Kointegrált idősorok, hibakorrekciós modell

A többváltozós regressziós típusú modellek specifikációjának alapfeltétele, hogy megtudjuk, két, vagy több változó együtt mozog-e. De vajon elképzelhető-e együttmozgás olyan változók között, melyek véletlen bolyongást követnek?⁵⁹ Ebben az alpontban azt vizsgáljuk meg, hogy lehetséges-e, és ha igen, mi a feltétele annak, hogy több idősor (időbeli folyamat) közös trendet tartalmazzon (sztochasztikus értelemben együttmozogjon).

59 Egy közismert illusztráció szerint igenis elképzelhető, hogy együtt táncolnak azok, akik nem egymást átölelve, hanem összeölelkezés nélkül, de egymással táncolnak.

-1000

131 A modellezési feladat megértéséhez induljunk ki abból, hogy ha idősorok egy halmazának (a továb-biakban k idősor) lineáris kombinációját képezzük, akkor ezen kombináció integráltsági rendje ál-talában megegyezik az idősorok között tapasztalt maximális renddel. Vezessük be a következő je-lölést x_i ~I d

 

_i , vagyis az i-edik idősor d rendű integrált, és képezzük ezen változók lineáris _i

Ha rendezzük az előbbi lineáris kombinációt pl. az első változóra, akkor az alábbi összefüggést kapjuk

  a . (Nyilvánvalóan ugyanezt az átrendezést meg lehetne csinálni bármelyik változóra.) A műveletet az egyenlet x₁-re normalizálásának nevezzük és viszonylag gyakran hasz-náljuk.

Hogy jobban rávilágítsunk a következőkben tárgyalt problémára, vegyünk hozzá az előbbi k válto-zós adatállományhoz egy k+1-edik változót, amit y -vel jelölünk. Normalizáljuk a _t k1 változó lineáris kombinációját az újonnan felvett változóra:

1

Az (4.34) egyenlet – legalábbis látszólag – egy regressziós modell, amelyben z_t tölti be a véletlen változó szerepét. A korábban elmondottak értelmében egy regressziós modell véletlen változója stacionárius és autokorrelálatlan, miközben a (4.34)-ben szereplő z_t nem stacionárius és autokor-relált. A látszólagos ellentmondás feloldása a kointegráció definícióját igényli.

Engle és Granger úttörő cikke alapján (Engle-Granger, 1987), amennyiben mind x , mind _t y _t d -ed rendű integrált és létezik olyan lineáris kombinációjuk, amely



d d ₁



-ed rendű integrált, ahol

1 0

Természetesen ez a tulajdonság több idősor lineáris kombinációja esetén is hasonlóan értelmez-hető. Többváltozós esetben egy k darab I d

 

folyamatból álló x vektor komponenseire akkor _t mondjuk, hogy kointegráltak



d d, 1



rendben, azaz x_t CI d d



, 1



, ha létezik olyan b 0 vektor, hogyz_t b x^T _t ~I d d



 1



, ahol _d1₀. Ebben az esetben a b vektort kointegráló vektornak nevez-zük. Abban az esetben, ha d d ₁, a rendszert tökéletesen kointegráltnak nevezzük.

132 Könnyen belátható, hogy két változó esetén maximum egy kointegráló vektor létezhet, egy k vál-tozós rendszerben pedig maximum (de nem feltétlenül!) k1 kointegráló vektor képezhető.

A gazdaságtudományokban (így a sportgazdasági modellezésben) általában a d d ₁ 1 esetnek van kiemelkedő jelentősége, vagyis amikor is az x vektor komponensei _t I

 

1 folyamatot követnek, viszont létezik olyan lineáris kombinációjuk, amely stacionárius, azaz I

 

0 folyamat. Az ilyen töké-letes kointegráltságot nevezzük a gazdaság dinamikus egyensúlyi állapotának, vagy a kointegrált rendszert alkotó idősorok hosszú távú együttmozgásának. Példaként gondoljunk arra, hogy egy adott ország dinamikusan növeli mind az exportját, mind az importját! Mindkét idősor (sztochasztikus) trendet tartalmaz, vagyis időben növekvő várható értékű, egyszerűbben szólva nemstacioner. Ugyanakkor képezhető egy olyan lineáris kombinációjuk, amely stacioner, vagyis egy előre adott érték körül állandó varianciával ingadozik. Ez a lineáris kombináció a külkereskedelmi egyenleg egy olyan stabil transzformáltja, amely a külgazdaságot dinamikus egyensúlyban tartja.

