Kulcsszavak: ábrázoló geometria, térlátás, térszemlélet, kutatás Bevezetés
Az ábrázoló geometria, mint a műszaki rajz-szakrajz, géprajz, számítógépes géptervezés tantárgyak egyik fő alapozója van jelen a múltban és napjainkban egyaránt. Ebben a munkában alapelveket, motivációs lehetőségeket hosszú évek oktatói tapasztalatai alapján gyűjtöttem össze. Az axonometrikus ábrázo-lás megértése, a térbeli testek, felületek egyértelmű lerajzoábrázo-lása lesz a további ábrázoló geometriára épülő tantárgyak alappillére, vagyis, ha a rajzunk másnak nem egyértelműen értelmezhető, akkor az bármilyen mérnöki munkának a
„csődjét” jelenti. Ezeknek a félreértéseknek az elkerülése világít rá a térlátás szükségességére és annak fejlesztési lehetőségeire.
1. ábra. Axonometrikus utcarajz1
Az ábrázoló geometria feladata
Az ábrázoló geometria fő feladata a háromdimenziós tér alakzatainak és az azokkal megfogalmazott geometriai feladatok szemléltetése a rajz síkján. Ez a
1 Forrás: muveszhaz.com – 2020. május.
leképezési folyamat az alábbiakban felsorolt egymással közvetlenül összefüggő részek együttese:
‒ a térbeli alakzat leképezése a síkra, vetületek elkészítése,
‒ a térre vonatkozó szerkesztések elvégzése a síkbeli rajzon,
‒ a síkbeli képekből, más néven vetületekből a térbeli alakzat visszaállítása, annak egyértelmű rekonstruálása.
Ha a rekonstruálás során bármi nem egyértelmű, akkor az alakzat képe sem lesz az.
2. ábra. Kocka térbeli nem egyértelmű rajza2
A 2. ábrán egy kockát láthatunk, melynek semelyik élén nem jelzik a láthatósá-got. Egy ilyen kockát kétféleképpen képzelhetünk el magunk előtt, ezért ez a rajz nem egyértelmű. A nem látható éleket vagy szaggatott vonallal ábrázolva, vagy elhagyva lehet szemléletes ábrát készíteni.
2 Forrás: wikiwand.com – 2020. május.
3. ábra. Vetületekből térbeli alakzat rekonstruálása3
A 3. ábrán egy vetületeiből evidens módon kapott alakzatot látunk, melyet csak így lehet megrajzolni és elképzelni. Minden esetben erre a nyilvánvaló megoldásra kell törekednünk.
Mai modern korunkban – ahol az informatika napról-napra fejlődik és mindenhol jelen van – sokan elavultnak érzik azt, hogy „kézzel lapra” szerkesz-szünk képeket egy-egy háromdimenziós alakzatról. Ez azonban nem igaz, ugyanis az informatikai képalkotó eljárások matematikai hátterében az ábrá-zoló geometria módszereit, eljárásait és tételeit ismerhetjük fel.
Miért hasznos akár egy mérnöknek, egy logisztikusnak, egy matematika- vagy fizikatanárnak, egy kohász- vagy bányamérnök hallgatónak ábrázoló geo-metriát tanulni?
Egyrészt az ábrázoló geometria megismerésével fejlődik a térszemlélete, amely a későbbi munkája során alapvető kompetencia, másrészt a szabadkézi ábrák készítésében is ügyesebbé válik. Ez minden hallgató számára kiemelten hasznos, mivel egy matematika- vagy fizikatanár a táblai rajzaival is nagymér-tékben elősegíti az adott anyag megértését, fejleszti a diákok problémamegoldó képességét. Egy-egy napjainkban is felmerülő összetettebb feladat megoldása során akár egy mérnöknek, vagy egy logisztikusnak is előtérbe kerülhet a
3 Forrás: tankonyvtar.hu – 2020. május.
probléma átláthatósága miatti ábrázolás, a lényegre törő, a logikus, a sík- és tér-geometriai tudásra épülő megoldás.
A pedagógiai szakemberek régóta tisztában vannak azzal, hogy érzékszer-veink más és más arányban – látás 75%, hallás 13%, tapintás 6%, szaglás 3%, ízlelés 3% – vesznek részt a probléma megértésében, a diákoknál a tanulásban.
Számos cikkben olvashatjuk, hogy minél több érzékszervünket használjuk, a megértés, a tanulás annál eredményesebb lesz.
