Szimultaneitási torzítás - Többegyenletes modellek

3.6 Többegyenletes modellek

3.6.1 Szimultaneitási torzítás

Az előzőekben bemutatott egyszerű modell rávilágít egy eddig még nem tárgyalt problémára, az ún.

szimultaneitási torzításra. A legkisebb négyzetek módszere alkalmazása során feltételeztük, hogy a magyarázó változók és a véletlen változó egymástól függetlenek. Ugyanakkor, ha az előbbiekben bemutatott modellünket tüzetesebben megvizsgáljuk, láthatjuk, hogy a strukturális forma egyenle-tenkénti LNM becslésnél mindez nem feltétlenül teljesül.

Idézzük fel a 3.2.1 alpontban leírtakat! Többváltozós regressziós modellben az eredményváltozó felírható y = Xb + e formában, ahol a paramétervektor becslése a b = X X X y^ˆ





^-1 ^T becslőfügg-vénnyel valósul meg. Mi történik, ha az eredményváltozóra vonatkozó tényleges értékek modell-szerű felírását helyettesítjük a becslőfüggvénybe? Ekkor az

 

^-1

^ ^

ˆb = X X X Xb+e^T ^T összefüggést kapjuk, ami minimális átrendezés után a

 

^-1

 

^-1

ˆ ^

b = X X X Xb + X X^T ^T ^T X e = b + X X X e^T ^T ^T

formára hozható. Képezve az előbbi egyenlet mindkét oldalán a várható értéket

 

^{b =}^ˆ

^{ }

^b ^

 

^{X X}^T



^-1^{X e b}^T



^

^

^{X X}^T

^{  }

^¹ ^{X e}^T

E E E E

vagyis az LNM becslés csak akkor torzítatlan, ha ^E

 

^{X e}^T ^⁰, vagyis a magyarázó változók füg-getlenek a véletlen változóktól.⁴⁴ Abban az esetben, ha nem teljesül a függetlenség, vagyis

 

^{X e}^T ^⁰

E (3.50)

akkor szimultaneitási torzítással állunk szemben. A szimultaneitási torzítás esetén nem egyszerűen torzított a becslőfüggvény, hanem inkonzisztens is, vagyis a torzítás mértéke a minta elemszámának (megfigyelések számának) növelésével sem csökken.

44 Ezt az eredményt egyébként – bizonyítás nélkül – már a 3-4. táblázatban „megelőlegeztük”.

92 3.6.2 Identifikálhatóság

Nyilvánvalóan felmerült a kérdés, hogy mi a teendő, ha a strukturális modellünk paraméterbecslése során szimultaneitási torzítással kell számolnunk? A válasz is kézenfekvőnek látszik: ne a struktu-rális, hanem a redukált formát becsüljük. A problémát csak az jelenti, hogy általában minket nem az átalakított – és valljuk be, még egyszerű esetben is szinte átláthatatlan transzformáció-sorozattal keletkező – paraméterek érdekelnek (gondoljunk a (3.49) összefüggésekre), hanem az „eredeti”

modellspecifikációban szereplő összefüggéseket leíró együtthatók. Felmerül tehát a kérdés, vajon hogyan lehet „visszatérni” a redukált forma paramétereiből a strukturális forma együtthatóira. A kérdés megválaszolása nem egyszerű, sőt azt is el kell mondanunk, hogy nem is minden esetben megoldható a feladat.

Gondoljunk az alábbi egyenletrendszerre (a jelölések a korábbiak)

1 1

Különösebb bizonyítás nélkül látható, hogy a modell egy változatában (amikor az árak magyarázzák a tranzakciós mennyiséget) a paraméterek megbecsülhetők, de az árak és a kereslet közötti, vagy az árak és a kínálat közötti összefüggés feltérképezésére nincs módunk.

Az előbbiekben vázolt problémát identifikációs problémának nevezzük. Többegyenletes modellje-ink az identifikálhatóság szempontjából három kategóriába oszthatók:

 alulidentifikált modellek: a strukturális forma paraméterei nem fejezhetők ki egyértelműen a redukált forma együtthatói segítségével;

 pontosan (egzaktul) identifikált modellek: egyetlen megoldás található a redukált és a struktu-rális formában szereplő paraméterek közötti áttérésre;

 felülidentifikált (túlidentifikált) modellek, amelyekben akár egynél több strukturális formára vonatkozó paraméter-sorozat is elképzelhető a redukált forma alapján.

