A Fourier-sorfejtés bevezetése során többször használtuk azt a szófordulatot, hogy egy függvényt, vagy egy Hilbert-tér egy elemét szeretnénk pontosan előállítani egy ortonormált sorozat elemeinek súlyozott összegeként.
Most azzal foglalkozunk röviden, hogy mit is jelent itt a pontosság?
Ugorjunk vissza a 4.3.1 tételhez egy pillanatra. Ezen tételben
módon mértük a v elem, s a hozzá legközelebb eső elem hasonlóságát, azaz a belsőszorzatból származó metrikát használtuk. Mivel a Fourier-együtthatókat úgy definiáltuk, hogy ez a távolság zérus legyen, a pontos előállítás esetünkben azt jelenti, hogy a Fourier-sor összegeként előálló elem (legyen az függvény, vektor, mátrix, vagy bármilyen más matematikai konstrukció) távolsága a vizsgált v elemtől 0 lesz.
Mi okozhat félreértést? Az, hogy ez a pontosság nem garantálja azt, hogy minden t pontban a
kifejezés értéke egyenlő lesz -vel. Előfordulhatnak olyan t pontok, amelyekben ez nem teljesül, s a távolság mégis 0, azaz előállításunk pontos. Hogyan lehetséges ez? Vegyük észre az integrálnak azt a sajátosságát, hogy ha egy függvény értékét véges sok pontban megváltoztatjuk, a függvény integrálja nem változik. Ugyanígy, ha a norma jelek között szereplő integrandus csak néhány (véges számú) helyen tér el 0-tól, az integrál értéke attól még 0 lesz.
A Fourier-eszközök elméleti vizsgálatában az előállítás pontosságának számos megfogalmazásával találkozhatunk. Az előállítás pontosságának értelmezéseit az különbözteti meg, hogy a
kifejezés milyen módon konvergál, illetve konvergál-e v-hez.
Megjegyezzük ugyanakkor, hogy a gyakorlati alkalmazások szempontjából elegendő azt tudnunk, hogy a Parseval-egyenlet teljesül, vagyis a (5.70) kifejezés értéke zérus. Ezt matematikai rigurozitással a következő módon fogalmazhatjuk meg:
5.9.1. Tétel. (A Fourier-sorfejtés norma konvergenciája) Legyen négyzetesen
integrálható periodikus függvény és legyen . Ekkor
teljesül.
Bizonyítás. Az állítás a Bessel- és Parseval-egyenlőségekből következik.
A másik konvergencia típus, amelyet említettünk, a pontonkénti konvergencia, mely esetén azt várjuk el, hogy
minden esetén teljesüljön. Nagyon sok elméleti eredmény született
arra, hogy milyen feltételek mellett konvergál egy Fourier-sor pontonként. A következő tételben ezen eredményekből emelünk ki kettőt, szakaszonként sima függvényekre.
5.9.1. Definíció. (Szakaszonként sima függvény) Egy f függvényt szakaszonként simának nevezünk, ha az értelmezési tartományán f csak véges számú pontban nem folytonos, s ezen pontok között f deriváltja folytonos.
Például szakaszonként sima függvény a négyszöghullám a intervallumon, hiszen értelmezési tartományán csak egyetlen pontban nem folytonos, s a két részintervallumon, amelyen folytonos, a deriváltja is az.
5.9.2. Tétel. (A Fourier-sorfejtés pontonkénti konvergenciája) Legyen f egy négyzetesen integrálható, szakaszonként sima, a intervallumon értelmezett függvény. Ekkor az f függvény Fourier-sora egy tetszőleges pontban
1.
konvergál az értékhez, ha f differenciálható ezen pontban, 2.
konvergál a ponthoz, ha f nem folytonos -ban, ahol és rendre a függvény pontban vett bal oldali és jobb oldali határértékét jelöli.
Bizonyítás. A bizonyítás messze túlmutat a jegyzet anyagán, azonban megtalálhatja az olvasó a [3] forrásban.
Megemlítjük, hogy a matematikában használt konvergenciatípusok közül a pontonkénti konvergencia egy igen erős konvergenciatípusnak számít abban az értelemben, hogy a pontonkénti konvergenciából más konvergenciák teljesülés direkt módon következik. Az általános eredmények közül kiemeljük, hogy a folytonos
függvények Fourier-sorának pontonkénti konvergenciája nem egy tipikus tulajdonság, a folytonos függvényeknek csak egy kis részére teljesül.
10. Összefoglalás
Jelen fejezetben bevezettük a valós és komplex értékű periodikus függvények Fourier-sorfejtésének módszerét.
Meglehetősen részletesen körüljártuk a sorfejtés különböző formalizmusait, illetve feltártuk az egyes formalizmusok közötti átjárhatóságokat. Illusztrációként előbb valós, majd komplex sorfejtéssel is meghatároztuk a négyszöghullám sorfejtett alakját.
Megismerkedtünk a Fourier-sorfejtés gyakorlati alkalmazások szempontjából tulajdonságaival, majd kiterjesztettük az eszközrendszert a intervallumon periodikus függvényekről a tetszőleges véges hosszúságú intervallumon periodikus függvényekre. Eljutottunk tehát oda, hogy egy tetszőleges intervallumon értelmezett függvényt elő tudunk állítani megfelelően paraméterezett szinuszoidok összegeként.
