A folytonos Fourier-transzformációt a jelfeldolgozáshoz kapcsolódó irodalmi forrásokban többnyire definíciószerűen vezetik be. Ezzel szemben mi a szemléletesség kedvéért néhány egyszerű és világos megfontolásból, a komplex Fourier-sorfejtés alapján vezetjük le azt.
A szerint periodikus függvények Fourier-sorfejtését felhasználva egyszerű behelyettesítéssel megadhatjuk az függvény szinuszoidok összegeként történő előállítását:
Bevezetve az általános paraméterezésű hullámoknál megismert jelöléseket, , ahol T-t periódusidőnek nevezzük. Felhasználva a összefüggést és beírva ezeket az előbbi kifejezésbe,
A nem-periodikus függvényeket tekinthetjük olyan periodikus függvényeknek, melyek periódushossza a végtelenhez tart, azaz végtelen sok idő alatt tesznek meg egy periódust. Ezt matematikailag úgy kezelhetjük, hogy a T periódusidőt minden határon túl növeljük.
Mivel , határátmenetet véve az értékek végtelenül kicsivé válnak. Kövessük végig, hogy ezen határátmenet milyen hatással van az f függvény előállítására a (6.2) formulában, feltéve, hogy az függvény négyzetesen integrálható az halmazon. Az egyszerűség kedvéért írjuk át az függvény előállítását az alábbi alakba:
A határátmenet során az integrál határai és -né válnak. Mivel feltettük, hogy az f függvény négyzetesen integrálható, ezért az integrál értéke biztosan kisebb, mint , azzal a problémával tehát nem kell szembesülnünk, hogy az integrál végtelenné válik. Vegyük észre, hogy a kifejezésben szereplő szorzó tag a határátmenet során 0-hoz tart. Első pillantásra úgy gondolhatjuk, hogy emiatt az egész kifejezés értéke zérus lesz. Ez azonban nincs így mivel az összegzés végtelen sok k-ra történik, s így az összegzés zérushoz tartó tagok esetén is különbözhet nullától.
A (6.3) kifejezést úgy értelmehetjük, hogy kiértékeljük a h függvényt az helyen, s megszorozzuk az , intervallum nagyságával, ami éppen , azaz egyszerű algebrai átalakítással az
formához jutunk. Könnyen látható, hogy ez a kifejezés nem más, mint egy integrálközelítő összeg, azaz a határátmenet során az összegzés szerint vett integrállá alakul.
Remélve, hogy nem vezet félreértéshez, az szorzatot a továbbiakban egyszerűen -val jelöljük, s felírjuk a határátmenet után kapott, dupla integrálos kifejezést, melyben már a belső integrál alsó és felső határát is átírjuk , illetve -re:
Látható, hogy most az függvényt nem egy összegzéssel, hanem egy integrállal állítjuk elő. Az egyszerűség kedvéért az integrandusban zárójelben szereplő kifejezést, ami egy -tól függő mennyiség, kiemelhetjük, s tekinthetjük úgy, mint egy függvényt. Ekkor
6.1.1. Definíció. (Fourier-transzformáció) Legyen , azaz f négyzetesen integrálható függvény a intervallumon. Ekkor a
függvényt az f Fourier-transzformáltjának, míg az
függvényt az F inverz Fourier-transzformáltjának nevezzük. A műveletet, mellyel f -ből F-et kapjuk, Fourier-transzformációnak nevezzük. Jele: .
6.1.1. Megjegyzés.
1.
Megjegyezzük, hogy a jelenleg szimmetrikusan elhelyezkedő normáló faktorok egyes forrásokban faktorként jelennek meg csak a vagy inverz Fourier-transzformációs formulában. Könnyű látni, hogy ennek csak a Fourier-transzformált értékeire van skálázó hatása, az f függvény előállítását nem befolyásolja.
2.
