• Nem Talált Eredményt

Korreláció és konvolúció

In document A jelfeldolgozás matematikai alapjai (Pldal 133-141)

Az előző szakaszban láttuk, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkezik a Fourier-transzformáció, ha két függvény összegére, vagy egy függvény skalárszorosára alkalmazzuk azt. A jelfeldolgozás gyakorlatában azonban további kétváltozós műveletek is megjelenhetnek függvények, azaz jelek között. Az egyik ilyen művelet a korreláció, mellyel két függvény hasonlóságát mérhetjük, a másik a konvolúció, mellyel két függvénynek egyfajta súlyozott összegét számíthatjuk ki. A műveletekre elsősorban a diszkrét Fourier-transzformáció tárgyalásakor láthatunk majd szemléletes példákat. Most csak röviden bevezetjük ezen műveleteket és megnézzük, hogy milyen speciális tulajdonságokkal rendelkeznek.

6.5.1. Definíció. (Korreláció, autokorreláció) Az

függvényt a f és g függvény korrelációjának nevezzük. Speciálisan, ha , autokorrelációról beszélünk.

A korrelációs függvény megadja az f és g függvények belsőszorzatát a kettő közötti eltolás függvényében. A belsőszorzat szorosan kapcsolódik a függvények által bezárt szög koncepciójához. Ha a belsőszorzat nagy, az azt jelenti, hogy a függvények által bezárt szög kicsi, azaz a függvények, mint vektorok hasonlóak. Ha a belsőszorzat értéke kicsi, akkor a függvények által bezárt szög nagy, azaz nem hasonlók. A korrelációs függvény értéke egy tetszőleges helyen úgy értelmezhető, mint egy hasonlóságot mérő szám az f függvény és g -lal történő eltoltja között. Mivel ez a mérőszám nem abszolút, azaz nincs sem felső, sem alsó határa, a korrelációs függvény maximum- és minimumhelyei hordoznak információt.

Ha a korrelációs függvényt megszorozzuk a faktorral, akkor a Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-tétel alapján az eredményként kapott függvény értéke a helyen az és függvények, mint vektorok által bezárt szög koszinusza. Ez az így kapott korrelációs függvény értékkészlete már a

intervallum, így értéke a hasonlóság abszolút, azaz összehasonlítható mérőszámjának tekinthető. Ha a függvény értéke egy pontban 1, akkor az és függvény megegyezik, az általuk, mint vektorok által bezárt szög zérus, azaz egyik függvény a másiknak konstansszorosa. A normált korrelációs függvény értékei tehát erős analógiát mutatnak a statisztikából ismert korreláció fogalmával.

A korreláció további szemléltetésére tekintsük a 6.3. ábrát. Az ábrán két függvény korreláció függvényének kiszámítását szemléltetjük. A függvények

Az ábrán az függvényt feketével, a függvényt, illetve annak eltoltjait kékkel ábrázoltuk. Az korreláció függvény a pontban egyenlő a két függvény szorzatának integráljával miután, a függvényt

-lal eltoltuk. Az és függvények pontonkénti szorzatát az ábrán piros görbével szemléltettük, az integrál, azaz a korreláció függvény helyen vett értéke pedig a piros görbe alatti, piros színnel kitöltött terület. Az első oszlopban az , függvények láthatók különböző értékek mellett, a második oszlopban ábráin pedig az egyes értékekből kiszámított korrelációs értékeket gyűjtjük össze, hogy benyomásunk legyen a korrelációs függvény alakjáról. Az első sorban a piros görbe alatti terület zérus, így a korreláció a helyen zérus. A második sorban, helyen az és függvények szorzatának integrálja még mindig nulla, így a pontban a korreláció is nulla. A harmadik sorban látható, hogy az integrál éppen értéket vesz fel, így a korrelációs függvény értéke -ben már . Természetesen a korrelációs függvényt nem csak néhány értékre, hanem az összes lehetséges -re kiszámíthatjuk analitikusan, s ekkor kapjuk a jobb alsó ábrán összefüggő piros vonallal jelölt korrelációs függvényt. Ezen függvény maximum helyei valóban azon eltolásoknál helyezkednek el, mellyel

a leginkább fedésben van -vel.

6.3. ábra. A korreláció ábrázolása és értelmezése.

Gyakorlati szempontból kiemelkedő fontosságú az alább bemutatásra kerülő korrelációs tétel, mely állítása szerint egy és függvény korrelációját kiszámíthatjuk úgy is, hogy az függvényre inverz Fourier-transzformációt alkalmazunk.

6.5.1. Tétel. (Korrelációs tétel)

ahol a operátorral a korábban definiált korreláció műveletet jelöltük.

Bizonyítás. A bizonyítás egyszerű behelyettesítéssel, változók átszervezésével, az idő és körfrekvencia eltolásra vonatkozó tételek alkalmazásával, valamint a konjugálásra vonatkozó tétel segítségével végezhető.

6.5.2. Tétel. (Az autokorreláció és az energiaeloszlás kapcsolata) Az autokorrelációs függvény az energia eloszlás függvény inverz Fourier-transzformáltja.

Bizonyítás.

A jelfeldolgozás másik gyakori kétváltozós művelete a konvolúció.

6.5.2. Definíció. (Konvolúció) Az

kifejezést az és függvények konvolúciójának nevezzük.

A konvolúciót a következő módon értelmezhetjük. Képzeljünk el egy mérőeszközt, vagy jelátalakító rendszert, amely egy ideális, végtelenül kicsi időbeli vagy térbeli kiterjedésű jelet, ún. impulzust kap bemenetként, s egy analóg jelet állít elő kimenetként. A kérdés az, hogy a rendszer mit és hogyan fog érzékelni az impulzusból, hogyan jelenik meg az impulzus a kimeneten?