A nemstacionárius (tipikusan első rendű integrált) idősorok modellezésére korábban kínált megol-dás az volt, hogy az eredeti idősorok helyett használjuk azok differencia-sorait. Ez egyváltozós idősori modellekben korrekt megoldás, ám ha a változók közötti kapcsolatot tartjuk fontosnak (elemzendőnek), akkor az eljárás nem feltétlenül megfelelő, hiszen amennyiben az eredeti idősorok helyett a differenciáikat használjuk, akkor a hosszú távú együttmozgás helyett a rövid távú kapcso-latot vizsgáljuk.

Legyen x és _t y elsőrendű integrált. Ekkor a közöttük felírt – egyébként korrekt – regresszió _t

0 1

t t t

y a a x

     

A modell paraméterei ugyan torzítatlanul becsülhetők, ám a hosszú távú együttmozgásról nem mondanak semmit. Hiszen, ha például egyik változóban sincs hosszabb ideig változás, vagyis ami-kor y_t  y_t1  y_t 0 és x_t x_t1  x_t 0, a modell semmitmondó.

A problémára a megoldást az első differenciák és a kointegrált változók késleltetett értékeinek együttes használata adja. Tekintsük az alábbi, ún. hibakorrekciós modellt (error correction model, ECM):

 

0 1 2 1 0 1 1

t t t t t

y a a x a y_ b b x _

         (4.35)

ahol y_t  b₀ b x_{1 t1} az ún. hibakorrekciós tag. Ha x és _t y kointegráltak _t b kointegráló vektorral (a vektor most egyértelmű:b^T 



1, b0, b1



), akkor a hibakorrekciós tag is stacionárius, vagyis a (4.35) modell paraméterei a legkisebb négyzetek módszerével korrektül becsülhetők, a szokásos próbák használhatók.

A modell összefüggései értelmében az eredményváltozó változása két hatás eredőjének tudható be:

egyrészt a magyarázó változó elmozdulásának, másrészt a hosszú távú egyensúlytól való előző idő-szakban tapasztalt eltérésnek. Természetesen a hibakorrekciós modell kettőnél több változó esetén is felírható.

133 A változók közötti kointegráció tesztelésére kézenfekvő megoldás a kointegráló regresszió hiba-korrekciós tagjának (véletlen változójának) vizsgálata. Amennyiben a

0 1 1 2 2

t t t k kt t

y  b b x b x  b x   (4.36)

kointegráló regresszióban y x x_t, _1t, _2t, ,x_kt I

 

1 , de _t stacionárius, akkor a modellben sze-replő változók (az előbbiekben elmondottak alapján) kointegráltak.

A (4.36) hibatagjának vizsgálatára több eljárást is kidolgoztak, melyek erőssége jelentősen eltér egy-mástól. Viszonylag gyenge, ám nagyon gyorsan használható eljárás a kointegráló regresszió Durbin-Watson statisztikája (CRDW), ami abban az esetben, ha a véletlen változó egységgyököt tartalmaz, vagyis nincs kointegráció, akkor általában alacsony (CRDW 0). A próba tehát egyszerűen elvé-gezhető: ha a kointegráló regresszió Durbin-Watson statisztikája magasabb, mint a kritikus érték (ez közelítőleg 0,5), akkor a hibatag stacionárius, vagyis a változók kointegrált rendszert alkotnak.

Sokszor még ennél is egyszerűbben alkalmazzuk a Durbin-Watson statisztikát: ha a kointegráló regresszió magyarázó ereje nagyobb mint a DW-statisztika, akkor feltételezzük, hogy hamis reg-resszióval állunk szemben, vagyis a változók nem kointegráltak.