Ramirez Witkin az 1970-es években tett kutatásait figyelembe véve meg-állapíthatjuk, hogy egyértelmű összefüggés mutatható ki az egyes személyek motivációs folyamatai és a környezetük felé fordulásuk között. Mindenki más típus abból a szempontból, hogy hogyan fogadja be az adott az információt, azaz az alapján, hogy mely érzékszervi modalitást részesíti az adott személy előnyben, e szerint auditív, vizuális vagy kinesztetikus típusokat különböztet-hetünk meg. Van akinek elég elmondani az adott problémát és máris elképzeli a térben, míg másnak le kell rajzolni, hogy megértse azt. Hogy tudnánk számí-tógéppel alakzatokat tervezni anélkül, hogy ha nem tudnánk pontosan elkép-zelni előre a tervezendő alakzatot? Ez nyilvánvaló, hogy térlátás nélkül lehe-tetlen. Ennek fejlesztésében van nagy szerepe az ábrázoló geometria tanulá-sának. Mindenkiben van több-kevesebb képesség a térlátásra vonatkozóan, de több mint tizenöt éves matematikai és ábrázoló geometria tanári tapaszta-lat és több száz gépészmérnök, kohász és földtudományi kar hallgatóinak ok-tatása után kijelenthetem, hogy igenis jelentős mértékben fejleszthető képes-ség a térlátás.
Kutatási eredmények ismertetése
Többen foglalkoztak már ezzel a témával, például Csepcsényi Lajos Lászlóné térszemléleti formatív és szummatív mérést és értékelést végzett építőipari kö-zépiskolások körében.4 A mérés során a diákok egy alapvető ábrázoló geomet-riai feladatot értelmeztek, majd oldottak meg. A diákok a feladatlapon egyér-telmű instrukciókat kaptak a megoldáshoz. Tudományos kutatások azt is alátá-masztják, hogy az agyban nincs meg a térlátás képessége, az a születés után fej-lődik ki, amikor a csecsemők folyamatosan megtanulják érzékelni környezetük mélységeit. Enek a képességnek a kifejlődéséhez az agynak vizuális kívülről jövő ingerekre van szüksége – írja Kovács Ilona, a Budapesti Műszaki és Gazda-ságtudományi Egyetem kutatója a munkatársaival közösen jegyzett cikkében,
4 CSEPCSÉNYI LAJOS LÁSZLÓNÉ BALOGH Melinda, „Térszemléleti formatív és szummatív mérés és ér-tékelés az építőipari középiskolások körében”, in A hagyományos és az IKT-vel támogatott mérés és értékelés a szakképzésben, szerk. BREDÁCS Alice Mária,(Pécs:Pécsi Tudományegyetem Művé-szeti Kar, 2015). Online: art.pte.hu – 2020. május.
ami a Proceedings című amerikai szaklapban jelent meg. Ebben a munkában ki-fejtik, hogy a térlátásnál mindkét szem összedolgozik, annak érdekében, hogy a környezet mélységészlelése megvalósuljon. A kutató és csapata harminc cse-csemő térlátási képességeit tesztelte, amelyek során a babák tévéképernyőn különböző mintákat nézegettek. Eközben a csecsemők koponyájára erősített elektródák segítségével az agysejtek elektromos töltését folyamatosan mérték.
Ezek a vizsgálatok arról számoltak be, hogy a látásban részt vevő rendszer min-den tagja, mint például a retina és az agyban lévő látóideg egészséges-e, mivel az egyik csak akkor működik, ha a két szemmel való látás már kifejlődött. A leg-első vizsgálatokat a csecsemők születés utáni 11–12. hetében végezték el, majd havonta ismételték. Ezt a kutatást akkor fejezték be, amikor bizonyíthatóan ki-fejlődött a térlátás, amely a 3,78 hónap után következett be.