Talán könnyebb elképzelni a jelenséget, a folytonos helyett egy diszkrét példával élünk: ha egy digitális fényképezőgépre gondolunk, akkor az említett impulzus lehet például egy üres, sötét szobában egy nagyon kicsiny fényforrás. Ideális esetben azt várjuk, hogy a kép készítésekor egyetlen pixelnek lesz nem-nulla világosságértéke. Ez természetesen nem így lesz. A fényforrás képe lehet egy pixelre lokalizált, de biztosra vehetjük, hogy a szomszédos pixelek világosságértéke is valamivel nulla fölött lesz. Ez a jelenség a leképező rendszer (sokszor fizikai korlátok miatt jelentkező) tökéletlenségének köszönhető. Ha ugyanezen géppel egy tetszőleges témáról készítünk felvételt, akkor jogosan várhatjuk, hogy az egyes pixelekben megjelenő világosság/színérték belekeveredik a szomszédos pixelek értékeibe és fordítva.

A analóg vagy digitális mérő és jelátalakító eszközök működését az ún. impulzusválasz függvénnyel jellemezhetjük. Az impulzusválasz függvény megadja, hogy egy ideális, végtelenül kicsiny térbeli vagy időbeli kiterjedésű impulzust hogyan „lát” a rendszer.

Digitális fényképezőgépek esetén például ha ismerjük a rendszer impulzusválasz függvényét, akkor összetett képek készítése esetén is tudjuk azt, hogy a szomszédos pixelek értékei hogyan, milyen mértékben keverednek és optimális esetben el is tudjuk távolítani ezt a keveredést, ezzel javítva a képminőséget.

Lássuk, matematikailag hogyan modellezhető ez a jelenség előbb diszkrét esetben. Tegyük fel, hogy egy digitális fényképezőgép fényérzékelő csipjének elemeit , , , , módon indexelhetjük, és legyen az impulzusválasz függvény (mint sokszor a valóságban is), egy Gauss-féle sűrűségfüggvény:

amit úgy kell értelmezni, hogy ha a CCD-csip fényérzékelő tömbjének koordinátájú helyén jelenik meg az impulzus az egyszerűség kedvéért A amplitúdóval, akkor az indexű fényérzékelő elem A helyett

értéket fog mérni. Ugyanakkor az és indexű helyeken az ideális esettől eltérően nem-nulla értékeket

kapunk, hanem rendre és értékeket mérhetünk.

Vizsgáljuk meg ezek alapján, hogy mit kapunk az helyen egy összetett kép készítésekor. Jelöljük az függvénnyel az jelet, ami az érzékelőre érkezik. -ban mérni fogjuk az értéket. Ugyanakkor, a szomszédos helyre eső nagyságú jelből is jutni fog az indexű fényérzékelő elembe , és hasonlóan, az helyre eső nagyságú jelből is jutni fog -ba intenzitás. A közevetlen szomszédokon túl -ba a távolabbi szomszédokba érkező jelek töredékei is eljuthatnak, azaz hozzáadódhatnak az -ban mért értékhez típusú tagok is.

Mindezt a következő módon foglalhatjuk össze. A beérkező jel helyett az jelet fogjuk érzékelni, mely az pontban az alábbi értéket veszi fel:

Ha a szomszédos fényérzékelő elemek közötti távolságot minden határon túl csökkentjük, azaz határátmenetet hajtunk végre a diszkrét és folytonos esetek között, az összegzés integrállá alakul,

és éppen az A jelnek a g impulzusválasz-függvénnyel vett konvolúcióját kapjuk.

A g impulzusválasz-függvény ismeretében tehát konvolúcióval modellezhetjük egy analóg mérőeszköz vagy jelátalakítórendszer működését. Amennyiben az impulzusválasz függvényt mi definiáljuk, azaz egy virtuális berendezés hatását vizsgáljuk, konvolúciós szűrésről beszélünk. A konvolúciós szűréssel még részletesen foglalkozunk a későbbi fejezetekben.

Megjegyezzük, hogy formailag a konvolúció nagyon hasonló a korrelációhoz. Bizonyos esetekben, például ha g szimmetrikus, a kettő azonos eredményre vezet.

A konvolúció Fourier-transzformációhoz kapcsolódó műveleti tulajdonságai a gyakorlati alkalmazások szempontjából kiemelkedő jelentőséggel bírnak, a jegyzet hátralévő részében mind az elméleti vizsgálódásoknál, mind a gyakorlati alkalmazásoknál használni fogjuk az alábbi, kapcsolódó tétel állítását.

6.5.3. Tétel. (Konvolúciós tétel)

ahol a operátorral a korábban definiált konvolúció műveletet jelöltük.

Bizonyítás. A bizonyítás egyszerű behelyettesítéssel, változók átszervezésével, valamint az idő és körfrekvencia eltolásra vonatkozó tételek alkalmazásával végezhető.

A tétel állítása szerint ha ki kell számolnunk két függvény konvolúcióját, akkor azt visszavezethetjük transzformáltjaik meghatározására, a transzformáltak pontonkénti szorzására, majd inverz Fourier-transzformáció alkalmazására. Az állítás gyakorlati jelentősége akkor jelentkezik, amikor viszonylag nagy méretű (diszkrét) objektumok között kell konvolúciót számolnunk, ekkor ugyanis kisebb számításigényű, azaz gyorsabb megoldást kapunk, ha a konvolúciót annak definíciója helyett a tétel állítását követve számítjuk ki.

In document A jelfeldolgozás matematikai alapjai (Pldal 133-141)