Jelen szakaszban a Fourier-transzformáció fő tulajdonságait tekintjük át. Ahogy az olvasó is látni fogja, ezen tulajdonságok nagyon hasonlóak a Fourier-sorfejtés tulajdonságaihoz. Jelölések tekintetében egy függvény Fourier-transzformációjának kiszámítását, az szimbólummal jelöljük, míg a kisbetűs függvények
Fourier-transzformáltját a megfelelő nagy betűs függvénnyel, azaz és .
Megjegyezzük továbbá, hogy a függvények paraméterét (t) időnek tekintjük, és ennek megfelelően -ra, mint körfrekvenciára hivatkozunk. Természetesen az jelöléssel triviális módon áttérhetünk a frekvenciával történő paraméterezésre. Továbbá, ha a függvények paraméterét térkoordinátának tekintjük, akkor ugyanezen összefüggésekhez jutunk, csak helyett a k hullámszám és helyett a térfrekvencia paraméterrel.
Bár a bemutatásra kerülő állításokban nem írjuk ki explicit módon, úgy kell értelmezni azokat, hogy akkor teljesülnek, ha az állításban szereplő kifejezések ( , Fourier-transzformáltak, illetve ezek integráljai) léteznek.
6.4.1. Tétel. (Linearitás) Legyen . Ekkor
Bizonyítás. Az integrálás tulajdonságai alapján triviálisan belátható.
6.4.2. Tétel. (Idő eltolás) Legyen . Ekkor
Bizonyítás. Legyen . Ekkor , és
A tétel állítását úgy értelmezhetjük, hogy ha egy függvényt időben eltolunk, akkor Fourier-transzformáltja csak egy, az eltolástól és az paramétertől függő szorzó faktorral változik. Ezt a gyakorlatban arra használhatjuk, hogy ha ismerjük egy függvény Fourier-transzformáltját, akkor a függvényből tetszőleges eltolással kapott függvény Fourier-transzformáltját a tétel alapján egy szorzó faktor bevezetésével kiszámíthatjuk. Nagyon hasonló állítást mondhatunk ki az inverz Fourier-transzformáció és a körfrekvencia eltolása kapcsán:
6.4.3. Tétel. (Körfrekvencia eltolás) Legyen . Ekkor
Bizonyítás. Legyen . Ekkor , azaz
6.4.4. Tétel. (Idő invertálás)
Bizonyítás. Végezzünk paraméter transzformációt az integrálon, választással.
Ekkor felcserélődnek az integrálási határok és természetesen meg kell szorzni az integrandust a transzformáció Jacobi-determinánsával, ami esetünkben .
6.4.5. Tétel. (Páros és páratlan függvények) Ha az függvény páros (páratlan), akkor a Fourier-transzformáltja is páros (páratlan).
Bizonyítás. Ha , azaz f páros, akkor az idő invertálásról szóló tétel alapján
azaz F páros. Ha a vizsgált f függvény páratlan, azaz , akkor
azaz a transzformált páratlan.
6.4.6. Tétel. (Komplex konjugálás) Jelölje az függvény Fourier-transzformáltját. Ekkor
Bizonyítás. A Fourier-transzformáltat konjugálva és kihasználva a konjugálás tulajdonságait,
Integráltranszformációt végrehajtva helyettesítéssel,
6.4.1. Megjegyzés. Figyelembe véve a páros és páratlan függvények
Fourier-transzformáltjára vonatkozó tétel állításait, és
jelölésekkel 1.
ha valós, akkor páros és páratlan,
2.
ha képzetes, akkor páratlan és páros,
3.
ha páros, akkor és páros,
4.
ha páratlan, akkor és páratlan,
5.
ha valós és páros, akkor páros,
, 6.
ha valós és páratlan, akkor ,
páratlan, 7.
ha képzetes és páros, akkor ,
páros, 8.
ha képzetes és páratlan, akkor páratlan,
.
6.4.7. Tétel. (Idő- és frekvenciaskálázás) Legyen és . Ekkor
Bizonyítás. Hajtsunk végre integrál transzformációt , azaz helyettesítéssel. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy . Ekkor
6.4.2. Megjegyzés.
1.
Ha , akkor tekinthetjük úgy a műveletet, mint egy időinvertálást követő skálázást, skalárral.
2.
Az idő és frekvenciaskálázás érdekes tulajdonságra világít rá:
a.