Új kutatások a neveléstudományokban címmel 2015-ben az MTA Pedagó-giai Tudományos Bizottsága és az Óbudai Egyetem által kiadott felmérésben olvashatók a következőkben leírt eredmények, amelyek a térszemlélet fej-lesztésére irányultak.5 Ebben a közleményben olvashatunk arról is, hogy szá-mos elemzés erősíti meg azt az elképzelést, mely szerint a pontos mentális képzetek létrehozásában döntő jelentősége van a képalkotási folyamatok-nak.6 Hazai és nemzetközi vizsgálatok is rávilágítanak arra a tényre, mely sze-rint a 18–23 éves korosztályban a térszemlélet csak lassú ütemben fejleszt-hető és ezen diákok diplomaszerzésének sikertelenségének hátterében sok esetben a téri kompetenciák hiánya áll.7 A térszemléleti képességek fejleszt-hetőségét több kutatás is egyértelműen igazolta. A programok eredményes-ségét elsősorban az STEM (science, technology, engineering, mathematics) te-rületre gyakorolt hatásával összefüggésben tanulmányozták.8 Több olyan eredményt is ismerünk, amelyekben az építő, konstruáló feladatokban, a ma-tematikai és a térszemléleti teszteken nyújtott teljesítmények szorosan ösz-szefüggnek. A 2015-ben kiadott közleményben a kutatás célja annak igazolása volt, hogy kreatív feladatokkal is ugyanolyan hatásosan tudják fejleszteni a térszemléletet, mint a hagyományos módszerrel, amelynek lényege az ábrá-zolási konvenciók gyakorlása. Az alkotó tevékenység a szakirodalom szerint
5 KOZMA Tamás – PERJÉS István, Új kutatások a neveléstudományokban, Pedagógusok, tanulók, is-kolák – az értékformálás, az értékközvetítés és az értékteremtés világa, (Budapest: MTA Pedagó-giai Tudományos Bizottsága, Óbudai Egyetem, ELTE Eötvös Kiadó, 2016).
6 Robert H. MCKIM, Experiences in visual thinking, (Boston MA: PWS Publishers, 1980); James L.
MOHLER – Craig L. MILLER, „Improving spatial ability with mentored sketching”, Engineering De-sign Graphics Journal, 72(2009) Nr. 1. 19–27.
7 Sheryl A. SORBY, „Developing 3-D spatial visualization skills”, Engineering Design Graphics Jour-nal, 63(2009) Nr. 2. 21–32.
8 David H. UTTAL – Cheryl Ann COHEN, „Spatial thinking and STEM education: When, why and how”, Psychology of learning and motivation, 57(2012) Nr. 1. 147–181.
nemcsak a kreativitást fejleszti, hanem jelentős szerepük van a tudásépítés-ben is.9 A 2015-ben végzett kutatásban a Szent István Egyetem Ybl Miklós Épí-téstudományi Karának első és második évfolyamát végző építészmérnök (198 fő) és építőmérnök (74 fő) hallgatói vettek részt (összesen 272 fő).
A fejlesztőprogram két félévben zajlott. A kísérlet foglalkozásait 13 személyes találkozás alkalmával kétórás időtartamban tartották. Három csoportra osz-tották a kutatásban részt vevő diákokat. A kontrollcsoportba kerültek azok a hallgatók, akik kétdimenziós térábrázolási feladatokat oldottak meg (pl. re-konstrukciós példák Monge-vetületek alapján). Az első és második kísérleti csoportban lévő diákok háromdimenziós modellezéseket tartalmazó feladat-sort oldottak meg, de eltérő tanulási környezetben dolgoztak. Az egyik cso-portban valós, míg a másikban virtuális (CAD) térben készültek az alkotások.
A térszemlélet fejlesztése hatékonyságának értékelésére a Séra, Kárpáti és Gulyás által összeállított térszemlélet tesztet választották.10 Ezen teszt segít-ségével tanulmányozták, hogy mennyiben segíti a feladatmegoldást a „raj-zolva gondolkodás”.
A kutatás eredményei alapján a felmérésben szereplő kutatók megállapí-tották, hogy a térlátási képességek hatékonyan fejleszthetők többféle nyitott, alkotó-konstruáló feladatokkal (ábrázoló geometriai feladatok). A képalkotási folyamatok fejlesztése mindenkinél elősegítik a mentális képzetek pontosabbá válását. A fejlesztés mértéke független volt a nemek, a különböző mérnök sza-kok, és a különböző típusú középiskolák tekintetében is. Két félévben ismétel-ték a térszemlélet-fejlesztő programot, mely azonos mérismétel-tékű fejlődést ered-ményezett. Az eredményeik más vizsgálatokkal összevetve is megfelelőnek tekinthető.11 A felmérés eredményei rávilágítanak a kreatív tervező-konstruáló tevékenységek motiváló erejére. A kísérlet során nem tudtak különbséget ki-mutatni a valós és a virtuális térben modellezők teljesítményében. A fejlődés mértékében viszont jelentős eltérés mutatkozott a két- és háromdimenziós megjelenítéseket használt csoportok között.
