t t t
y b b y e (3.36)
amelyben választ kaphatunk arra a kérdésre, hogy miként reagál a vizsgált idősori érték arra a vál-tozásra, amely egy időszakkal korábban következett be.
Természetesen a (3.36) modell lényegesen összetettebb is lehet: elképzelhető, hogy a magyarázó változók között az eredményváltozó még korábbi értékei, illetve egyidejű, vagy előidejű magyarázó változók is megjelennek. A dinamikus specifikáció szemléletes példája található Kőrösi és mtsai.
(1990) könyvében, ahol egymásba ágyazott megtakarítási modelleket elemeznek a szerzők. A vizsgált modellek változói (és ezek általunk alkalmazott jelölése):
s - folyó megtakarítás (eredményváltozó), x - rendelkezésre álló jövedelem,
m - pénz- és értékpapír megtakarítás.
Ezekből a változókból, illetve késleltetett, vagy differencia-értékeikből a szerzők a következő hét, a szakirodalomból ismert modellt specifikálták (a modellek felírása során a jobb áttekinthetőség kedvéért az azonos változókhoz tartozó regressziós együtthatókat azonos szimbólumokkal jelöl-tük):
Zellner-modell: st b0 b s1 t1b x2 t b x3 t b m4 t e t
Friedman-Brown-modell: st b0 b s1 t1b x2 t b x3 t e t
Klein-modell: st b0 b x2 t b x3 t b m4 t e t
Houthakker-Taylor-modell: st b0 b s1 t1 b x3 t e t
Friend-Mack-modell: st b0 b x2 t b x3 t e t
Tobin-modell: st b0 b x2 t b m4 t e t
Keynes-modell : st b0 b x2 t e t
Az előbbi példa jól illusztrálja, hogy viszonylag kevés számú változó esetén is nagyon változatos modellek írhatók fel akkor, ha a modellező a specifikáció során kreatívan használja az idősoros adatállomány nyújtotta lehetőségeket. Ugyanakkor soha ne felejtsük el, hogy az ökonometriai mo-dellek mögött közgazdasági logikai megfontolások állnak, így a modellspecifikáció több, mint „játék a változókkal”!
3.3 Próbakészítési elvek az ökonometriában
Az ökonometriai modellépítés egyik leglényegesebb pontja a modellspecifikáció, illetve a becslés során tett feltevések ellenőrzése. Hunyadi (2001) könyvében részletesen olvashatunk a próbakészí-tés klasszikus útjának számító Neyman-Pearson elvről, illetve a konstrukcióból származó legerősebb
73 próbák keletkezéséről. Noha az ökonometriában gyakran használatos aszimptotikus próbák készí-tési elvei szintén szerepelnek az előbbi könyvben, ezekről itt is rövid áttekintést adunk, ugyanis a fejezet további részében általában ilyeneket alkalmazunk.
A gazdasági-társadalmi jelenségeket leíró regressziós modellek specifikációja során gyakran találko-zunk azzal a problémával, hogy két beágyazott modell között kell választanunk: vagyis el kell dön-tenünk, hogy az adott probléma modellezése során elégséges-e az egyszerűbb (szűkebb, kevesebb paramétert tartalmazó) összefüggés, vagy a probléma valósághű leírásához szükségünk van a bő-vebb (korlátozásokat nem tartalmazó) modellre. Az ilyen problémák esetén alkalmazott próbafügg-vények konstruálása három elven történhet, ezek
a likelihood arány (LR) elv;
a Lagrange-multiplikátor (LM) elv; és
a Wald (W) elv.
Legyen a 2. fejezetben már bemutatott definíció szerint
a nullhipotézis, illetve az alternatív hipotézis bekövetkezése (teljesülése) esetén érvényes likelihood-függvény. A likelihood-függvény megmutatja annak esélyét, hogy az eredményváltozónak pontosan ez a megfigyelés-sorozata kerül a mintába, a vonatkozó hipotézis (modellspecifikáció) esetén.
A likelihood-arány (LR) próbák alapgondolata, hogy amennyiben az előbbi likelihood-függvényeket meghatározzuk valamennyi létező ellenhipotézis esetén, úgy felírható az alábbi, ún. általánosított likelihood-hányados
ahol a számlálóban a kiinduló hipotézisnek megfelelő maximális, a nevezőben az összes szóba jö-hető ellenhipotézis esetén adódó legnagyobb likelihood-érték szerepel. Az elv kézenfekvő: ha a nullhipotézis helyes, akkor a korlátozott modell likelihood-ja csak kevéssel marad el a korlátozás nélküli modell likelihood-jától, vagyis a hányados 1-hez közeli lesz, és ekkor nem szükséges a bő-vebb modell alkalmazása.