Az identifikálhatóság vizsgálatának kulcskérdése, hogy hogyan lehet eldönteni, az adott modell me-lyik kategóriába tartozik. A szakirodalom két megoldást ismer a probléma megválaszolására:

1. az ún. rendfeltétel, amely az identifikáltság szükséges, ám nem elégséges feltétele; valamint 2. az ún. rangfeltétel, amely szükséges és elégséges feltételt szolgáltat.

A rendfeltétel viszonylag egyszerűen alkalmazható: legyen a többegyenletes modellben szereplő endogén változók száma g, az éppen vizsgált egyenletben nem szereplő összes (endogén és exo-gén) változó száma pedig k. A modell adott egyenlete

 alulidentifikált, ha k g 1;

 pontosan (egzaktul) identifikált, ha k g 1;

 felülidentifikált (túlidentifikált), ha k g 1.

93 A feltételt a (3.47) modellre alkalmazva láthatjuk, hogy

 ha x_t^D és x_t^S mindkét egyenletben szereplő azonos exogén változót jelez, akkor a modell

ahol z_t_₁az átigazolási periódus elején lejárt szerződéssel rendelkező játékosok száma. A modellben mindkét egyenletre vonatkozóan k0 ésg 2, tehátk g 1, azaz

ahol – a már ismert változók mellett – a keresleti egyenletben szerepel y , az adott idő-_t szakban megszerzett szponzori támogatás. Látható, hogy mindkét egyenletre vonatkozóan

k és g 2, tehát k g 1, azaz teljesül a pontosan identifikáltság szükséges feltétele,

 ha mind a keresletet, mind a kínálatot több különböző exogén tényezőváltozóval akarjuk magyarázni, akkor a modell akár túlidentifikált is lehet (erre nem mutatunk példát, de az előbbiek alapján az állítás meglehetősen kézenfekvő).

A rangfeltétel alkalmazásának bemutatása meghaladja könyvünk kereteit, részletes leírása megtalál-ható pl. Maddala (2004) 9.4 fejezetében.

3.6.3 Exogenitás és Hausman-teszt

Az előző pontban láthattuk, hogy a modell változóinak vizsgálata során rendkívül hangsúlyos kér-dés, hogy egy változó exogénnek tekinthető-e, vagy sem. Az ökonometriai modellezésben az exoge-nitásnak két formáját különböztetjük meg:

 predeterminált változó, amely tehát független a modell mai, illetve jövőbeli hibáitól,

 szigorúan exogén változó, amely a modell valamennyi (múltbeli, jelenbeli és jövőbeli) hiba-tényezőjétől is független.

Ezek után nyilvánvalóan felmerül a kérdés, hogyan lehet tesztelni azt, hogy a modell egy adott változója exogén-e. A kérdés megválaszolása érdekében leggyakrabban alkalmazott eljárás, az ún.

Hausman-teszt.⁴⁵ A próba lényege, hogy

45 A próbát előszeretettel alkalmazzák más kérdésfelvetésre (specifikációs hibák, panelmodellek specifikálása) is, ezek-kel azonban könyvünkben nem foglalkozunk.

 az első lépésben megbecsüljük az eredményváltozók értékeit a redukált forma alapján, majd

 a második lépésben elvégezzük a strukturális forma egyenletenkénti paraméterbecslését LNM-mel úgy, hogy az egyenletekben szerepeltetjük magyarázó változóként az előbbiek-ben becsült eredményváltozó értékeket is.

Abban az esetben, ha a már bemutatott felesleges változók kiszűrését szolgáló próba a becsült eredményváltozó(ka)t feleslegesnek tartja, akkor ezek endogének, különben exogének.

Az eljárás megértését nagyban könnyíti, ha áttekintjük a korábbi példánkat (lásd (3.48) modell) és megvizsgáljuk, hogyan zajlik annak tesztelése, vajon az átlagbér exogénnek tekinthető-e. Az első lépésben LNM-mel megbecsüljük a

2 2 2 2

R R S R D R

t t t t

w a b x c x e

modell paramétereit, majd a wˆ_t aˆ₂^R b x^ˆ₂^R _t^S c xˆ₂^R _t^D helyettesítést alkalmazva, ismét a legkisebb négyzetek módszerével becsüljük a

1 1 1 ^D ˆ ^D

t t t t t

q  a b w c x   w e

modellt. Amennyiben a  0 nullhipotézis nem vethető el, úgy a w változó nem tekinthető exo-_t génnek.