Ennél megalapozottabb eljárás, ha a _t stacionaritását valamely ismert próbával teszteljük. Leg-gyakrabban a kiterjesztett Dickey-Fuller próbát (ADF) alkalmazzák, de meg kell jegyeznünk, hogy ebben az esetben a teszt kritikus értékei kismértékben eltérnek az „egyszerű” egységgyök-tesztek-ben alkalmazottaktól. Az új kritikus értékeket Engle-Granger (1987) határozta meg, ezért a próbát EG-tesztnek szokás nevezni. A próba alapján a döntés egyértelmű: ha a nullhipotézist (_t egységgyököt tartalmaz) nem tudjuk elvetni, akkor a rendszer nem kointegrált, ellenkező eset-ben a változóink kointegráltak.

A Tour de France kerékpáros körverseny 100 évnél is hosszabb történetében feljegyezték a versenytáv hosszát, illetve megbecsülték (mivel az országúti kerékpárversenyen nincs belépő-jegy, ezért szükséges a közelítés) a versenyeket a helyszínen megtekintő nézők számát! A két sztochasztikusan változó idősor alakulását szemlélteti az alábbi ábra:

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

1920 1940 1960 1980 2000

Nézőszám (ezer fő) Versenytáv (km)

134 Az ábra alapján érzékelhetjük, hogy a vizsgált idősorokban trend van, de hogy közös-e, az igényli az előbb bemutatott EG-teszt alkalmazását. Elsőként elvégeztük a két változóra vonat-kozó egységgyök teszteket (hiszen ha pl. stacionáriusak, akkor fel sem merül a kointegráltság lehetősége), ennek eredményeképpen az alábbi értékeket kapjuk:

 

Kijelenthető tehát, hogy az idősorok nem stacionáriusak: köztük elvben nem kizárt a kointeg-ráltság.

Ezért becsüljük a vélelmezett kointegráló regressziót:

2647,66 0,4636

t t t

Nézőszám   Versenytáv  

A paraméterbecslést követően már „gyanakodhatunk”, ugyanis a modell magyarázó ereje (R²0,419) meghaladja a Durbin-Watson statisztika értéket (d 0,010), ami hamis regresz-sziót sejtet. Elvégezzük az EG-tesztet, ahol próbafüggvény-értékként, illetve szignifikancia ér-tékként az alábbi számokat kapjuk:

 

ˆ 2,6049 p 0,9999

  

Mindez azt mutatja, hogy a kointegráló regresszió hibatagja nemstacioner, azaz a két vizsgált idősor nem kointegrált, vagyis nincs közös trendjük. Vagyis nem mondható, hogy a nézőszám stabil növekedése a versenytáv változásának tudható be.

Láthattuk, hogy amennyiben k1 változó kointegráltságát vizsgáljuk, nem csak egy, hanem akár k különböző kointegráló regressziót is becsülhetünk (ennyi különböző kointegráló vektor létez-het). Mindez azt jelenti, hogy annak függvényében, hogy melyik változót állítjuk a kointegráló reg-resszió eredményváltozójának helyébe, más és más paraméterbecslési eredményekre jutunk. Ké-zenfekvő a kérdés: melyik ezek közül a legjobb kointegrációs összefüggés, illetve pontosan hány független lineáris kombináció írható fel?

A választ az ún. Johansen-próba szolgáltatja, amely valamennyi (r k) kointegráló regresszió becslé-sén alapul. A teszt első leírása megtalálható Johansen (1991) cikkében.

Tegyük fel, hogy k1 változó mindegyike⁶⁰ elsőrendű integrált, vagyis I

 

1 folyamatot követ.

Ezen változóhalmazra felírható egy vektor autoregresszív (VAR) modell:

1 1 2 2

t  t  t   r t r  t

x Β x Β x Β x ε (4.37)

60 Az egyszerűbb jelölés kedvért a k1 változó alkotta vektort x -vel jelöljük, vagyis nem különböztetjük meg t y – _t a módszer szempontjából most már egyáltalán nem „kitüntetett” – változót.