Sajnálatos módon sok esetben azonban nem adható meg eloszlása, ilyenkor kell alkalmazni az aszimptotikus LR-tesztet. Megmutatható, hogy az
2 log
LR (3.37)
próbafüggvény khi-négyzet eloszlást követ, ahol a szabadságfok megegyezik a korlátozó feltételek számával.
74 A második röviden bemutatandó próbakészítési elv a Lagrange-multiplikátor (LM) elv, aminek alap-ötlete, hogy a log-likelihood függvényt maximáljuk a nullhipotézis (korlátozott modell) alatt, és azt vizsgáljuk, hogy a korlátozás feloldása szignifikánsan növeli-e a log-likelihood értékét. Ha igen, ak-kor a nullhipotézis elvetendő, ha nem, akak-kor megelégszünk a kisebb (ak-korlátozott) modellel. Az LM-elv tulajdonképpen az alábbi szélsőérték-feladat megoldását jelenti:
0 0
logL max
ahol a Lagrange-multiplikátor, a bővebb modell esetén becsült, és 0 a szűkebb modell esetén feltételezett paramétervektor. Kihasználva, hogy maximum esetén az első derivált 0, azaz
log 0
L
csupán azt kell vizsgálnunk (hiszen az első tag az ML becslés logikájából adódóan maximális), hogy a Lagrange multiplikátor szignifikánsan nagyobb-e 0-nál.
A próbafüggvény értékének meghatározásához ki kell számolni az ún. információs számot
log 2log2
L L
I Var E
és ezt, valamint a log-likelihood deriváltját felhasználva meghatározható a próbafüggvény értéke:
ami ismét csak 2-eloszlást követ, ahol a szabadságfok a korlátozások száma.
A Wald (W) elv – az előbbiektől egy kicsit eltérő módon – explicite a korlátok létezésének tesztelé-sére épül. Alapgondolata, hogy a szűkebb modell felírható úgy, hogy az esetében használatos para-métervektor (θ) eleget tesz valamilyen korlátozásnak (az esetek nagy részében praktikusan néhány, a vektorban található paraméter 0-val egyenlő), rendezzük ezeket a paraméterrestrikciókat egy al-kalmas K mátrixba.
Tesztelni kell tehát az alábbi hipotézisrendszert:
0
Mindez minimálisan átírva azt jelenti, hogy vizsgálnunk kell, fennáll-e az
Kθ kˆ
Kθ k
K θ θ
ˆ 075 összefüggés. Ha igen, akkor a becsült paraméterek esetében a korlátozástól való eltérés nem szig-nifikáns, vagyis a kisebb modellt választjuk. Amennyiben nem, akkor a bővebb modellt tartjuk re-levánsnak.
A fentiekből következő általánosan alkalmazható próba
ˆ
-1
ˆ θ - θ K K θ KT T -1 T K θ - θ
W (3.39)
formájú és 2-eloszlást követ, ahol a szabadságfok a korlátozások száma. Mindez elsőre meglehe-tősen bonyolultnak hat, ám pl. egy korlátozás esetén rendkívüli módon egyszerűsíthető.
Láthatjuk, hogy mindhárom próba khi-négyzet eloszlású és jobboldali kritikus tartománnyal ren-delkezik, valamint a szabadságfok minden esetben a korlátozások száma. Így érdemes megjegyezni, hogy a próbafüggvények értékére az alábbi nagyságrendi reláció érvényesül:
W LR LM
vagyis a Wald elv eredményezi a legszigorúbb, az LM elv a legmegengedőbb próbát.
Érdemes belegondolni az intuíciókba, melyek a három próbát sugallják:36
a likelihood arány próba két modell közül az esélyesebbet választja;
a Lagrange multiplikátor próba azt vizsgálja meg, hogy a szűkebb modell becslését köve-tően maradt-e a reziduumban még megmagyarázható rész;
a Wald-próba azt vizsgálja, hogy a bővebb modell illesztése során keletkező becsült para-méterek ellentmondanak-e a korlátozó feltételeknek.
Összességében ne feledkezzünk meg arról, hogy a gyakorlati modellező feladata nem új próbák konstruálása, hanem az adott problémához a szakirodalom által hozzárendelt leginkább megfelelő próba korrekt végrehajtása!