• Nem Talált Eredményt

Hilbert-terek

In document A jelfeldolgozás matematikai alapjai (Pldal 64-72)

A Fourier-eszközök gyakorlati alkalmazása szempontjából az ún. Hilbert-terek rendelkeznek igen kényelmes tulajdonságokkal. Jelen szakasz célja a Hilbert-tér1 fogalom bevezetése.

4.1.1. Definíció. (Vektortér) Az halmazt a rajta értelmezett és műveletekkel vektortérnek nevezzük a test fölött, ha a műveletek teljesítik az alábbi, ún. vektortér

axiómákat. Legyen és tetszőleges.

1.

(a vektortér elemeinek összeadása asszociatív);

2.

(a vektortér elemeinek összeadása kommutatív);

3.

(létezik additív egységelem (nullvektor) -ben);

4.

(additív inverz elem létezése);

5.

(kompatibilitás);

6.

teljesül a test multiplikatív egységelemére;

7.

1David Hilbert (1862–1943) a 20-adik század első felének egyik legkiemelkedőbb, a kvantummechanika fejlődésében meghatározó szerepet játszó matematikusa, fizikusa. Einstein, Heisenberg kor- és munkatársa, Neumann János tanára.

(a skalárral szorzás disztributív a vektor összeadásra nézve);

8.

(a skalárral szorzás disztributív a skalár összeadásra nézve).

A vektortér elemeit vektoroknak nevezzük.

Szinte olvasólag belátható, hogy vektorteret alkotnak a lineáris algebrából és diszkrét matematikából ismert valós szám N-esek, azaz a valós számok halmaza felett;

vektorteret alkot az test felett; vektorteret alkotnak ugyanakkor a folytonos függvények felett; de nem alkot például vektorteret a test felett.

3.

Vegyük észre, hogy vektor fogalom nem csak az halmaz elemeire utal: bármire hivatkozhatunk vektorként, ha a halmaz, amiből származik vektorteret alkot egy test felett.

A vektortér fogalmának bevezetése után a következő lépés az, hogy a vektorteret alkotó elemek egyszerű jellemzésének lehetőségével ruházzuk fel a teret: definiálunk egyfajta általános „nagyság” fogalmat. Egy vektor (legyen az függvény, számsorozat vagy szám N-es) nagyságát a normának nevezzük.

4.1.2. Definíció. (Norma) Az függvényt normának nevezzük a test feletti vektortéren, ha teljesíti a

1. tulajdonságokat bármely és esetén.

4.1.3. Definíció. (Normált tér) Az vektorteret normált térnek nevezzük a rajta értelmezett függvénnyel, ha az teljesíti a norma tulajdonságait. Jele: .

A norma tetszőleges függvény lehet, ami teljesíti a definícióban megfogalmazott tulajdonságokat. Fontos kiemelni, hogy egy vektortéren több különböző normát is definiálhatunk. Azon matematikai állítások, amelyek normákra vannak megfogalmazva természetesen bármely normára teljesülnek.

4.1.2. Megjegyzés.

1.

A gyakorlatban gyakran megjelenő vektortéren például teljesítik a norma tulajdonságait az alábbi függvények. Legyen .

a.

Az előző pontban bemutatott normák egy általánosabb konstrukciónak, a p-normának speciális esetei. Legyen . Ekkor p-normának nevezzük az alábbi függvényt:

Könnyen látható, hogy -et helyettesítéssel kapjuk, -t, azaz az euklidészi-normát helyettesítéssel, míg esetén adódik, hiszen a végtelenhez tartva egyre inkább csak a legnagyobb abszolútértékű szám hatványa fog dominálni, így gyökvonás után önmagát kapjuk vissza.

3.

A norma bevezetése nem csak egy vektor nagyságának mérését, de a vektorok nagyság szerinti összehasonlítását, sorbarendezését is lehetővé teszi. Tegyük fel, hogy európai nagyvárosok átlagos napi hőmérsékleteit tartjuk nyilván típusú vektorokban. Ha a vektorokat norma szerint rendezzük, a legnagyobb vektor a legnagyobb középhőmérsékletű városhoz fog tartozi. Ha azonban ugyanezen vektorokat norma szerint rendezzük, a legnagyobb vektor ahhoz a városhoz fog tartozni, amelyben a legnagyobb hőmérsékletet mérték. Az, hogy mikor milyen normát kell használnunk, mindig az alkalmazási területtől függ.

