1. A mintavételezési tétel
1.4. A Shannon–Whittaker-féle interpolációs formula
Az előző szakaszban a Shannon–Nyquist tétellel elégséges feltételt adtunk arra, hogy mikor rekonstruálhatunk egy függvényt pontosan annak mintáiból. A feltétel kimondásához nem kellett a függvény rekonstrukciójának módját megfogalmaznunk, elegendő volt felvázolni annak menetét. Jelen fejezetben megvizsgáljuk, hogy pontosan hogyan is rekonstruálhatunk egy függvényt annak mintáiból, feltéve, hogy teljesült a mintavételezési tételben megfogalmazott feltétel.
Első lépésként azonban be kell látnunk egy újabb összefüggést egy függvény transzformáltja és Fourier-sorfejtése között.
7.1.3. Tétel. (Poisson-összegzés) Legyen egy olyan függvény, melynek létezik Fourier-transzformáltja, s tegyük fel, hogy a Fourier-transzformáltból inverz Fourier-transzformációval előállítható. Ekkor
és
teljesül, ahol .
Bizonyítás. Definiáljuk a függvényt módon.
Könnyen látható, hogy ezen G függvény periodikus periódussal. Határozzuk meg a Fourier-sorfejtésből adódó Fourier-együtthatóit:
Az utolsó előtti lépésben kihasználtuk a Fourier-transzformáció dualitás tulajdonságát, és azt, hogy az exponenciális kifejezés úgy értelmezhető, mintha Fourier-transzformációval az eredeti függvény értékét szeretnénk meghatározni az helyen.
Felhasználva a Fourier-sorfejtés együtthatóit, a G függvényt előállíthatjuk az alábbi alakban:
Ezzel az állítás második részét beláttuk, a maradék három eset analóg módon bizonyítható.
7.1.3. Megjegyzés. A Poisson-összegzésről szóló állítás szerint ha adott egy függvény, melynek értékeit periodikusan összegezzük, akkor az így kapott összeget megkaphatjuk a Fourier-transzformált súlyozott periodikus összegzésével is. Másként fogalmazva, ha periodikusan összegzünk egy függvényt, az így kapott periodikus függvény Fourier-együtthatói rendre az függvény Fourier-transzformáltjának periodikusan elhelyezkedő értékeiként adódnak.
7.1.4. Tétel. (Shannon–Whittaker-formula) Az f függvényt a mintavételezett függvényből az alábbi formula alapján állíthatjuk elő:
Bizonyítás. Ha a mintavételezési tételben megfogalmazott feltétel teljesül, akkor az eredeti függvény spektrumából egy megfelelő maszkolást követően inverz Fourier-transzformációval kapjuk vissza az eredeti függvényt. Jelölje a mintavételezett függvény Fourier-transzformáltját. A Dirac-fésűvel történő konvolúció tulajdonságaiból látható, hogy
Ahogy azt a Shannon–Nyquist tétel bizonyításában levezettük, az eredeti f függvényt
módon kaphatjuk vissza. Alkalmazzuk a Poisson-összegzés formuláját az állításban szereplő periodikus függvényre:
Hajtsuk végre az inverz Fourier-transzformációt. Tudjuk, hogy a függvény a függvény Fourier-transzformáltja, így az inverz Fourier-transzformációt követően a függvény függvénnyé transzformálódik. Az szorzó faktor az idő paraméter
-vel történő eltolásának felel meg, így a szögletes szárójelben szereplő kifejezés inverz Fourier-transzformáltja paraméter jelenik meg. A függvény körfrekvencia paramétere azonban skálázva van. A Fourier-transzformáció skálázásra vonatkozó
tulajdonsága alapján tudjuk, hogy a függvény inverz Fourier-transzformáltja lesz. Kihasználva, hogy ,
ahol a függvényt normalizált függvénynek nevezzük, és
módon értelmezzük.
1.5. Példa
A Shannon–Whittaker interpolációs formula használatának szemléltetésére folytassuk az előző szakaszban bemutatott példát a függvény mintáiból történő visszaállításával.
7.4. ábra. A Shannon–Whittaker-formula használatának szemléltetése
7.4-a. A Shannon–Whittaker-formulában megjelenő függvények (kék) és az eredeti függvény (piros).