Az irodalmi források egy részében a Fourier-transzformáltat nem körfrekvenciával, hanem frekvenciával paraméterezik, azaz helyett a Fourier-transzformált -től függ, ahol . Könnyen látható, hogy ez a transzformáció eredményén csak konstans szorzó erejéig változtat:
Mi a korábbi fejezetekkel való konzisztencia céljából maradunk a körfrekvencia használatánál.
3.
Vegyük észre, hogy az függvény Fourier-transzformált segítségével történő előállítása éppen olyan szerkezetű, mint absztrakt Hilbert-térben a tér egy elemének egy ortonormált sorozat elemeinek súlyozott összegeként történő előállítása. A belsőszorzat ugyanaz, mint Fourier-sorfejtésnél, azonban a határátmenet miatt az ortonormált sorozat elemeit most nem egész számokkal, hanem egy folytonosan változó paraméterrel indexeljük.
4.
Az előző pont analógiájára értelmezhetjük a Fourier-transzformációt úgy, hogy nem-periodikus függvények esetén a Fourier-együtthatók száma megszámlálható sokról kontinuum sokra növekszik.
2. Példa
Példaként számítsuk ki a négyszöghullám egy periódusának Fourier-transzformáltját, azonban úgy, hogy a függvényt most az egész számegyenesen értelmezzük és a intervallumon kívül zérusnak tekintjük. A függvény formális definíciója
A függvény gráfja a 6.1. ábrán látható.
Nyilvánvaló módon az függvény négyzetesen integrálható, azaz -beli, így a Fourier-transzformáltja a definíció szerint kiszámítható.
6.1. ábra. A négyszöghullám egy periódusa
A Fourier-transzformált kiszámítása a transzformációs formulába történő behelyettesítést, s az integrál elvégzését jelenti:
Ha összehasonlítjuk az eredményt a Fourier-sorfejtéssel kapott eredménnyel láthatjuk, hogy formailag megegyeznek. Vegyük azonban észre, hogy itt egy folytonosan változó paraméter, azaz a folytonos Fourier-transzformált -nak komplex értékű függvénye.
A Fourier-transzformált segítségével a négyszöghullám egy periódusát előállíthatjuk tehát
alakban.
A Fourier-transzformáció eredményeként, a Fourier-transzformáltat az inverz transzformációs formulába helyettesítve a vizsgált függvény trigonometrikus függvények összegeként történő előállítását kapjuk. Könnyen látható, hogy az körfrekvenciájú komplex hullámhoz tartozó súlyt éppen adja. Vegyük észre ugyanakkor azt is, hogy a Fourier-transzformált segítségével meghatározhatjuk azon frekvenciakomponenseket, amelyek nincsenek jelen a vizsgált függvényben: ha értéke zérus, az körfrekvenciájú komplex hullámra nincs szükség előállításához.
Mivel a Fourier-transzformált komplex értékű függvény, ábrázolása nem teljesen kézenfekvő: egyik lehetőség, hogy a valós és képzetes részeit külön függvényként a szokásos módon ábrázoljuk. A másik, elterjedtebb megoldás, hogy a komplex szám valamely valós tulajdonságát, jellemzően a normáját vagy az argumentumát ábrázoljuk. Előbbi esetben a függvény képéből ránézésre megállapíthatjuk, hogy melyek azok a frekvenciák, amelykhez tartozó komplex hullámok megjelennek a vizsgált függvényben. Mivel a Fourier-transzformált jellemzően meglehetősen nagy értékkészletből veszi fel értékeit, az függvény ábrázolása során a finom részletek a nagy skála y irányú skála miatt rejtve maradhatnak. Ilyen esetben helyett a függvényt jelenítjük meg. A négyszöghullám egy periódusának Fourier-transzformáltja a 6.2.
ábrán látható.
6.2. ábra. A négyszöghullám egy periódusának Fourier-transzformáltja
A Fourier-transzformáció és Fourier-sorfejtés kapcsolatára, illetve a példában levezetett eredmény részletesebb értelmezésére egy későbbi szakaszban térünk vissza.