Minden egyes térlátásra irányuló kutatás kimutatta, hogy a térszemlélet fejleszthető és sokkal eredményesebbek azok a diákok, akiknek fejlettebb ez a képességük, ezért mindent meg kell tennünk annak érdekében, hogy ezen
9 NAGY József, „A kognitív képességek rendszere és fejlődése”, Iskolakultúra, 8(1998) 10. sz. 3–21.
10 SÉRA László – KÁRPÁTI Andrea – GULYÁS János, A térszemlélet. A vizuális-téri képességek pszicho-lógiája, fejlesztése és mérése, (Pécs: Comenius Kiadó, 2002).
11 CSÍKOS Csaba – SZITÁNYI Judit – KELEMEN Rita, „Vizuális reprezentációk szerepe a matematikai problémamegoldásban. Egy 3. osztályos tanulók körében végzett fejlesztő kísérlet eredményei”, Magyar Pedagógia, 110(2010) 2. sz. 149–166.; PÁSZTOR Attila, „Lehetőségek és kihívások a digi-tális játék alapú tanulásban: egy induktív gondolkodást fejlesztő program hatásvizsgálata”, Ma-gyar Pedagógia, 114(2014) 4. sz. 281–302.
területet a lehetőségekhez mérten maximálisan támogassuk. Ennek pedig egyik alappillére az ábrázoló geometria minél szélesebb körben való megis-mertetése, majd a műszaki rajz és a hozzá kapcsolódó tantárgyak minél pon-tosabb elsajátítása.
Az ábrázoló geometria oktatásában adódó módszertani különbségeket már többen kutatták, köztük Pék Johanna, a BME Építészmérnöki Karának ok-tatója 2014-ben tartott előadásában, melyben matematikatanár és építészmér-nök hallgatók oktatása közti különbségeket tárta fel.12A szerző különbséget tesz a két csoport között a tudományos érdeklődés, az absztrakciós képesség, a térlátás és a finommotoros képességek tekintetében. Tanulmányában ő is meg-állapítja, hogy az ábrázoló geometria oktatása jelentős mértékben elősegíti a térszemlélet fejlődését.
Göndöcs László és Csánk István szintén az ábrázoló geometria módszerta-nának kérdéseivel foglalkoznak különböző szempontokból.13
Bölcskei Attila 2016-os habilitációs értekezésében is több teszt alapján ki-alakuló következtetésit olvashatjuk az ábrázoló geometria módszertanának szempontjából.14Oktató kollégáival több felmérést is végeztek a térlátás fej-lesztésével kapcsolatban. Vizsgálataikat a Ljubljanai Egyetemmel együttmű-ködve készítették el. Az értekezésében többek között az alábbi tézist fogalmazta meg: „Az ábrázoló geometriai tanulmányok az MRT teszt által mérhető módon erőteljesen javítják a hallgatók térszemléletét, hiszen mind az átlageredmény, mind a javulást mutató hallgatók aránya nagyban növekszik.”15 Ebben a köz-leményben olvashatunk arról, amit rajta kívül még sokan kutattak, hogy a jó mérnöki munka hátterében ott van az a kompetencia, amelyet már oly sok-szor említettem, a térlátás, a tér imaginációja, tökéletes érzékelése, melynek fejlesztésében a felsőoktatásban az ábrázoló geometria tanítása nyújthat nagy előrelépést.
Egy jó példa arra, hogy miért van szükségük a szakembereknek fejlett térszemléletre. A válasz pedig, azért, hogy észrevegyék azt, amit lehetetlen kivitelezni.
12 PÉK Johanna, Módszertani különbségek az ábrázoló geometria oktatásában matematika tanár és építészmérnök hallgatók esetén, Sopron, 2014. október 21. Online: Konstruktív Geometria Egye-sület, kge.org.hu – 2020. május.
13 CSÁNK István – GÖNDÖCS László, Az ábrázoló geometria módszertanának néhány kérdése, (Buda-pest: Tankönyvkiadó, 1966).
14 BÖLCSKEI Attila, A térábrázolás néhány módszertani, matematikai és építészeti vonatkozásáról, Habilitációs értekezés, (Pécs: Pécsi Tudományegyetem, 2016).
15 Attila BÖLCSKEI – András Zsolt KOVÁCS – Domen KUŠAR, „New ideas in scoring the Mental Rotation Test”, Ybl Journal of Built Environment, 1(2013) Nr. 1. 59–69.
4. ábra. Lehetetlen alakzatok16
16 Forrás: szupikepek.com, kulter.hu – 2020. május.