A Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tétel

7.1.2. Definíció. (Mintavételezés) Mintavételezésnek nevezzük azt a folyamatot, amikor egy folytonos függvényt diszkrét függvénnyé redukálunk. Az függvény T mintavételezési idővel történő mintavételezésével kapott függvényt módon jelöljük.

A mintavételezés témakörének fő kérdése az, hogy milyen körülmények között lesz az eredeti függvénye visszaállítható a mintákból, azaz milyen körülmények között, mely feltételek teljesülése esetén tudjuk hibátlanul visszaállítani -ből?

7.1.3. Definíció. (Körfrekvencia-korlátos függvény) Jelölje a függvény Fourier-transzformáltját, ha létezik olyan , szám, amelyre , ha

, akkor az függvényt körfrekvencia-korlátosnak nevezzük B korláttal.

Egy frekvenciakorlátos függvény tehát azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy Fourier-transzformáltja csak egy véges origó körüli környezetben vesz fel nullától különböző értéket.

7.1.2. Tétel. (Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tétel) Legyen f egy körfrekvencia-korlátos függvény B korláttal. Ekkor a függvény hiba nélkül előállítható a mintáiból, ha a mintavételezés körfrekvenciájára

teljesül, azaz a mintavételezési időköz . Körfrekvencia helyett frekvenciával

kifejezve és .

Bizonyítás. Az előző fejezetben megismerkedtünk a Fourier-transzformációval, s beláttuk, hogy egy függvény az Fourier-transzformáltjából egyértelműen előállítható, és a függvénytérben használt metrika tekintetében kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást, az -ból inverz Fourier-transzformációval előálló függvény és távolsága zérus. Egy mintavételezett függvényből az eredeti függvényt rekonstruálhatjuk, ha a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltjából valamilyen

módon ki tudjuk szűrni az eredeti függvény Fourier-transzformáltját. Erre ugyanis inverz Fourier-transzformációt alkalmazva visszakapjuk az eredeti függvényt.

Nézzük, mi történik frekvenciatérben a mintavételezés során.

A konvolúciós tétel alapján az eredeti függvény és a Dirac-fésű pontonkénti szorzatának Fourier-transzformáltja a függvények Fourier-transzformáltjainak konvolúciójaként is megkapható, azaz

ahol -vel jelöltük Fourier-transzformáltját.

Feltételeztük, hogy az f függvény körfrekvencia-korlátos, azaz Fourier-transzformáltja csak a intervallumban tartalmaz nem 0 együtthatókat. A Dirac-fésű Fourier-transzformáltjáról pedig tudjuk, hogy az is egy Dirac-fésű lesz. Ismerve a Dirac-fésűvel vett konvolúció tulajdonságait, a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltja az eredeti függvény Fourier-transzformáltjainak másolataiból fog állni. A másolatok a Dirac-fésű Fourier-transzformáltjának Dirac-deltáiba lesznek eltolva, ezek pedig éppen periódussalhosszal követik egymást a frekvenciatérben.

Az eredeti és mintavételezett függvény Fourier-transzformáltjai tehát abban különböznek, hogy a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltja az eredeti függvény periodikus másolatainak összegeként áll elő.

A mintavételezett függvény Fourier-transzformáltjából ( ) úgy nyerhetjük ki az eredeti függvény Fourier-transzformáltját ( ), hogy annak másolatai közül kimaszkolunk egyet, azaz pontonként szorozzuk egy olyan függvénnyel, amely a

tartományban 1-et, azon kívül pedig 0-t vesz fel. Másként fogalmazva pontonként szorozzuk egy megfelelően paraméterezett függvénnyel.

Legyen a mintavételező Dirac-fésű körfrekvenciája Fourier-térben.

Frekvenciatérben az másolatai éppen távolságra kerülnek egymástól. Optimális esetben, ha a másolatok nem érnek össze, így nem fednek át, a

függvénnyel történő pontonkénti szorzás éppen egy példányát fogja eredményezni, azaz

teljesül, így az függvényt inverz Fourier-transzformációt alkalmazva visszakaphatjuk, nevezetesen

Ahhoz azonban hogy ez működjön, teljesülnie kell annak a feltételnek, hogy frekvenciatérben az másolatai nem fednek át. Ennek pedig az a feltétele, hogy a körfrekvenciakorlátra teljesül, azaz . Körfrekvenciáról frekvenciára áttérve a reláció nem változik: , , így kell, hogy teljesüljön. Időtartományban a mintavételezési időre adódik.

