A Fourier-transzformáció alkalmazásai a fizika, a matematika, az informatika és a villamosmérnöki tudományok elméleti és gyakorlati területein egyaránt megjelennek. A következő fejezetben ismertetésre kerülő mintavételezési tétel alapján akár úgy is fogalmazhatunk, hogy valahányszor digitálizált jelekkel dolgozunk, azt a Fourier-transzformáció egy alkalmazása előzi meg, így nagyon nehéz kiemelni és bemutatni egy-egy konkrét alkalmazást.
A diszkrét, digitális jelek szűréséhez és analíziséhez kapcsolódó alkalmazásokat a diszkrét Fourier-transzformációt feldolgozó fejezetben tárgyaljuk majd részletesen, jóllehet ezek a folytonos esetre, akár áramköri elemekre is átültethetők.
Az alkalmazások közül most inkább egy igen szemléletes eljárást, a Röntgen-krisztallográfiát emeljük. Mint azt korábbi fejezetekben már említettük, a Röntgen-sugarak elektromágneses hullámok, csakúgy, mint a látható fény. A látható fénnyel összehasonlítva a különbség az, hogy Röntgen-sugarak hullámhossza jóval rövidebb, a 0.01–10 nm-es tartományba esik. Ez a hullámhossztartomány ugyanakkor megfelel az atomi méretek tartományának.
3A már sokszor említett kvantummechanika atyjának a Nobel-díjas elméleti fizikust, Werner Heisenberg-et (1901–1976) tekinthetjük.
4Emlékeztetőül az impulzus vagy másnéven lendület a részecske tömegének és sebességének szorzata, mivel azonban a tömeget egyszerű esetekben állandónak tekinthetjük, az impulzus ismerete ekvivalens a sebesség ismeretével.
A krisztallográfia célja a szilárdtestek, kristályok atomi nagyságrendű szerkezetének, tulajdonságainak feltárása és vizsgálata. A Röntgen-krisztallográfia alapját az előző szakaszban bemutatott diffrakciós kísérletek képzik.
Ahhoz, hogy a diffrakció működjön, az elektromágneses hullám hullámhosszának összemérhetőnek kell lenni a hullám útjába helyezett akadály méretével. Mivel a Röntgen-sugarak hullámhossza épp az atomi méretek nagyságrendjének megfelelő, a kristályrácson áthaladó Röntgen-sugarak éppen úgy viselkednek, mint a mikrométeres nagyságrendű résen áthaladó látható fénysugarak – diffrakciós képet alakítanak ki. A diffrakciós mintázat pedig szoros kapcsolatban áll az akadály képének, pontosan fogalmazva a Röntgen-sugár intenzitáseloszlásának Fourier-transzformáltjával. A diffrakciós képekre inverz Fourier-transzformációs számításokat alkalmazva következtetni lehet a kristályrács síkjainak távolságára, így az atomok méretére, s akár a kristályrács szerkezetére is.
Mivel rengeteg anyag atomjai vagy molekulái szerveződnek kristályrácsba, például fémek, ásványok, félvezetők, esetenként szerves anyagok, a Fourier-transzformáción alapuló Röntgen-krisztallográfia a modern anyagtudomány egyik legfontosabb alapeszköze.
10. Összefoglalás
A fejezetben bevezettük a transzformáció fogalmát, melyhez periodikus függvények sorfejtéséből jutottunk el úgy, hogy a függvények periódushosszát minden határon túl növeltük. A Fourier-transzformáció tehát a Fourier-sorfejtés határeseteként adódik nem-periodikus függvényekre. Áttekintettük a Fourier-transzformáció legfontosabb tulajdonságait, melyek közül itt is kiemeljük a linearitást és a gyakorlati szempontból kiemelkedő fontosságú konvolúciós tételt. A fejezet utolsó harmadában kiszámítottuk néhány nevezetes függvény Fourier-transzformáltját, amihez természetesen felhasználtuk a Fourier-transzformáció korábban igazolt tulajdonságait. A következő fejezetben a Fourier-transzformáció segítségével belátjuk a jelfeldolgozás egyik alapvető eredményét, a Shannon–Nyquist-féle mintavételezési tételt.
