekkora a 440 Hz frekvenciájú zenei A hang hullámainak hossza ha a hanghullámok terjedési sebessége a levegőben 340 m/s?
3.8.6. Feladat. (*) A zenében egymástól egy oktáv távolságra van két hang, ha a nagyobbik és kisebbik frekvenciájú hang hányadosa éppen kettő. A zenei alaphangok rendre kezdőfázisa 0. Határozza meg a függvényt, amely leírja a hullám kitérését a hullámforrástól x távolságra a rezgés indulását követő t időpillanatban!
3.8.8. Feladat. (***) Tekintsük a következő elrendezést: egy koordinátarendszer origójában, valamint a és pontokban egy-egy mikrofont helyeztünk el. Az origótól az térfélen legfeljebb -re eltávolodó objektum mozog, melyen egy hangszóró található, s a hangszóró állandó f frekvenciájú hangot bocsát ki. Mekkora lehet f maximális értéke, ha azt szeretnénk elérni, hogy a mozgó test pozíciójától függetlenül a hangszóróból induló hanghullám a mikrofonokba kevesebb, mint egy periódusidőn belül érkezzen meg. A hang sebességét tekintsük -nak.
3.8.9. Feladat. (***) Tekintsük az előző feladat elrendezését és tegyük fel, hogy a hangszóró olyan frekvenciájú hangot bocsát ki, amely a mikrofonokhoz egy periódusidőn belül érkezik meg. Tegyük fel, hogy a három mikrofon nagyon gyors feldolgozó elektronikával rendelkezik, így minden időpillanatban rendelkezésünkre áll az egyes mikrofonpárok által érzékelt hanghullámok fáziskülönbsége. Dolgozzon ki eljárást a fáziskülönbségek alapján a hangot kibocsátó test pozíciójának meghatározására!
3.8.10. Feladat. (**) Tegyük fel, hogy London térségéből 3 méter amplitúdójú, kezdőfázisú hullám indul az Atlanti-óceánon keresztül, sebességgel New York felé. Ezzel egyidőben New Yorkból sebességgel terjedő, 0 kezdőfázisú, 4 méter amplitúdójú hullám indul London felé. A hullámok nem csillapodnak, körfrekvenciájuk egyaránt és forrásuk centruma 5576 km távolságra van. Határozza meg, hogy Londontól hány kilométerre találkoznak a hullámok és a találkozási ponton milyen amplitúdójú hullám alakul ki!
3.8.11. Feladat. (**) Az előző feladat elrendezésével határozza meg, hogy milyen sebességgel kellene haladnia a New York-ból induló hullámnak, hogy a találkozási ponton a hullámok maximálisan erősítsék egymást?, kioltsák egymást?
3.8.12. Feladat. (**) Egy koordinátarendszer origójában lévő testhez két azonosan k rugóállandójú rugót rögzítünk, a rugók másik rögzítési pontja a és pozíciókban van. Milyen mozgást végez a test, ha úgy engedjük el, hogy előtte a pontba mozdítjuk?
3.8.13. Feladat. (**) Egy nem tökéletesen hangolt gitáron két A hangot szólaltatunk meg, az egyik 440Hz-en szól, míg a másik 445 Hz-en. Ingadozó erősségű hangot hallunk. Mekkora a hangerősség ingadozásának frekvenciája? Milyen hosszú idő telik el az egymást követő leghangosabb hangok között?
3.8.14. Feladat. (**) Adott egy hullámcsomag, mely időbeli változása a
függvénnyel írható le. Határozza meg azt a időt, melyben a hullám amplitúdója a maximlis amplitúdó század részére csökken!
3.8.15. Feladat. (**) Mely intervallumba tartozó körfrekvenciájú hullámok integráljaként áll elő a
függvénnyel leírható hullámcsomag?
3.8.16. Feladat. (**) Írja fel a hullámcsomag csak időben értelmezett függvényét úgy, hogy az egy a térben v sebességgel csak x irányba terjedő hullámcsomagot írjon le! Igazolja, hogy az így kapott függvény megoldása a hanghullámok tárgyalásánál bevezett hullámegyenletnek!
3.8.17. Feladat. (**) Határozza meg a
hullám alapharmonikusának frekvenciáját!
3.8.18. Feladat. (*) Periodikus függvények lesznek-e az alábbi hullámok összegei, s ha igen, mekkora a periódusidő?
.
3.8.19. Feladat. (***) Készítsen C nyelvű programot, amely kiszámítja a
függvény értékeit a intervallum 1000 pontjában, s ábrázolja a függvény értékeit grafikusan. Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a kirajzolódó függvénygörbe?