Ha , az függvény elnyúlik a t tengely mentén. Ekkor azonban a Fourier-transzformált éppen ellenkező irányba változik, azaz összehúzódik az origó köré. Speciálisan, ha , akkor az függvény egy konstans függvényhez tart, a Fourier-transzformáltja pedig egy olyan függvényhez, melynek értéke origóba végtelen nagy, mindenhol máshol azonban zérus.
b.
Ha , az függvény összehúzódik az origó köré ugyanakkor a Fourier-transzformáltja elnyúlik az tengely mentén.
6.4.8. Tétel. (Dualitás, szimmetria)
Bizonyítás.
A változótranszformációt végrehajtva,
Az utóbbi formula jobb oldala lényegében az Fourier-transzformációja, így
A dualitás tulajdonság szavakba öntve azt mondja ki, hogy egy függvény Fourier-transzformáltjának Fourier-transzformációját kiszámítva visszakapjuk az eredeti függvény idő-inverzét. Ez a tulajdonság teszi lehetővé, hogy ún. Fourier-transzformációs párokról beszéljünk: ha az függvénynek a Fourier-transzformáltja , akkor a Fourier-transzformáltja origóra vett tükörképe, azaz egy függvény és Fourier-transzformáltja kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást. A következő szakaszban több nevezetes Fourier-transzformációs párt is bemutatunk.
6.4.9. Tétel. (Szorzás tétel)
vagy a belsőszorzatot kiírva
Bizonyítás.
A szorzás tétel azt mondja ki, hogy két függvény belsőszorzata megegyezik a Fourier-transzformáltjaik belsőszorzatával. A Fourier-transzformáció tehát a belsőszorzatot változatlanul hagyja, s így a függvények szögén sem változtat. Továbbá, mivel a metrikát, azaz függvények távolságát a belsőszorzatból származtattuk, a transzformáció elvégzését követően a függvények távolsága is változatlan marad. Ugyanezen állításnak a következménye a norma változatlansága, amire Parseval-egyenlőségként hivatkozunk.
6.4.10. Tétel. (Parseval-egyenlőség) A Fourier-sorfejtésnél már vizsgált Parseval-egynlőség Fourier-transzformáció esetén is teljesül, azaz
feltéve, hogy létezik és négyzetesen integrálható.
Bizonyítás.
6.4.1. Definíció. (Energia-eloszlás) A Parseval-egyenlőségben szereplő függvényt az f függvény (jel) energia-eloszlás függvényének, vagy spektrumának nevezzük.
A Fourier-transzformációra vonatkozó példánál említettük, hogy egy F Fourier-transzformált függvény helyett általában a függvényt ábrázoljuk. Az ábrázolt függvény tehát nem más, mint a jel energia-eloszlás függvénye, vagy másnéven spektruma.
A szakasz hátralévő részében azt vizsgáljuk, hogy ha egy függvény deriváltjának a Fourier-transzformáltját szeretnénk kiszámítani, akkor az milyen kapcsolatban lehet az eredeti függvény Fourier-transzformáltjával, illetve fordítva, ha a Fourier-transzformáltat deriváljuk, majd inverz transzformációt alkalmazunk, akkor lesz-e valami kapcsolat az így kapott függvény és az eredeti között. A várakozásoknak megfelelően, egy függvény és Fourier-transzformáltja közötti szoros kapcsolat miatt a válasz igenlő, s a kapcsolódó állításokat az alábbi tételekben fogalmazzuk meg.
6.4.11. Tétel. (Idő szerinti deriválás)
Többszörös derivált esetén
Bizonyítás.
A deriválás frekvenciatérben tehát egy egyszerű szorzássá redukálódik. Gyakorlati szempontból a tétel azt jelenti, hogy ha ismerjük egy függvény Fourier-transzformáltját, és szeretnénk meghatározni deriváltjának Fourier-transzformáltját, akkor nem kell az esetleg bonyolult Fourier-transzformációt újra kiszámolni, egelendő végrehajtani frekvenciatérben az faktorral történő szorzást.
6.4.12. Tétel. (Körfrekvencia szerinti deriválás)
Többszörös derivált esetén
Bizonyítás.
azaz
Mindkét oldalt i-vel szorozva kapjuk az állítás első felét, s a műveletet n-szer ismételve adódik az állítás második része.