A Fourier-sorfejtés, Fourier-transzformáció, és a Hilbert-terek, amelyek használatuk keretét adják absztrakt matematikai konstrukciók. Gondolná bárki, hogy a természet is produkál Fourier-transzformációt, illetve Fourier-sorfejtést?
8.1. Fraunhofer-diffrakció
Jelen szakaszban egy olyan, a természetben is lejátszódó fizikai jelenséget írunk le röviden, amely makroszkopikus értelemben Fourier-transzformációnak tekinthető: ez a jelenség a Fraunhofer-diffrakció.
A fény elektromágneses hullám, a terjedését leíró függvények a korábban bevezetett elektromágneses hullámegyenletek megoldásai. A lehetséges megoldások egyik legegyszerűbbike a monokromatikus gömbhullám, melynek amplitúdóját a
függvénnyel írhatjuk le a fényforrástól r távolságra t időben, ahol a rezgés körfrekvenciája, k a hullámszám és jelöli az amplitúdót, ami a távolság függvényében csökken. Nem lenne szükséges feltétlenül komplex kifejezéseket használnunk, azonban a számítások egyszerűsítése végett a kapcsolódó tudományterületeken ez a
bevett szokás, így mi is ezt követjük. A hullám kezdeti amplitúdója lehet például az elektromágneses térerősség E, s ekkor a hullám az elektromágneses térerősség változását írja le.
Ha időtől függetlenül szeretnénk vizsgálni egy gömbhullám hullámterét, akkor azt egy időpillanatban a
függvény írja le. Az egyszerűség kedvéért vizsgálódjunk a pillanatban. Ekkor könnyen látható, illetve behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a forrástól r távolságra az amplitúdó -szeresére változik.
A Huygens–Fresnel-elv értelmében a fény terjedése modellezhető úgy, hogy a fényforrás minden pontjából gömbhullámok indulnak, s a hullámtér egy pontjában ezen elemi hullámok összegeként kapjuk a az ott mérhető amplitúdót. A Huygens–Fresnel-elv nem veszi figyelembe a hullámok távolsággal történő gyengülését, hogy a Huygens–Fresnel-elv szerint egy elemi gömbhullám forrásától r távolságra -szeresére változik az amplitúdó. Megjegyezzük, hogy az faktor elhagyása nem vezet téves eredményre, hiszen a Huygens–Fresnel-elv csak egy, az egyszerűbb számítások kedvéért bevezetett, de a valósággal összeegyeztethető eredményekre vezető modell.
Tekintsük a 6.15-a. ábrát. Tegyük fel, hogy az ábrán az síkban látható rés (fizikai megnevezése apertúra) pontjaiban a fény amplitúdóját az függvény írja le.
A résből az ernyő felé tartó fény legyen monokromatikus, k hullámszámmal, és az ernyő legyen nagy távolságban a réstől. A kérdés az, hogy milyen intenzitáseloszlás alakul ki az ernyőn?
Az ernyő egy tetszőleges pontjába a rés pontjából induló fénynyaláb
fáziseltolással fog érkezni, vagyis az amplitúdó szorzó faktorral változik, ahol az r függvény a rés síkjában elhelyezkedő és az ernyőn elhelyezkedő pontok távolságát adja. A pontból induló fénysugár járuléka a pontban megjelenő eredő amplitúdóhoz így . A Huygens–Fresnel-elv értelmében a P pontban megjelenő eredő amplitúdót úgy kapjuk, hogy az apertúra minden pontjától származó járulékot összegzünk, vagyis
speciálisan, téglalap alakú apertúra esetén
egy dimenziós apertúra, azaz nagyon vékony rés esetén
ahol a C konstans minden esetben egy fizikai állandókat és arányossági tényezőket magába foglaló konstans.
Másként fogalmazva, az eredő térerősség eloszlást az apertúra térerősségeloszlásának Fourier-transzformáltjával írhatjuk le.
Hogy lássuk, a fenti kifejezések valóban Fourier-transzformációt adnak, tekintsük át az (6.106) kifejezés szerkezetét. A komplex exponenciális tag exponensében szereplő k érték állandó, a fény hullámhosszától függő
érték. Ha az ernyő és az apertúra közötti távolság z, akkor
. Utóbbi közelítést Taylor-sorba fejtéssel kaptuk. A közelítésben szereplő z tag elhagyható, hiszen az integrálba helyettesítve egy, az ernyő és a rés távolságától függő szorzó konstansként jelentkezik, így a C-be beolvasztható. Ha a maradék tagokat kifejtjük, akkor adódik. Az utolsó tagból adódó szorzó tényezőt kiemelhetjük az integrál elé, s a C konstansba olvasztva egy -től függő függvényt kapunk. Az első tagból adódó
tényező közelítőleg 1 értéket vesz fel, ha az ernyő és a rés z távolsága kellően nagy. Ezen utóbbi közelítésre hivatkozunk Fraunhofer-közelítésként. A középső tagot nem ignorálhatjuk, ugyanis a negatív előjel miatt a belőle származó tényező alakú, ami x és függvényében még nagy z esetén is érzékenyen változik, hiszen az exponens x-től és -től függően negatív vagy pozitív is lehet. Végül tehát a
alakhoz jutunk, ami már valóban megfelel a fejezetben tárgyalt Fourier-transzformáció formulájának.