A Hausman-próba végrehajtása kissé nehézkes, ráadásul az exogenitás (pontosabban ennek hiánya) gyakran próba nélkül is könnyen eldönthető, ezért a tesztet csak nagyméretű, bonyolult modellek-ben szokás használni.

3.6.4 Paraméterbecslés szimultán egyenletrendszerben

A több egyenletből álló szimultán ökonometriai modellek strukturális formájának paraméterbecs-lése a közönséges legkisebb négyzetek módszerével nem, illetve torzításmentesen nem oldható meg. Számos módszert dolgoztak ki ezen összetett modellek paraméterbecslésére, ezek közül

 az indirekt legkisebb négyzetek,

 az instrumentális változók és

 a kétfokozatú legkisebb négyzetek módszerét tekintjük át röviden.

Az indirekt legkisebb négyzetek módszere (indirect least squares, ILNM) azokban az esetekben haszná-latos, amikor a szimultán modell valamennyi egyenlete pontosan (egzaktul) identifikált. Ilyen ese-tekben ugyanis a redukált forma paraméterbecslése LNM-mel elvégezhető, majd az így becsült pa-raméterekből egyértelműen kifejezhetők az eredeti (strukturális formájú) modell együtthatói. Az ILNM nem túl széles körben alkalmazott módszer, mivel

95 1. a strukturális forma paramétereinek kifejezése a redukált formából meglehetősen nehézkes,

gyakran van szükség nagy mátrixok invertálására;

2. a legtöbb szimultán egyenletrendszer felülidentifikált, ilyenkor az ILNM-mel nem csak egy megoldás nyerhető, az ezek közötti választás kevéssé egzakt.

Mindazonáltal az indirekt legkisebb négyzetek módszere konzisztens, ami kifejezetten jó tulajdon-ság.

A szimultán modellek esetén paraméterbecslési módszerként gyakran használt második eljárás az instrumentális változók módszere (instrumental variables, IV), ami azt a problémát hivatott kiküsz-öbölni, hogy az endogén változók nem függetlenek a véletlen változóktól, így a magyarázó pozíci-óban való szerepeltetésük sérti az LNM feltételrendszerét. Az előbbi nehézség azzal is orvosolható lenne, ha egyszerűen elhagynánk azokat az endogén változókat, amelyek korrelálnak a véletlen vál-tozókkal, ám ezzel drasztikusan beleavatkoznánk a modellspecifikációba.

Ennek elkerülése érdekében megoldásként inkább az adódik, ha olyan változókat keresünk, ame-lyek erősen (szorosan) korrelálnak az endogén változóval, de feltételezhetően függetlenek a hibaté-nyezőtől. Az ilyen változókat instrumentumoknak nevezzük (innen a módszer elnevezése) és a becslést két lépcsőben végezzük el:

1. először az instrumentumok segítségével LNM becslést készítünk az endogén változók ér-tékeire, majd

2. az előbbi becsült értékeket helyettesítjük a strukturális forma magyarázó változói közé, és ezek felhasználásával LNM becslést adunk a modell paramétereire.

Az összetett modellek esetében talán leggyakrabban alkalmazott paraméterbecslési eljárás a kétfoko-zatú legkisebb négyzetek módszere (two-stage least squares, 2LNM), ami tulajdonképpen az IV-módszer optimalizálása azáltal, hogy instrumentumként az adott modell exogén változóit használjuk.

Nem túl meglepő módon a paraméterbecslés két lépcsőben zajlik:

1. elvégezzük a paraméterbecslést a redukált forma alapján LNM-mel és megbecsüljük az en-dogén változók értékét, majd

2. megbecsüljük a strukturális forma paramétereit ismét LNM-mel úgy, hogy a magyarázó pozícióban levő endogén változók esetében a tényértékeket az első lépésben becsült érté-kekkel helyettesítjük.

