4.1. A tér-idő vizsgálatok általános jellemzői
A területegységek gazdagságának és szegénységének témája kezdetektől a közgazdasági alapkérdések egyike. A közgazdászok természetesen nem csak a relatív jövedelmi pozíciók magyarázatára törekednek, de igyekeznek a jövőbeni változásokat is előre jelezni. E törekvésükben hasznos eszközök lehetnek az alábbiakban röviden ismertetett Markov-modell és társai
A Markov modell
A Markov modell célja annak meghatározása, hogy egy sokasági eloszlás hogyan változik a jövőben, egy vagy több időperiódust követően. Ehhez először a kategóriák kiinduló állapotát kell meghatározni, ahol a kategóriák tartalma természetesen a problémafelvetéstől függ. Ha például a régiók egy főre jutó GDP-ben meghatározott jövedelmi differenciáltságát szeretnénk megvizsgálni, először besorolási kategóriákat kell képezni. Célszerű kezelhető számú intervallumot megadni az egyes állapotok tartalmaként. Az intervallumok lehetnek Ft-ban kifejezettek, de az is gyakori, hogy az osztályközöket az átlagos érték százalékában kifejezett adatokra képezik (pl. 1. kategória az átlag 25%-a alatt, 2. kategória 25%-50% …. 5. kategória az átlagos érték 200%-a felett).
Amennyiben a megyék jövőbeni jövedelmi differenciáltságát szeretnénk előrevetíteni, minden egyes állapotra vonatkozóan becslést kell adnunk a bekövetkezési valószínűségekre. A (jövőbeli) állapotba való tartozás valószínűségei adják a sokasági eloszlást. Pl. Legyen annak valószínűsége, hogy adott, 2. kategóriába tartozó régió egy periódus múlva azonos kategóriában marad: 83%, annak valószínűsége, hogy eggyel magasabb kategóriába kerül: 8%, annak valószínűsége, hogy eggyel alacsonyabb kategóriába kerül: 9%. Az eredményeket mátrixos formába rendezve a főátló az elmozdulás hiányának valószínűségét mutatja. A mátrixból számolható un. mobilitási mutató a valószínűsíthető elmozdulási folyamatokat összegzi egyetlen értékbe.
A fenti technika több periódusra is alkalmazható, a kiinduló állapot ismeretében és a lehetséges elmozdulások valószínűségeinek becslésével előállíthatók a sztochasztikus átmenet-valószínűségi mátrix hatványai és t+1 periódusra is kiszámítható a mobilitási mutató.
A Markov lánc kiinduló feltevései:
- a populáció homogén, minden elem mozgását azonos tényezők határozzák meg,
- az átmeneteket koordináló feltételes valószínűségek idő-független, konstans értékek (stacionaritás), - a következő időszaki állapotot a jelen állapot (és a véletlen) befolyásolja
A Markov-lánc alapfogalmai:
- állapottér: a lehetséges állapotok halmaza (véges),
- eloszlás: a sokaság (százalékos) megoszlása a vizsgált tulajdonság szerint, formailag πt vektor, ahol
- átmenet-valószínűségi mátrix: az állapot-váltás feltételes valószínűségeit tartalmazó mátrix; ez létesít kapcsolatot a két különböző időpontbeli eloszlás között:
, ahol
- invariáns eloszlás: az az eloszlás, amely a dinamikus rendszer nyugvópontját képezi, azaz
- határeloszlás: az az eloszlás, amelyhez a dinamikus rendszer konvergál, azaz
- mobilitás: az egyes elemek állapotváltási sebessége, a kezdeti időpontbeli állapottól való függés mértéke, mutatója:
- egyenlőtlenség: az eloszlás jellemzésére használható mutató, pl. relatív szórás 7. ábra Egy lépéses átmenet-valószínűségi mátrix illusztrációja (n=5)
Forrás: Major ( 2008), 37. old.
A modell szerinti mobilitási mutató: 16,3%
A Markov-láncok valószínűségeinek maximum likelihood becslését a mintában megfigyelt relatív gyakoriságok adják.
Ha a minta elemszáma d,
a mintában megfigyelt egylépéses átmenet az i és a j állapot között d i,j és a becsülni kívánt valószínűség p i,j, akkor a maximim likelihood becslőfüggvény segítségével azt keressük, milyen paraméterek mellett maximális a jelenlegi minta bekövetkezési valószínűsége.
A függvény logaritmusa a következő lesz:
s.t.
ahol D azon állapotpárokat jelöli, melyekre p i,j > 0.
Az egyenlet Lagrange függvény segítségével való megoldása a következő:
Tehát, az átmeneti valószínűségek becslőfüggvénye az i állapotból a j állapotba való tényleges átmenetek relatív gyakorisága.