135 melyben x_t (és ebből adódóan, értelemszerűen valamennyi

x

_{t j} )

 k   1 1 

rendű vektor, vala-mint valamennyi

Β

_j paramétermátrix



k  1

 

k 1



-ed rendű. Az ún. Johansen-approximáció értelmében a fenti VAR-modell átírható egy vektor-hibakorrekciós modellé (VECM), vagyis

 

A kointegráció teszteléséhez, illetve annak megállapításához, hogy hány független kointegráló vek-tor írható fel a rendszerben, az előbb bemutatott Π mátrix sajátértékeire van szükség. A mátrix rangja (vagyis a képezhető független kointegráló vektorok száma) megegyezik a zérótól különböző sajátértékek számával.⁶¹

Rendezzük a sajátértékeket (_i) csökkenő sorrendbe, vagyis legyen   _{1 2}  _k1! Ha a vál-tozók nem kointegráltak, akkor a Π mátrix rangja nem különbözik szignifikánsan nullától, vagyis

0 1, 2, , 1

Ezen az elven végighaladva Johansen két próbafüggvényt javasolt. Amennyiben a kointegráló vek-torok feltételezett számát r -rel jelöljük, úgy a

   

szemben. Amennyibengértékét „végigfuttatjuk” az 0,1, 2, , k számsoron, dönteni tudunk arról a hipotézispárról, amelyben a nullhipotézis szerint legfeljebb g kointegráló vektort találunk a rend-szerben. Az alternatív hipotézis szerint ennél több kointegráló vektor becsülhető. Láthatjuk, hogy az „alapkérdést” (kointegrált-e a rendszer, tehát van-e legalább egy kointegráló vektor) a g 0 helyettesítéssel válaszolhatjuk meg: amennyiben itt (is) elfogadjuk a nullhipotézist, akkor a rendszer nem kointegrált.

Ugyanakkor a

61 A sajátértékek statisztikában betöltött szerepéről lásd: Hajdu (2010).

136

        ^{ }

max g g, 1 max Tln 1 _g ; Tln 1 _g1 Tln 1 _g

             (4.40)

statisztika teszteli a kointegráló vektorok száma egyenlő g-vel nullhipotézist (H r₀:  g), a vekto-rok száma egyenlő g 1 alternatívával (H r₁:  g 1) szemben.

Mindkét próba a Johansen által kidolgozott saját táblát használja és a kointegráció meglétének tesz-telésére kitűnően használható.

Tekintsünk a kointegráció tesztelésére egy nagyon hipotetikus példát! Vizsgáljuk meg, hogy kointegrált rendszert alkotnak-e a legnagyobb sportszermárkák tőzsdei árfolyamai! (A vizsgálat időhorizontja a 2015. október-2016. szeptemberi időszak, amely 253 megfigyelést (napi záró-árfolyamot) tartalmaz és magában foglalja a Rio-i nyári olimpiát is.) Elsőként teszteljük, hogy az ADIDAS, a NIKE és az UNDER ARMOUR (UA) részvények árfolyamai integráltak-e, hiszen ez előfeltétele a kointegráltságnak:

Próba ADIDASt NIKE_t UA_t

Láthatjuk, hogy mindhárom árfolyam elsőrendben integrált, így a kointegráció elvben lehetsé-ges. Teszteljük, hogy a három árfolyam együttesen kointegrált rendszert alkot-e, vagyis az olim-pia környékén a sportszergyártó cégek részvényárfolyamai azonos pályát jártak-e be! Ennek érdekében elvégeztük a Johansen-próbát, eredményeinket az alábbi táblázatban foglalhatjuk össze:

Rang (g) Sajátérték trace p-érték max p-érték

0 0,022783 9,9885 0,9765 5,7155 0,9810

1 0,014741 4,2730 0,8750 3,6831 0,8829

2 0,002376 0,5899 0,4425 0,5899 0,4425

A próbafüggvények értékei, illetve a hozzájuk tartozó szignifikancia-értékek mutatják, hogy egyetlen kointegráló vektor sem létezik, vagyis a három árfolyam nem alkot kointegrált rend-szert: az árfolyamok nem bolyonganak együtt.