A 2LNM eljárás alkalmazásának egyik komoly hátráltatója, hogy a becsült értékek behelyettesítésé-vel nyert modell esetén nagyon gyakran nem teljesülnek az LNM alkalmazhatósági feltételei (lásd 3-4. táblázat), így a végső eredményként nyert becslőfüggvény nem mindig konzisztens. Ezen prob-léma (elsősorban a gyakran fellépő autokorreláció) kiküszöbölésére az ökonometriai programcso-magok beépített (automatikus) korrekciókat tartalmaznak és így pl. a parciális t-próbák ilyenkor is hatásosak maradnak.

A szakirodalomban további módszerek is ismeretesek a szimultán modellek becslésére (háromfo-kozatú legkisebb négyzetek módszere; teljes, vagy korlátozott információn alapuló maximum like-lihood módszer). Az érdeklődők megtalálják ezek leírását Greene (2008) könyvében.

96 A szimultán ökonometriai modellekről leírtakat szemléltessük egy példával! Korábban bemu-tattuk, hogy a sportszergyártó cégek árbevétele a K+F ráfordításoktól, a létszámtól és a bér-költségtől függ. Most egészítsük ki a modellt egy másik egyenlettel, melyben feltételezzük, hogy a K+F ráfordítások nagysága az árbevételtől és az elmúlt éves beruházásoktól függ. Modellünk tehát az értelemszerű jelölésekkel:

1 1 1 2 1

Elsőként vizsgáljuk meg a modell egyenleteinek identifikáltságát! Az endogén változók száma kettő (g 2), az első egyenletben nem szereplő változók száma egy (k₁1), a második egyen-letben nem szereplő változók száma kettő (k₂2). Így az első egyenlet pontosan identifikált (k1 g 1), a második egyenlet túlidentifikált (k₂ g 1). A modell paraméterbecslésére az ILS nem használható, ezért a 2SLS módszert alkalmazzuk.

A paraméterbecslés eredménye:

Az egyes egyenletek magyarázó ereje rendkívül magas (közel 100%), a paraméterek szignifi-kanciája változó, ugyanakkor a szignifikáns becsült paraméterek előjele a várakozásoknak meg-felelő. Modellünk szerint a K+F kiadások növekedése drasztikusan növeli az árbevételt; a sportszergyártó cégek termelékenysége magas, hiszen minden egység bér két egység árbevétel-növekedést idéz elő, ceteris paribus. Meglepő, de tanulságos, hogy a tavalyi beruházások szinte teljes egészében kutatási-fejlesztési tevékenységként kerülnek idén elszámolásra.

Láthattuk, hogy az általános többegyenletes ökonometriai modellek napjainkban is alkalmazhatók, ugyanakkor a növekvő adatállományok, az egyre heterogénebb minták óvatosságra intik a felhasz-nálót. A szimultán modellek becslései sokszor viszonylag nehezen értelmezhető eredményeket ad-nak. Éppen ezért célszerű megismerkednünk azokkal a modellekkel is, melyek ezen tulajdonságokra reflektálva jöttek létre.

Equation system, Two-Stage Least Squares

Equation 1: TSLS, using observations 2001:01-2015:12 (T = 180) Dependent variable: ARBEVETEL

Instruments: const LETSZ BERKTG BERUH

coefficient std. error t-ratio p-value Equation 2: TSLS, using observations 2001:01-2015:12 (T = 180) Dependent variable: KF

Instruments: const LETSZ BERKTG BERUH

coefficient std. error t-ratio p-value

4 Sztochasztikus idősor-modellezés

Könyvünk előző fejezetében túlnyomórészt (mindössze a dinamikus specifikáció volt ez alól kivé-tel) keresztmetszeti adatállományok regressziós modelljeivel foglalkoztunk. Ebben a fejezetben a sztochasztikus idősor-elemzés eszközrendszerével ismerkedünk meg.

A sztochasztikus idősori modellek mintegy 50 éve jelentek meg a gazdaságmodellezésbe (Box-Jen-kins, 1970) és alapvetően két területen bővítik elemzési lehetőségeinket:

 módot adnak arra, hogy egy időben lezajló eseményt önmagában vizsgáljunk, a mintaidő-szakon kívüli értékeire előrejelzést adjunk,

 segítségükkel képesek vagyunk feltárni a jelenségek közötti együttmozgást, esetlegesen ki-mutathatunk közös trendet vagy ok-okozati összefüggést.