Ha az eloszlás intenzitáseloszlás konstans, azaz a résben, s a résen kívül zérus, akkor tulajdonképpen egy megfelelően paraméterezett téglalapfüggvény. Egydimenziós rés diffrakciós képe így a függvényhez hasonló intenzitásviszonyokat kell, hogy mutasson. Az 6.15-b. ábrán2 egy valódi, egyréses diffrakciós minta látható, s valóban felismerhetjük benne a függvény formáját.
6.15-a. Diffrakció geometria
2Az ábra az MIT Department of Physics Technical Services Group weblapjáról származik.
6.15-b. Egyréses diffrakció
8.2. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció
Középiskolai fizika tanulmányaiból ismerős lehet az olvasónak az a fogalom, hogy a fény kettős természetű.
Egyrészt hullám tulajdonságokat mutat, hiszen az interferencia jelenségek kiválóan leírhatók a kezdetben mechanikai hullámokra kidolgozott matematikai eszközökkel, ugyanakkor részecske természetet is mutat, melynek egyik legszemléletesebb bizonyítékául a fénynyomás jelensége, illetve leírása szolgál. Huygens holland fizikus és matematikus a 17-edik század második felében dolgozta ki a fény hullámtermészetének leírását, a róla elnevezett Huygens-elvet, míg ezzel egyidőben Newton a fény részecsketermészetéről adott leírást.
A kérdést a 20-adik század elejéig nem sikerült megválaszolni. A kvantummechanika megjelenése azonban megdöbbentő eredményekre vezetett: nemcsak a fény kettős természetű, hanem az elemi részecskék is, például az elektronok, neutronok és maguk az atomok is. Ennek bizonyítékául diffrakciós kísérletek szolgáltak, melyekben egy vékony résen elektron- vagy éppen neutronnyalábot lőttek át, s a másik oldalon ugyanolyan diffrakciós képeket kaptak, mint a fény esetén.
Az elektron kettős természetéhez kapcsolódóan már középiskolában találkozhatott az olvasó azzal a jelenséggel, hogy egy elektronnak nem ismerhetjük egyszerre a helyét és a sebességét. Ha a helyét nagy pontossággal meg tudjuk határozni, akkor a sebességéről (vagy tömegével szorozva az impulzusáról) csak annyit mondhatunk, hogy az egy intervallumba esik, s hasonlóan, ha pontosan meghatározzuk a sebességét, akkor a helyéről csak annyit mondhatunk, hogy az egy intervallumba esik. Az intervallumok hossza attól függ, hogy mennyire pontosan tudjuk meghatározni az elektron helyét, illetve sebességét. Ezen állítás a kvantummechanika egyik alapvető eredménye, s Heisenberg-féle határozatlansági elvnek3nevezzük.
Hogyan kapcsolódik ehhez a Fourier-transzformáció? A kvantummechanikában a részecskék helyét és impulzusát4 egy-egy valószínűségi sűrűségfüggvénnyel írhatjuk le, azaz a részecske helyéről és impulzusáról is csak annyit mondhatunk, hogy bizonyos valószínűséggel beleesik egy intervallumba. Belátható azonban, hogy a részecske helyét és impulzusát leíró sűrűségfüggvények között a Fourier-transzformáció termet kapcsolatot.
Gondoljunk most vissza a Fourier-transzformáció idő- és frekvenciaskálázására vonatkozó tulajdonságára, vagy még szemléletesebben a Gauss-féle sűrűségfüggvény Fourier-transzformáltjára. Ha a részecske sebességét a Gauss-féle sűrűségfüggvénnyel írhatjuk le, akkor a részecske impulzusát is egy Gauss-féle sűrűségfüggvény fogja leírni. Minél biztosabban határozzuk meg a részecske helyét, annál kisebb a részecske helyének valószínűségét leíró Gauss-sűrűségfüggvény szórása, azaz a függvény összehúzódik az origó köré. Ugyanakkor a Fourier-transzformáció tulajdonságai miatt a részecske impulzusát, így sebességét jellemző Gauss-sűrűségfüggvény szórása növekedni fog, azaz a sebességet nagyobb bizonytalansággal, nagyobb hibával ismerhetjük.
A Heisenberg-féle határozatlansági reláció makroszkopikus világunkban nem okoz gondot, mert mérőeszközeink nagyságrendekkel pontatlanabbak, mint a Heisenberg-féle határozatlanságból eredő hiba mértéke. Ugyanakkor a határozatlansági reláció a közeljövőben, de bizonyos tekintetben már most is meghatározza a technológiai fejlődés határait, hiszen a kvantumszámítógépek nagy problémája például, hogy atomi skálán a határozatlansági reláció miatt nehéz pontos méréseket, megfigyeléseket végezni, így információt tárolni és előhívni.
A Heisenberg-féle határozatlansági reláció a kvantummechanika egyik legalapvetőbb eredménye, világunk egyik legjellemzőbb és legmélyebb sajátsága és rövid leírásunkból érezhetjük, hogy ennek leírását és értelmezését is átszövi a Fourier-transzformáció.