137 A példában ugyan nem találtunk kointegrált változókat, de más esetekben felmerülhet a kérdés, hogy ha a változóink közös trenddel rendelkeznek, milyen módszerrel kell a kointegráló regresszió paramétereit megbecsülnünk. Abban az esetben, ha idősoraink (illetve az őket generáló folyamatok) nemstacionerek, ugyanakkor feltételezhetjük, hogy kointegráltak, (legalább) három paraméterbecs-lési eljárás közül választhatunk, ezek

 az Engle és Granger által javasolt kétlépcsős eljárás,

 az Engle-Yoo módszer, illetve

 a – részben már bemutatott – Johansen-módszer.

Mivel az Engle-Granger módszer viszonylag könnyen átlátható és több jó tulajdonsággal is rendel-kezik, ezért a fentiek közül ezzel fogunk röviden megismerkedni. Miután meggyőződtünk arról, hogy valamennyi, a vizsgálatba vont változó I(1), két lépcsőben hajtjuk végre az Engle-Granger paraméterbecslést:

1. becsüljük a kointegráló regressziót LNM-mel, képezzük a hibakorrekciós tagot (^ˆ_t  y_t  b₀ b x_{1 t}) és teszteljük, hogy stacioner-e. Amennyiben igen⁶²,

2. LNM-mel becsüljük a hibakorrekciós modellt, vagyis az

0 1 2ˆ 1

t t t t

y a a x a _ u

       regressziót, ahol u fehér zaj. _t

Az eljárás többváltozós esetben értelemszerűen módosul, de ugyanígy hajtható végre. A bemutatott eljárás viszonylag rossz kismintás tulajdonságokkal rendelkezik, és több változó esetén szimultane-itási torzítás is felléphet: ezt megnyugtatóan VAR-modellel kezelhetjük.

A kointegráció fogalmának megjelenése, illetve a változók hosszú távú együttmozgásának hibakor-rekciós modelljei alapvetően megváltoztatták az ökonometriát: kijelenthető, hogy mára mindez nél-külözhetetlen eszközzé vált. (Természetesen nem csak (sport)gazdasági idősorok esetén alkalmaz-hatjuk hatékonyan a kointegráció módszertanát, hanem például sporteredmények együttmozgásá-nak vizsgálatakor is. Az ilyen hasznosítások bemutatása meghaladja könyvünk kereteit, ám a per-formance science szakirodalma bővelkedik az alkalmazásokban.)

Könyvünk következő részében a 2-4. fejezetekben bemutatott általános statisztikai, illetve ökono-metriai módszerek és modellek sportgazdasági alkalmazásaira láthatunk példákat.

62 Amennyiben nem, úgy a változók nem kointegráltak, közöttük csak rövidtávú együttmozgás van: regressziós modellt csak az első differenciák között érdemes felírni.

138

139

5 Sportgazdasági esettanulmányok

A Bevezetőben is hangsúlyoztuk, hogy a sport stratégiai ágazat szerepe nem csak abban nyilvánul meg, hogy a sportsikerek kitűnő közhangulat-javító lehetőségek, de abban is, hogy a sportgazdaság a nemzeti jövedelem termelésének és felhasználásának egyre markánsabb szereplője. A sporttudo-mányi kutatásokban – az edzéselmélet, vagy legális teljesítmény-fokozás mellett – egyre hangsúlyo-sabban jelennek meg a sportegyesületek gazdálkodásával, a sportfogyasztás multiplikátor hatásaival foglalkozó dolgozatok. A következőkben hat esettanulmányt mutatunk be, ezek mindegyike el-hangzott már jelentős szakmai fórumok előtt. A könyvbe került szerkesztett változatokba beépítet-tük a konferenciák hozzászólásainak tanulságait is.

In document Ökonometriai modellek alkalmazása a sportgazdaságban (Pldal 130-139)