A norma tehát lehetővé teszi, hogy a térben az elemek nagyságát mérjük. További hasznos tulajdonság azonban, ha a teret a távolságmérés lehetőségével is felruházzuk, azaz definiálunk rajta egy metrikát.

4.1.4. Definíció. (Metrika) Az vektortéren értelmezett függvényt metrikának nevezzük -en, ha teljesíti a

1.

, (pozitív definit),

2.

(szimmetria), 3.

(háromszög egyenlőtlenség).

tulajdonságokat bármely esetén.

4.1.5. Definíció. Az vektorteret metrikus térnek nevezzük a rajta értelmezett függvénnyel, ha az teljesíti a metrika tulajdonságait. Jele: . 4.1.3. Megjegyzés.

1.

A gyakran használt vektortéren például az euklidészi távolság teljesíti a metrika tulajdonságait. Legyen . Ekkor

metrika. Könnyen látható, hogy ugyanúgy teljesíti a metrika tulajdonságait, így is metrika -en.

Látható, hogy a norma és a metrika tulajdonságai nagyon hasonlóak. Természetes módon adódik, hogy tetszőleges normából metrika hozható létre a következő módon:

. -ben az euklidészi normából éppen az euklidészi távolságot kapjuk. Ebből következik, hogy a normált vektorterek egyben metrikus terek is.

5.

Bizonyos esetekben metrikából is kaphatunk normát a következő módon:

. Az euklidészi távolságból például visszakapjuk az euklidészi normát, azonban ez a sajátság nem általános érvényű.

A normált vektorterek egyben metrikus terek is, így normált vektortérben lehetőségünk van egyfajta „nagyság”

és „távolság” mérésére is. A következő kérdés a Hilbert-terek felé vezető úton annak vizsgálata, hogy egy vektortér teljes-e? A teljesség kérdése már analízis tanulmányok során, a valós számok definíciójánál is megjelenik. Gondoljunk csak arra, hogy a racionális számok halmazával ritkán dolgozunk a mérnöki gyakorlatban, hiszen a racionális számok körében még egy kör kerületét sem tudjuk kiszámítani: a nem eleme -nak, így annak többszörösei, például egy 2 sugarú kör esetén a kör területe, sem eleme -nak.

Tudjuk azonban, hogy a értékét közelítő formulákkal tetszőleges sok tizedesjegyig kiszámíthatjuk, utalhatunk tehát -re úgy a valós számok halmazában, mint egy racionális számokból álló sorozat határértékére. Nevezetesen, a 3, , , sorozat csak racionális számokat tartalmaz, s határértéke . Ennek megfelelően az említett kör területére is utalhatunk úgy, mint a , , , sorozat határértékére. Ha csak racionális számokkal dolgozunk, akkor a fenti sorozatnak nincs határértéke azon a halmazon, amelyen dolgozunk. Azt azonban megállapíthatjuk, hogy elemei egyre közelebb és közelebb kerülnek egymáshoz. Az ilyen sorozatokra Cauchy-sorozatként hivatkozunk.

Hogyan tudunk a racionális számokból olyan számhalmazt konstruálni, melyben nem botlunk a fentihez hasonló hiányosságokba? Vizsgáljuk a -t kívülről, s vegyük hozzá -hoz az összes beli Cauchy-sorozat határértékét, ha az létezik egy olyan halmazban, aminek a részhalmaza. Ha minden ilyen sorozat határértékét hozzávesszük -hoz, akkor a valós számok halmazát, -et kapjuk vissza, s ebben már nem ütközhetünk abba a problémába, hogy olyan számmal kell dolgoznunk, amelyre utalhatunk egy sorozat határértékeként, azonban nincs benne a térben.

A fenti gondolatmenet analógiájára értelmezhetjük a vektorterek teljességét a Cauchy-sorozat fogalmának pontos bevezetése után.

4.1.6. Definíció. (Cauchy-sorozat) Legyen , . Az sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük az metrikus téren, ha tetszőleges valós szám esetén létezik olyan N egész szám, hogy bármely esetén

teljesül.