7.4-b. A Shannon-Whittaker-formulában összege
Mivel a mintavételezési idő volt, a A Shannon–Whittaker formula szerint a
módon vissza kell kapnunk az eredeti, mintavételezett függvényt. Vegyük észre, hogy a formulában a függvénynek csak diszkrét mintáit használjuk.
Hogy könnyebb legyen a formula működésének elképzelése, a 7.4-a. ábrán az eredeti függvényt pirossal, míg a (7.38) összegzésben szereplő súlyozott függvényeket kékkel ábrázoltuk. Az egyes függvények látszólag változatosan hullámzanak, azonban ha pontonként kiszámítjuk ezen függvények összegét (7.4-b. ábra), akkor látható, hogy pontosan a függvényt kapjuk, melyből mintavételeztünk.
A teljesség és a félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy annak, hogy az interpolációs formulában függvények szerepelnek, semmi köze sincs ahhoz, hogy mi most éppen a függvényből mintavételeztünk. Azért a függvényt választottuk, mert a frekvenciatérben megjelenő háromszög függvénnyel könnyű volt szemléltetni a Shannon-féle mintavételezési tétel állítását.
1.6. Alkalmazások
A Shannon-féle mintavételezési tételt számtalan helyen alkalmazzák a gyakorlatban:
• Közismert, hogy az emberi fül hallóképessége a 20-20000 Hz-es tartományra terjed ki (a zenei A hang frekvenciája 440 Hz). A 20000 Hz fölötti frekvenciájú akusztikus hangokat nem vagyunk képesek érzékelni.
A 20000 Hz természetesen csak egy közelítő érték, emberről-emberre, illetve a életkorral is változik. Ahhoz, hogy 20000 Hz alatti frekvenciákat hibátlanul vissza tudjunk állítani, a mintavételezési tétel szerint 40000 Hz frekvenciától nagyobb mintavételezési frekvenciával kell dolgoznunk. A gyakorlatban ezt túlbecsülték, hogy többé-kevésbé minden, emberek által érzékelt hangot rekonstruálni tudjanak, így az audiótechnikában elfogadott szabványos mintavételezési ráta 44.1 kHz CD minőséghez, és 48 kHz professzionális audió felvételekhez. Előbbi azt jelenti, hogy 22.05 kHz-es frekvenciáig lehet minden komponenst hibátlanul rekonstruálni, utóbbi esetén pedig 24 kHz-ig.
• Telefonokon azért nem lehet megfelelő minőségben például zenét továbbítani, mert az emberi beszéd fő frekvenciakomponensei az 3-4000 Hz tartományba esnek. Ennek megfelelően a telefonok mintavételezése csak 8kHz mintavételezési frekvenciával történik a G.711 szabvány szerint.
• Digitális fényképezőgépek, videókamerák esetén térbeli, valamint térben és időben változó jelek jelennek meg, s ezek jellege befolyásolja azt, hogy milyen képeket, struktúrákat tudunk a számunkra szükséges részletességgel rögzíteni. Mivel a fényképezés vagy videofelvétel tárgyát képező szcénáról nincs általános információnk, így a mintavételezés pontosságát a hardver lehetőségei korlátozzák elsősorban. Ezen területeken is találkozhatunk azonban aliasing jelenségekkel, ilyen például a szekérkerék-effektus, amikor egy forgó kerék vagy propeller egy videófelvételen úgy tűnik, hogy lassabban és esetenként visszafelé forog.
Hasonlóan, aliasing jelenség van a háttérben, mikor egy sűrű, apró mintázatú tárgyról képfelvételt készítünk, s a mintavételezés pontosságának köszönhetően az apró minták nem értelmezhetők, viszont nagyobb struktúrákat, ún. de Moire mintázatot alkotnak. Az ??. ábrán2 két különböző felbontásban készült kép látható egy téglafalról. A bal oldali kép megfelelően nagy felbontású ahhoz, hogy a téglafal mintázatát visszaadja, a jobb oldali kép azonban kisebb felbontású, azaz nem megfelelő mintavételezési frekvenciával készült ahhoz, hogy a téglamintázatot láthassuk rajta. Az apró téglák mintázata helyett azonban megjelenik egy nagyobb, hullámzó de Moire mintázat.
7.5. ábra. Egy téglafal kis és nagy felbontású képe.
2A képek a Wikipedia Aliasing oldaláról származnak.