A 2.3 alfejezetben már vizsgáltuk az idősorokban meglevő tartós tendenciát – vagyis a trendet – ám az ott tárgyalt modellekben feltételeztük, hogy az idősor változását az idő múlása idézi elő (ezt neveztük determinisztikus elemzési szemléletnek). A következőkben tárgyalt modellek a vizsgált jelenség(ek) időbeli alakulásában döntő szerepet tulajdonítanak a véletlennek.

4.1 Stacionaritás, fehér zaj, véletlen bolyongás

A sztochasztikus idősori modellezés kiemelt fogalma a stacionaritás. Egy sztochasztikus folyamatot (adatgeneráló folyamatot) szigorúan stacionáriusnak vagy stacionernek nevezünk, ha bármely

1, 2, , _T

y y y megfigyelés-sorozat együttes eloszlása megegyezik az y₁__s, y₂__s, , y_{T s}_ megfigye-lés-sorozat együttes eloszlásával, bármely T és s esetén. A stacionaritás jelentőségét az adja, hogy amennyiben fennáll, úgy az empirikus idősor az elméleti sztochasztikus folyamat homogén mintá-jának tekinthető, így teljes hosszában alkalmazható a modell becslésére.

Az együttes eloszlások meghatározása meglehetősen körülményes eljárás, így a gyakorlatban általá-ban megelégszünk a megfigyelés-sorozat első két momentumának vizsgálatával. Az általánosan használt, ún. gyenge értelemben vett stacionaritás definíciója szerint az idősor (kovariancia) stacioner, ha érvényes rá az alábbi három összefüggés:

 

Mindez szavakkal kifejezve annyit jelent, hogy egy folyamat stacionárius, ha várható értéke és vari-anciája véges és időben állandó, valamint autokorreláció-struktúrája stabil. Az előbbi, formalizált definíció értelmében az autokorreláció-struktúra stabil, ha az autokorrelációs együtthatók nagysága csak a két vizsgált idősor távolságától függ, helyétől nem.

98 A különböző rendben képzett autokorrelációs együtthatókat ábrázolva kapjuk az autokorrelációs függ-vényt (ACF) vagy, ahogy szintén gyakran nevezzük a korrelogramot.

A modellezés szempontjából talán legjelentősebb stacionárius folyamat a fehér zaj folyamat (white noise process). Definíciója szerint, _t nulla átlagú fehér zaj (zero mean white noise process),

vagyis praktikusan ha az autokorrelációs együttható értékei minden tényleges késleltetés esetén 0-k. Éppen ezért szokták a fehér zaj folyamatokat korrelálatlan folyamatoknak nevezni. Talán érdemes megemlíteni, hogy a fehér zaj elnevezés a fizikából származik és a fehér fényre utal, aminek a telje-sítmény-eloszlása éppen úgy egyenletes, mint a fent definiált folyamatnak. Praktikusan, éppen úgy nem okoz tendenciózus változást a hullámzásban, mint az általunk vizsgált folyamat a modelle-zendő idősorban.

Belátható, hogy abban az esetben, ha y standard normális eloszlást követ, a tapasztalati idősor _t alapján becsült autokorrelációs együtthatók (^ˆ_s) is közelítőleg normális eloszlást követnek, 0 vár-ható értékkel és 1 T varianciával. Ezt kihasználva módunk van annak tesztelésére, hogy az au-tokorrelációs együtthatók 0-tól különböznek-e (ez ugyanis fontos annak megállapításához, hogy egy folyamat fehér zajnak tekinthető-e!). Egyes konkrét (pl. elsőrendű, vagy másodrendű) autokor-relációs együtthatók esetén a próba a szokásos módon lebonyolítható: a becsült együtthatóból ki kell vonni várható értékét, és a különbséget el kell osztani a szórásával, esetünkben

ˆ 0

 

ami egyszerű átalakítással adja a tesztstatisztikát, hiszen ˆ_s T



standard normális eloszlást követ, és felhasználható próbafüggvényként.