A Cauchy-sorozat fogalmának bevezetésére azért van szükség, mert például a racionális számok halmazán nem mondhatjuk azt, hogy egy -beli sorozat konvergál a -hez, hiszen a nem eleme -nak, így -ban a -t közelítő sorozatról csak annyit mondhatunk, hogy Cauchy, s sejthetjük, hogy létezik egy nagyobb halmaz, amelynek egy eleméhez a sorozat konvergál.

4.1.7. Definíció. (Teljes metrikus tér) Egy metrikus teret teljesnek nevezünk, ha benne minden Cauchy-sorozat a tér egy eleméhez konvergál.

Fejtegetésünk a vektortér fogalmától indult, s egyre újabb és újabb elvárásoknak megfelelő tulajdonságokkal ruháztuk fel azt. Megjegyezzük, hogy a teljes metrikus tereknek azon osztálya, melyben a metrika a normából származik, külön nevet kapott.

4.1.8. Definíció. (Banach-tér) Az normált teret Banach-térnek nevezzük, ha teljes a normából származó metrikával.

4.1.4. Megjegyzés. Belátható, hogy bármely normával, s az abból származó metrikával teljes metrikus tér, s ennek megfelelően Banach-tér is egyben.

A Hilbert-terek fogalmához vezető úton az utolsó lépés a belsőszorzat fogalmának bevezetése.

4.1.9. Definíció. (Belsőszorzat) A test fölötti vektortéren értelmezett függvényt belsőszorzatnak nevezzük -en, ha teljesíti a

1.

, (pozitív definit),

2.

(Hermite-szimmetria vagy konjugált-szimmetria), 3.

(első változójában lineáris), 4.

(első változójában additív)

tulajdonságokat bármely és esetén.

4.1.10. Definíció. (Belsőszorzattér) A test fölötti vektorteret belsőszorzattérnek nevezzük a rajta értelmezett függvénnyel, ha az teljesíti a belsőszorzat tulajdonságait. Jele: .

4.1.5. Megjegyzés.

1.

-ben például belső szorzatot definiál az kifejezés.

2.

A belsőszorzat tulajdonságai nagyon hasonlóak a norma, illetve a metrika tulajdonságaihoz. Joggal gondolhatja azt az olvasó, hogy kapcsolat teremthető a konstrukciók között. Egyszerű behelyettesítéssel belátható, hogy a

kifejezéssel definiált függvény teljesíti a norma tulajdonságait, azaz belsőszorzatból norma származtatható. Azt pedig korábban láttuk, hogy normából metrika származik, így belsőszorzatból metrika is származtatható.

3.

Egyszerű behelyettesítéssel belátható, hogy az első pontban -en definiált belsőszorzat és a korábban -en bevezetett euklidészi norma között fennáll a

összefüggés, azaz -en az euklidészi norma éppen az első pontban bevezetett belsőszorzatból származik.

4.

Megjegyezzük, hogy a jegyzet hátralévő részében valahányszor normáról beszélünk, a belsőszorzatból származó normát értjük majd alatta.

4.1.11. Definíció. (Hilbert-tér) Az belsőszorzat teret Hilbert-térnek nevezzük, ha teljes a belsőszorzatból származó metrikával, azaz Banach-tér a belsőszorzatból származó normával. A továbbiakban a Hilbert-tereket -val jelöljük.

4.1.6. Megjegyzés. Belátható, hogy minden belsőszorzattér tekinthető egy Hilbert-tér olyan részhalmazának, amelyhez hozzávéve a belsőszorzattér Cauchy-sorozatainak határértékeit visszakapjuk a Hilbert-teret, azaz minden belsőszorzattér kiterjeszthető Hilbert-térré. A kapcsolódó állítások pontos megfogalmazását a [2] forrásban találja az olvasó.

Hilbert-tér lehet tehát egy tetszőleges vektortér, ha értelmezünk rajta egy belsőszorzatot, s sikerül belátnunk, hogy a belsőszorzatból származó metrikával a tér teljes. A Hilbert-terek gyakorlati jelentősége óriási. Amellett, hogy a Fourier-eszközrendszer Hilbert-terekben használható a legkényelmesebben, a Hilbert-terek megjelennek a statisztikai tanulóalgoritmusok, nevezetesen a kernel-módszerek területén, ugyanis a kernel-módszerek implicit Hilbert-térbe történő leképezést valósítanak meg; de megjegyezzük, hogy az elemi részecskék egzakt leírásával foglalkozó kvantummechanikai módszerek is megfelelően definiált Hilbert-terekben dolgoznak.