A következő fejezetben bevezetjük a nem-periodikus, négyzetesen integrálható függvényekre érvényes Fourier-transzformációt, melyet a Fourier-sorfejtés alapján úgy vezetünk be, hogy a periodikus függvények periódushosszát minden határon túl növeljük. A következő fejezetben bemutatásra kerülő Fourier-transzformáció elengedhetetlen a jelfeldolgozás egyik legfontosabb elméleti eredményének, a Shannon–
Nyquist-féle mintavételezési tételnek helyes értelmezéséhez.
11. Feladatok
5.11.1. Feladat. (*) Lássa be formálisan, hogy a függvényosztály vektorteret alkot fölött!
5.11.2. Feladat. (*) Lássa be formálisan, hogy a függvényosztályon a
kifejezés valóban belsőszorzatot definiál!
5.11.3. Feladat. (*) Lássa be formálisan, hogy a függvényosztályon a
kifejezés normát definiál!
5.11.4. Feladat. (*) Lássa be formálisan, hogy a függvényosztályon a
kifejezés metrikát definiál!
5.11.5. Feladat. (*) Lássa be formálisan, hogy az függvényosztály vektorteret alkot fölött!
5.11.6. Feladat. (*) Lássa be formálisan, hogy az függvényosztályon a
kifejezés valóban belsőszorzatot definiál!
5.11.7. Feladat. (*) Lássa be formálisan, hogy az függvényosztályon a
kifejezés normát definiál!
5.11.8. Feladat. (*) Lássa be formálisan, hogy az függvényosztályon a
kifejezés metrikát definiál!
5.11.9. Feladat. (**) Hogyan válasszuk meg az a és b együtthatók értékét, hogy az
és
polinomok ortigonálisak legyenek egymásra a intervallumon?
5.11.10. Feladat. (**) Lássa be, hogy a valós trigonometrikus rendszer elemei ortonormált sorozatot alkotnak a függvényosztályban is!
5.11.11. Feladat. (**) Lássa be, hogy a komplex trigonometrikus rendszer elemei ortonormált sorozatot alkotnak az függvényosztályban is!
5.9. ábra. A háromszögfüggvény gráfja
5.11.12. Feladat. (***) Készítsen C nyelvű programot, amely numerikus integrálással határozza meg a négyszöghullám függvény Fourier-sorfejtését! A program parancssori argumentumként kap egy N és egy M egész számot. A program meghatározza a sorfejtés első M elemét, a kimenetre írja az együtthatókat, majd a kimenetre írja a függvény értékeit a
intervallumon egyenletesen választott M pontban.
5.11.13. Feladat. (***) A háromszög függvény definíciója
ahol a függvény t törtrészét adja. A háromszög függvény gráfja a 5.9. ábrán látható.
Határozza meg a háromszög függvény valós trigonometrikus rendszerre értelmezett Fourier-sorfejtését! Ügyeljen rá, hogy a függvény a intervallumon teljesíti egy periódusát, azaz periódushossza !
5.11.14. Feladat. (***) Készítsen C nyelvű programot, amely numerikus integrálással határozza meg az előző feladatban definiált háromszög-függvény Fourier-sorfejtését! A program parancssori argumentumként kapja az M és N egész számokat, meghatározza a sorfejtés első N tagját, a kimenetre írja az együtthatókat, majd a kimenetre írja a függvény értékeit a intervallumon egyenletesen választott M helyen.
5.11.15. Feladat. (***) A fürészfog-függvény definíciója
ahol a függvény t egészrészét adja. A fűrészfog-függvény gráfja a 5.10. ábrán látható. Határozza meg a fűrészfog-függvény valós trigonometrikus rendszerre értelmezett Fourier-sorfejtését! Ügyeljen rá, hogy a függvény a intervallumon teljesíti egy periódusát, azaz periódushossza !
5.10. ábra. A fűrészfog-függvény gráfja
5.11.16. Feladat. (***) Készítsen C nyelvű programot, amely numerikus integrálással határozza meg az előző feladatban definiált fűrészfog-függvény Fourier-sorfejtését! A program parancssori argumentumként kapja az M és N egész számokat, meghatározza a sorfejtés első N tagját, a kimenetre írja az együtthatókat, majd a kimenetre írja a függvény értékeit a intervallumon egyenletesen választott M helyen.
5.11.17. Feladat. (**) Határozza meg az alábbi függvények valós és komplex Fourier-sorát a intervallumon, az eredményt ábrázolja grafikusan!
1.
, 2.
.
Valós függvényekről lévén szó, állítsa elő a Fourier-sort olyan alakban, melyben megfelelő kezdőfázissal ellátott függvények szerepelnek!
5.11.18. Feladat. (**) Határozza meg és ábrázolja az alábbi függvények valós és komplex Fourier-sorát a intervallumon, az eredményt ábrázolja grafikusan!
1.
, 2.
.
5.11.19. Feladat. (**) Határozza meg az függvénynek a valós trigonometrikus rendszerre értelmezett Fourier-sorfejtését a intarvallumon!
5.11.20. Feladat. (**) Állítsa elő a függvény
Fourier-sorfejtését a valós trigonometrikus rendszer segítségével a intervallumon!
Állítsa elő a sorfejtést olyan formában, hogy az azonos frekvenciájú és tagokat egy megfelelő kezdőfázissal rendelkező trigonometrikus függvénnyé vonja össze!
5.11.21. Feladat. (***) Határozza meg, milyen eredményt kapunk, ha a intervallumon értelmezett négyszöghullám Fourier-sorfejtését helyen értékeljük ki!