Az autokorreláció struktúrájának elemzése igen gyakran igényli az autokorrelációs együtthatók együttes zérus voltának tesztelését, melyre Box-Pierce (1970) javasolt először megoldást. Képez-hető ugyanis a

próbafüggvény, ami a nullhipotézis (korrelálatlanság) esetén m (a figyelembe vett maximális kés-leltetés szám) szabadságfokú ²-eloszlást követ. Mivel az eredeti Q-próba viszonylag rossz kismin-tás tulajdonságokkal rendelkezik, ezért számos módosíkismin-tását is kidolgozták. A legszélesebb körben alkalmazott próba az ún. Ljung-Box próba (Ljung-Box, 1976), amelyben

 

a nullhipotézis alatt szintén m szabadságfokú ²-eloszlást követ. Ezt a tesztet a lineáris korrelálat-lanság általános próbájának is nevezzük. Érdemes megjegyezni, hogy az ilyen elven (autokorrelációs együttható-négyzetek kumulálása) képzett, de esetenként másként parametrizált próbákat nevezi az irodalom portmenteau-próbáknak.

Az autokorrelációs függvény analógiájára felírható a parciális autokorrelációs együtthatók függvénye (PACF). A parciális autokorrelációs együttható (a továbbiakban _ss) megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat az y és az _t y_{t s}_ változók között, kiszűrve valamennyi „köztes” késleltetett változó, vagyis y_{t j}_ ( j 1, 2,...,s1) hatását. Könnyen belátható, hogy az elsőrendű autokorrelá-ciós és parciális autokorreláautokorrelá-ciós együttható egyenlő (hiszen nincs kiszűrendő hatás), vagyis   ₁ ₁₁ . Másodrendű késleltetés esetén

2 az y_t_₂ közötti kapcsolatot. A PACF is ábrázolható, ezt a grafikont parciális korrelogramnak nevez-zük.

Tekintsünk minderre egy példát! Az alábbi ábrán a frankfurti tőzsdén jegyzett Adidas részvény korábbi záróárfolyamainak időbeli alakulását láthatjuk (a vizsgált idősor 2015 októbere és 2016 szeptembere közötti, napi bontású adatokat tartalmaz, összesen 253 megfigyelést):

100 Képezzük a pénzügyi ökonometriában (Rappai, 2013) szokásos módon az árfolyam-hozamot!

(Itt és a következőkben alkalmazzuk a megszokott jelöléseket: P (price) az árfolyamot, r (return) a hozamot jelenti!)

1 1

t t t log

t t

P P P

r P

P P



 

 

   

A (relatív) hozamok idősora már egészen más képet mutat:

Számítsuk ki erre, a viszonylag véletlenszerűen alakuló idősorra vonatkozó autokorrelációs és parciális együtthatókat, illetve rajzoljuk fel a korrelogramokat!

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

15-11-01 16-01-01 16-03-01 16-05-01 16-07-01 16-09-01

Adidas (€)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

15-11-01 16-01-01 16-03-01 16-05-01 16-07-01 16-09-01

Adidas_hozam (%)

101 Az első 10 autokorrelációs együttható, illetve az ezekre vonatkozó portmanteau-statisztikák:

s ˆ_s ˆ_ss Q^ ^p-érték

A Q^ statisztika kiszámítása pl. maximum negyedrendű késleltetés figyelembevételével (ügyel-jünk rá, hogy a hozam-idősor egy megfigyeléssel rövidül, azaz csak 252 megfigyelést tartal-maz!):

Láthatjuk, hogy – annak ellenére, hogy az autokorrelációs, illetve parciális autokorrelációs együtthatók a kritikus érték alatt, illetve annak közelében vannak – az idősor nem tekinthető korrelálatlannak, nem tekinthető véletlennek (fehér zajnak), tehát elemzéséhez további model-lek ismerete szükséges.

Nyilvánvaló, hogy a sztochasztikus idősor-modellezés kezdeti lépése annak eldöntése, hogy a mo-dellezendő idősor stacionárius-e. Mielőtt bemutatnánk az erre vonatkozó leggyakrabban alkalma-zott próbákat és modelleket, vizsgáljunk meg két tipikus nemstacionárius folyamatot, a

-0,2

102

 trend-stacionárius folyamatot, illetve a

 véletlen bolyongást (random walk).

A trend-stacionárius folyamat a determinisztikus lineáris trend körüli véletlen ingadozást mutatja. Álta-lános képlete közismert:

t t

y      t (4.3)

ahol t az idő múlását szemléltető trendváltozó, _t az előbbiekben definiált fehér zaj.