2. Ortogonalitás

Az előző szakaszban a Hilbert-tér fogalmának értelmezéséhez szükséges legalapvetőbb fogalmakat tisztáztuk.

Vizsgáljuk meg, milyen speciális tulajdonságokkal rendelkeznek a Hilbert-terek. Ismét kiemeljük, hogy az alább kimondott állítások minden Hilbert-térre igazak, attól függetlenül, hogy a tér elemei szám N-esek, számsorozatok, függvények, vagy éppen mátrixok.

4.2.1. Tétel. (Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky egyenlőtlenség) Az belsőszorzattéren esetén

teljesül.

Bizonyítás. Legyen . Emeljük négyzetre az egyenlőtlenség mindkét oldalát és használjuk ki, hogy a norma a belsőszorzatból származik:

Ha , az állítás egyenlőséggel teljesül. Tegyük fel, hogy , és vezessük be a

vektort. Megtehetjük, hiszen , így . A belsőszorzat definíciója szerint . Fejtsük ki ezt a kifejezést:

Használjuk ki a komplex számok konjugálására, normájára, illetve a belső szorzat konjugált szimmetriájára vonatkozó tulajdonságokat:

A formulát rendezve és a nevezővel átszorozva

adódik.

4.2.1. Megjegyzés.

1.

A Cauchy-Schwarz-Bunyakovski egyenlőtlenség tehát a belsőszorzat jelenlétének triviális következménye, minden belsőszorzat-térben, így Hilbert-térben is igaz.

2.

Vegyük észre, hogy a Cauchy-Schwarz-Bunyakovski egyenlőtlenséget átrendezhetjük

alakba. Az egyenlőtlenség jelek között szereplő kifejezés csak az u és v elemektől függő érték, és bármely és esetén egyértelműen meghatározott valós szám. Eddigi ismereteink alapján ezen értéket tekinthetjük úgy, mint egy koszinusz függvény értékét bizonyos helyen. Ekkor szintén csak az u és v értékekre jellemző, s nevezhetjük az u és v által bezárt szögnek.

3.

A Fourier-elméletet úgy is felépíthetnénk, hogy a fenti kifejezést egy szinusz függvény értékének tekintjük az helyen. Azért koszinusz függvény értékének tekintjük, hogy kettő- és háromdimenziós vektorokra visszakapjuk a belsőszorzat elemi geometriából

ismert ekvivalens definícióit: , ahol és az u

és v vektorok által bezárt szög.

4.2.1. Definíció. (Belsőszorzattér elemeinek szöge) Legyen belsőszorzattér és . Ekkor az

értéket az u és v által bezárt szögnek nevezzük.

Vegyük észre, hogy a belsőszorzattér elemei által bezárt szög definíciójánál semmilyen geometriai érvelésre sem támaszkodtunk, nincsenek jelen derékszögű háromszögek, és a belsőszorzattér elemei sem feltétlenül kettő vagy háromdimenziós vektorok. A fenti megközelítéssel értelmezhetjük a szög fogalmat akár függvényekre vagy számsorozatokra, ha a belsőszorzattér éppen ezekből áll.

4.2.2. Definíció. (Ortogonalitás) Az vektorokat ortogonálisnak nevezzük, ha belsőszorzatuk 0.

4.2.3. Definíció. (Normáltság) Az vektort normáltnak nevezzük, ha normája 1, azaz teljesül.

4.2.4. Definíció. (Ortogonális és ortonormált sorozat) A belsőszorzat téren a sorozatot ortogonális sorozatnak nevezzük, ha tagjai páronként ortogonálisak, és ortonormált sorozatnak, ha még egységnyi hosszúak is.

4.2.5. Definíció. (Ortogonális sor) A belsőszorzat téren a ortogonális sor, ha ortonormált sorozat, és skalárokból álló sorozat.

4.2.2. Megjegyzés.

1.

Egy u vektorból normált vektort készíthetünk, ha elosztjuk a hosszával, azaz

biztosan normált. Ez könnyen belátható, hiszen .

In document A jelfeldolgozás matematikai alapjai (Pldal 64-72)