A Shannon-Nyquist-féle mintavételezési tétel a jelfeldolgozás elméletének egyik legfontosabb eredménye, mivel ismerve egy jel fizikai tulajdonságait, a tétel segítségével meghatározhatjuk azt a mintavételezési időt, mely használata esetén az eredeti jel hibátlanul visszaállítható.

7.1.2. Megjegyzés.

1.

Megjegyezzük, hogy a Shannon-Nyquist tétel nem ad szükséges feltételt egy jel visszaállíthatóságára, a csak elégséges feltétel. Ha a feltétel teljesül, a jel biztosan hibátlanul rekonstruálható. Speciális esetekben azonban akkor is rekonstruálható a jel, ha a feltétel nem teljesül.

2.

A tétel csak alsó korlátot ad a mintavételezési körfrekvenciára, így végtelen sok olyan mintavételezési idő van, ami teljesíti ezt a feltételt. Ugyanakkor általában a korláthoz közel eső, a feltételnek még éppen megfelelő körfrekvenciákat szoktunk választani, ugyanis minél nagyobb mintavételezési frekvenciát választunk, annál kisebb lesz a mintavételezési idő, azaz annál több mintát kell vennünk egységnyi idő alatt. Mivel számítógépes mérőrendszerek esetén a rendelkezésre álló tárkapacitás véges, ezért célszerű egységnyi idő alatt a lehető legkevesebb mintát vételezni, így a lehető legnagyobb mintavételezési időt és legkisebb mintavételezési frekvenciát választani.

7.1.4. Definíció. (Aliasing) Azt a jelenséget, amikor a rosszul megválasztott mintavételezési frekvencia miatt a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltjában az eredeti függvény Fourier-transzformáltjának másolatai összeérnek, aliasing-nak nevezzük.

Aliasing esetén nem tudjuk előállítani az eredeti függvény spektrumát a mintavételezett függvény spektrumából, mert az átfedő részeken a spektrum másolatai a konvolúció miatt összeadódnak és ezek szétválasztásához nem rendelkezünk információval.

7.1.5. Definíció. (Nyquist-(kör)frekvencia) A Shannon-Nyquist-tételben szereplő, megengedett mintavételezési (kör)frekvenciák alsó korlátját Nyquist-(kör)frekvenciának nevezzük.

1.3. Példa

A Shannon–Nyquist-tételt és bizonyítását sematikusan a 7.3. ábrán szemléltetjük. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy a függvény, melyből mintavételezni kívánunk a

függvény (7.3-a. ábra). Tudjuk, hogy a függvény Fourier-transzformáltja a

amit a 7.3-c. ábrán vizualizáltunk. Emlékeztetőül a háromszögfüggvény explicit alakja:

így könnyen látható, hogy a függvény körfrekvenciakorlátos korláttal. Ennek megfelelően a mintavételezési körfrekvenciára kell, hogy teljesüljön. Válasszuk a

Nyquist-frekvenciát, azaz , s így a mintavételezési időre adódik. Ebből

kifolyólag a mintavételező Dirac-fésű

lesz (7.3-b. ábra). A mintavételező Dirac-delta Fourier-transzformáltja

amit a 7.3-d. ábrán jelenítettünk meg. A mintavételezés eredményeként előálló pontokat a 7.3-e. ábrán reprezentáljuk, míg a mintavételezett függvény Foureir-transzformáltját a 7.3-f. ábrán. Jól látható, hogy a Nyquist-frekvencia kiválasztása miatt a Fourier-transzformált másolatai éppen nem érnek össze, így egy megfelelően paraméterezett függvénnyel pontonként szorozzuk, ki tudunk nyerni egyet közülük. A 7.3-g.

ábrán az említett függvény látható, míg a 7.3-h. ábrán a pontonkénti szorzás eredményeként megkapott egyetlen függvény. A szemléletesség kedvéért a 7.3-h. ábrán szaggatott vonallal ábrázoltuk azon másolatokat, amelyek a -tel való pontokkénti szorzás hatására eltűnnek.

7.3. ábra. A mintavételezés szemléltetése 7.3-a. A mintavételezendő függvény

7.3-b. A mintavételező Dirac-fésű

7.3-c. A Fourier-transzformáltja

7.3-d. A Dirac-fésű Fourier-transzformáltja

7.3-e. A mintavételezés

7.3-f. A mitnavételezés hatása frekvenciatérben

7.3-g. A maszkolásra használt függvény

7.3-h. A maszkolás eredményeként csak a középső függvény marad.