11. Feladatok
6.11.1. Feladat. (**) Határozza meg az alábbi függvények Fourier-transzformáltját!
1.
2.
6.11.2. Feladat. (**) Határozza meg az alábbi függvények Fourier-transzformáltját!
1.
2.
6.11.3. Feladat. (**) A konvolúciós tétel segítségével határozza meg az alábbi függvények Fourier-transzformáltját!
1.
2.
6.11.4. Feladat. (**) A konvolúciós tétel segítségével határozza meg az alábbi függvények Fourier-transzformáltját!
1.
2.
6.11.5. Feladat. (**) A konvolúciós tétel segítségével határozza meg az alábbi függvények Fourier-transzformáltját! (A operátorral a konvolúció műveletet jelöljük.)
1.
2.
6.11.6. Feladat. (**) A konvolúciós tétel segítségével határozza meg az alábbi függvények Fourier-transzformáltját! (A operátorral a konvolúció műveletet jelöljük.)
1.
2.
6.11.7. Feladat. (**) Határozza meg az , és függvények korrelációját!
6.11.8. Feladat. (**) Határozza meg az , és függvények konvolúcióját!
6.11.9. Feladat. (**) Határozza meg az függvény autokorrelációját!
6.11.10. Feladat. (**) Határozza meg az függvény autokorrelációját!
6.11.11. Feladat. (**) Határozza meg és függvények korrelációját!
6.11.12. Feladat. (**) Határozza meg és függvények konvolúcióját!
6.11.13. Feladat. (**) Határozza meg a függvény önmagával vett konvolúcióját!
6.11.14. Feladat. (**) Határozza meg az alábbi függvények Fourier-transzformáltját!
1.
2.
6.11.15. Feladat. (**) Határozza meg az alábbi függvények Fourier-transzformáltját!
1.
2.
6.11.16. Feladat. (**) Határozza meg a az alábbi függvények Fourier-transzformáltját!
1.
2.
6.11.17. Feladat. (*) Inverz Fourier-transzformáció alkalmazásával lássa be, hogy a függvény Fourier-transzformáltjából valóban visszakapjuk a függvényt!
6.11.18. Feladat. (**) Keressen kapcsolatot a négyszöghullám egy periódusa és a függvény Fourier-transzformáltjai között!
6.11.24. Feladat. (***) Határozza meg a háromszöghullám Fourier-transzformáltját!
6.11.25. Feladat. (***) Határozza meg a fűrészfog-hullám Fourier-transzformáltját!
6.11.26. Feladat. (***) Számítsa ki a
függvény deriváltját az idő szerinti deriválásról szóló tétel és a konvolúciós segítségével, azaz számítsa ki a függvény Fourier-transzformáltját, az függvényen alkalmazza az idő szerinti deriválásról szóló tétel állítását, majd alkalmazzon inverz Fourier-transzformációt és hasonlítsa össze az eredményt az idő térben végrehajtott deriválás eredményével!
6.11.27. Feladat. (***) Határozza meg a
függvény Fourier-transzformáltját! Az eredmény Fraunhofer-közelítéssel megfelel az optikai rácson áthaladó fénysugár által kialakított diffrakciós képnek.
6.11.28. Feladat. (***) Készítsen C nyelvű programot, amely a felhasználótól kér egy sztringet, mellyel egy trigonometrikus függvényekből súlyozott összegeként előálló függvényt specifikálunk az alábbi formában:
f(t)= 2sin(1t) + 3cos(2t) + cos(3t)
Feltehetjük, hogy a függvény legfeljebb 5 tagból áll, és fázis eltolások nincsenek. Ami változik tehát, az az idő paraméterek együtthatója, valamint a trigonometrikus függvények súlya. A program írja a kimenetre a megkapott függvény Fourier-transzformáltját!