Mover-stayer modell
A Markov-modell társadalomtudományi alkalmazhatóságát erősen korlátozza annak stacionaritási feltevése, tehát az a feltevés, hogy egy adott jövőbeni elmozdulás bekövetkezése nem függ attól, mennyi ideig tartott a korábbi állapot. A mover-stayer modell ezt a korlátot oldja fel azzal, hogy heterogén populációt feltételez. A sokaság egyik alcsoportjáról feltételezi, hogy a szabályos Markov-lánc szerint mozog, míg a másiknál nem tételez semmilyen mozgást.
Kevert Markov-modellek
A kevert Markov-modellek egészen új, a 2000-es évek közepétől folyó tudományos munka eredményei.
Lényegében újabb lépést jelentenek a Markov-lánc koncepció társadalomtudományi gyakorlati alkalmazhatósága felé azzal, hogy a sokaságot nagy számú, eltérően mozgó alcsoportra bontják, vagyis kiterjesztik a Markov-modellt a nem szabályosan mozgó településegységekre is. Használata és az eredmények értelmezése már komoly modell-béli előképzettséget és megbízható MATLAB ismereteket követel meg, ezért ennek részleteit e fejezet nem tartalmazza.
4.2. A tér-idő vizsgálatok alkalmazhatósága
A Markov módszer alkalmazására számos kísérlet történt a területi kutatásokban, az alábbiakban ezek rövid ismertetésére kerül sor a kutatás központjában lévő alapprobléma szerinti csoportosításban Major K. idézett munkája alapján.
A konvergencia kérdése, a fejlődés mozgatórugóinak feltárása
Nem véletlen, hogy a modell a területi egyenlőtlenségek vizsgálatát követően, részben ahhoz kapcsoltan kerül tárgyalásra. A Markov módszer legkiterjedtebb alkalmazása ugyanis e tárgykörben valósul meg. A régiók közti jövedelem-eltérések jövőbeni alakulása, a konvergencia, divergencia, a leszakadás-felzárkózás kérdése ugyanis kritikus kérdések a regionális gazdaságtanban. A modell felhasználói e kutatásokban nem csak arra használják a Markov-láncot, hogy becslést adjanak az egyes területegységek várható jövőbeni állapotaira vonatkozóan, de a kutatások nyomán értékes tudás halmozódott fel a régiók egymásra hatását illetően, a nivellálódás és polarizálódás stb. mértékére vonatkozóan is.
Demográfiai kérdések
A Markov modell alkalmas egyes demográfiai problémák modellezésére is. Fontos makroökonómiai döntések alapját képezik például a népesség jövőbeni megoszlására vonatkozó becslések, melyek az átmenet-valószínűségi mátrix segítségével elvégezhetők.
Migrációs kutatások
Érdekes kutatást ismertet Major a németországi bevándorlók jövőbeni tartózkodási helyére vonatkozóan. Ebben a kutatásban például azt próbálták modellezni a Markov modellel, vajon a bevándorlók korábbi helyváltoztatási adataiból illetve jelenlegi tartózkodási helyükből hogyan lehet következtetni a jövőbeni tartózkodási helyükre, feltárva ezzel az ismételt migráció jelenségét.
Munkaerőpiaci kérdések
Több kutatást is publikáltak az elmúlt években a Markov-módszer munkaerőpiacot, illetve humán tőke döntéseket érintő felhasználására. A módszer hozzásegít a humán tőke dinamikájának megismeréséhez, ezzel fontos makroökonómiai döntéseket, például oktatási stratégiát alapozhat meg. Hasonlóan érdekes felhasználási terület lehet a bérekben megmutatkozó mobilitás, azaz a „munkavállalók vándorlása a különböző bér kvantilisek között” (Major, 2008, 63. old.).
Mikroökonómiai alkalmazások
Számos mikroökonómiai, tehát vállalati nézőpontból adódó termelésszervezési, kapacitástervezési stb. probléma esetében felmerül a módszer alkalmazhatósága. A kapacitás kihasználás múltbeli adataiból például következtetéseket lehet levonni arra vonatkozóan, milyen bekövetkezési valószínűséggel éri a vállalatot a jövőben pozitív vagy negatív keresleti sokk és milyen hosszú idővel kell számolni az e hatásokhoz való alkalmazkodás tekintetében.
Pénzügyi alkalmazások
A Markov-lánc a pénzügyek területén is akkor kerül elő, ha a múltban realizálódott idősorokból szeretnénk információt nyerni a jövőre vonatkozóan. Jellemző pénzügyi probléma a hitelkockázatok modellezési kérdése, mely nem csak a hitel árának kialakításához, tehát a banki kamatlábak meghatározásához szükséges, de a céltartalék-képzéshez is alapvető információ. A Markov mátrixot felhasználják például a hitelt felvevők viselkedésének modellezésére, ahol a besorolási kategóriák: határidőre való törlesztés, eltérő késedelem időtartamok, nem törlesztés stb. Bár a hitelt felvevők csoportjának heterogenitása miatt a kategóriák közötti elmozdulásokra kialakított becslések nem mindig elég pontosak, a módszer elvben alkalmas ehhez hasonló pénzügyi problémák modellezésére is.