Könnyen belátható, hogy amennyiben  0, akkor a (4.3) képlettel reprezentált idősor várható értéke időben nem állandó, vagyis a folyamat nem stacioner. Ezt a jelenséget determinisztikus nemsta-cionaritásnak nevezzük.

A másik, kitüntetett figyelmet érdemlő folyamat, a véletlen bolyongás⁴⁶, melynek alapegyenlete

t t t

y    y_   (4.4)

vagyis az idősor jelenlegi értéke egy konstanssal, valamint egy sztochasztikus taggal (fehér zajjal) tér el az eggyel korábbi értéktől.

Az (4.4) egyenlet még általánosabban is felírható, az alábbi módon

t t t

y    y_   (4.5)

Az (4.5) egyenlet – könnyen beláthatóan – megengedi a stacionárius esetet ( 1), az egységgyök meglétét ( 1) – ami a tulajdonképpeni véletlen bolyongás – és az exploratív (szétrobbanó) esetet ( 1). Vizsgáljuk meg az említett három esetet!

Írjuk fel néhány késleltetett értékre is a (4.5) modellt:

1 2 1 Egymásba helyettesítve a késleltetett értékeket:

   

Elvégezve a behelyettesítést a teljes vizsgált időhorizonton:



1 ² ^t



^t 0 1 ² 2 ^t 0

t t t t

y            y        _ _   

46 A bemutatandó folyamat „hivatalos” neve: véletlen bolyongás eltolással (random walk with drift). Könyvünkben ezt nevezzük véletlen bolyongásnak, mivel ez az általános eset. Nyilvánvalóan képezhető lenne konstans tag nélküli (ran-dom walk without drift) modell is.

103 Belátható, hogy

 amennyiben 1, akkor az idősor stacionárius;

 ha 1, akkor  ^j 1 valamennyi j-re, vagyis a folyamat

azaz a véletlen sokkok „soha nem halnak el”: ez az ún. egységgyök esete;

 amennyiben 1, akkor      ² ³ ..., a folyamat értéke a végtelenbe tart, a véletlen hatások multiplikálódnak: ez a szétrobbanó eset, ám ezzel nehezen tudjuk plauzibilisen le-írni az idősorok alakulását.

Fontos észrevétel tehát a véletlen bolyongásról, hogy amennyiben (4.4) esetben is elvégezzük az előbbi, triviális behelyettesítéseket, akkor az alábbi összefüggéshez jutunk

1 2 1 0 1 1

amit sztochasztikus trendnek is szoktunk nevezni, hiszen nagyban emlékeztet a trend-stacionárius fo-lyamatra (ennek felismeréséhez alkalmazzuk a   y0,  helyettesítést!). Ugyanakkor fontos ész-revennünk azt az eltérést, hogy a véletlen bolyongás során az idősor aktuális értékét nem csupán az adott időpillanatra érvényes véletlen befolyásolja, hanem az összes korábbi sokk összege.

A trend-stacioner folyamat és véletlen bolyongás – illetve a kettő kombinációja – lehetővé teszi a stacionáriusságra vonatkozó hipotézisek tesztelését.

Annak érdekében, hogy el tudjuk dönteni, a modellezés során stacioner változóval (változókkal) állunk-e szemben, nyilvánvalóan először tesztelnünk kell az erre vonatkozó, alkalmasan választott hipotézisrendszert.⁴⁷

Láthattuk, hogy a véletlen bolyongás folyamatának kitüntetett szerepe van az ökonometriában, így nem meglepő, hogy a változók vizsgálata során elsőként azt kívánjuk eldönteni, hogy egy adott idősor random walk folyamatból származik-e. A korábbiak alapján ez viszonylag egyszerűnek látszik, hiszen a (4.5) modellre paraméterbecslést kell végeznünk, és a regresszió alapján le kell tesztelnünk a

hipotézisrendszert, és azonnal választ kapunk a kérdésre. Ugyanakkor a nemstacionárius változók között felírt regressziós modellek számos kényelmetlen tulajdonsággal bírnak, ezért a szokásos pró-bák gyengék, nem használhatók. Vagyis, amennyiben a nullhipotézis teljesül (a regresszióban sze-replő változók nemstacionerek), akkor előállhat a nehézség.

In document Ökonometriai modellek alkalmazása a sportgazdaságban (Pldal 91-0)