A koncentráció speciális mérőszámai

Az irodalomban a Competitive Balance mérésére a leginkább elterjedt mutató a győzelmi arány szórása a bajnokságon belül (Scully, 1989; Quirk-Fort, 1999). Néhány európai liga – különösen a labdarúgás – esetében azonban ez a mérőszám nem helytálló, mivel a mérkőzések nagy része dön-tetlennel végződik. Jobb módszernek mutatkozik az a megoldás, amikor a győzelmi arány helyett az egyes csapatok által megszerzett pontok arányát vizsgálják egy-egy bajnokságon belül. Erre az arányszámra épül a másik gyakran alkalmazott CB-mérőszám az ún. Hirshman-Herfindahl Index (továbbiakban HHI), mely egy koncentráció mérésére használt index. Számítása az egyes csapatok ponteloszlásának négyzetösszegével történik.

A kiegyensúlyozottság mérése, valamint az egyes szezonok, bajnokságok összehasonlítása az euró-pai ligák esetében – a döntetlenen túl – azért sem egyértelmű, mert a csapatok száma nem állandó.

Az 5 topbajnokság mérete az elmúlt évtizedekben rendszeresen változott, megnehezítve ezzel mind a nemzeti ligák közötti, mind pedig az időben különböző szezonok összehasonlítását.

80 Az egyes bajnokságokra vonatkozó adatok a www.transfermarkt.com oldalról származnak.

169 A méretbeli különbségekkel számolva Depken (1999) tovább fejlesztette a CB mérésére használt HHI-t. Módszere szerint vagy a minimális értékű HHI kivonásával (dHHI) plauzibilisebb mutató-számhoz jutunk. Hasonló megfontolásból javasolja Lenten (2009) egy olyan hányados képzését, ahol a minimális érték szerepel a nevezőben (HICB). Hall-Tideman (1967) szerint a koncentráció mérésének teljesítenie kell számos elvárt axiómát, legfőképpen azt, hogy az index értékének 0 és 1 közé kellene esnie. Sajnos azonban sem a Depken-féle dHHI, sem a Lenten által kidolgozott HICB nem elégíti ki a fenti feltételeket. Adjemian és munkatársait követve (Adjemian et al., 2012) kísér-letet tettek egy olyan mutató kidolgozására, amely teljesíti mindezen axiómákat.

A javasolt mutató meghatározásához tekintsük először a Hirschman-Herfindahl koncentrációs in-dexet! Jelölje tehát pi az adott bajnokságban egy csapat által megszerzett pontokat. Ekkor az i csapat részesedése a pontokból egy n csapatból álló liga esetén:

1

ahol 0 s_i 1. A Hirschman-Herfindahl indexet az alábbi módon határozhatjuk meg:

2

Amennyiben a bajnokságban szereplő minden csapat azonos pontszámot (p^) ér el, akkor a baj-nokságban kiosztott összes pont

1

Ilyenkor teljesül a tökéletesen kiegyensúlyozott állapot (Perfect Competitive Balance, továbbiakban PCB), amelyben

Tökéletesen kiegyensúlyozott állapotban, vagyis az erőkoncentráció hiányában tehát

min

HHI 1

n

170 amely alsó korlát értéke – értelemszerűen – a bajnokságok méretétől függ, tehát különböző ligák összehasonlítása esetén mindezt nem hagyhatjuk figyelmen kívül.

A sportgazdaságtani elemzésekben az egyes HHI-k meghatározásának célja – a gazdaságtani elem-zésekhez hasonlóan –, hogy segítségükkel összehasonlításokat lehessen végezni egyazon liga egyes szezonjai, vagy akár különböző bajnokságok között. Ehhez azonban egy olyan mutatószám kidol-gozására van szükség, amelynek értéke 0 és 1 közé esik, vagyis alsó korlátja tökéletes kiegyensúlyo-zottság (PCB) esetén ténylegesen elérheti a nullát, míg maximuma egy tökéletesen kiegyensúlyozat-lan állapotban (Perfect Competitive Imbakiegyensúlyozat-lance) a mutató értéke 1. Depken (1999) után Lenten (2009), majd Pawlowski et al. (2010) is próbáltak megoldást találni fenti problémákra, de az általuk kidolgozott HHI-indexek is érzékenyek voltak a bajnokságok méreteire. Nem tudták áthidalni azt a sportbeli sajátosságot, miszerint még a monopolhelyzetben lévő csapat sem tudja a pontok 100%-át begyűjteni, vagyis a koncentrációs mutató felső korl100%-átja nem lehet 1.

Az előbbi problémát feloldó, ún. általánosított, vagy más szerzőknél normalizált Hirschman-Her-findahl index (HerHirschman-Her-findahl Ratio of Competitive Balance, továbbiakban: HRCB) számos irodalom-ban megjelenik, számítása az alábbiak szerint történik:

min

Mivel a minimális HHI értéke ismert (1 n ), a normált HHI-t megkaphatjuk, ha meg tudjuk hatá-rozni a maximális HHI értékét. Adjemian et al. (2012) említett munkája nyomán belátható az alábbi összefüggés: ki-egyensúlyozott-, míg felső korlátját a teljesen kiegyensúlyozatlan bajnokság esetén veszi fel.

Mivel célunk annak elemzése, hogy okozhatja-e a vagyoni koncentráció a verseny kiegyensúlyozott-ságának csökkenését, ezért szükséges meghatározni a bajnokságokban induló klubok vagyonának koncentráltságát. Amennyiben valamennyi klub vagyoni helyzete ismert (lenne), ebben az esetben is módunk nyílna HHI-indexet számolni, sőt képesek lennénk az előbb említett HRCB-mutatóhoz hasonló normált mutatót is meghatározni. A HHI-ről az új mutatóra (Herfindahl-ratio of Wealth, továbbiakban: HRW) történő áttérésnél itt is a maximális érték meghatározása a neuralgikus pont, hiszen noha elméletileg előfordulhatna teljes koncentráltság (egyetlen csapat monopolhelyzete), de a gyakorlatban nehezen képzelhető el, hogy egy csapat rendelkezik az összes vagyonnal, míg a töb-biek 0 összegből működnek. A vagyon-koncentráció esetén a maximális kiegyensúlyozatlanságot

171 úgy határoztuk meg, hogy az empirikus minimumot tekintettük elméleti minimumnak, mivel úgy gondoljuk, hogy ez az a legkisebb összeg, amivel az adott bajnokságban el lehet indulni. Feltételez-tük, hogy a bajnokságban egy kivételével az összes csapat ezzel az empirikus minimum értékkel rendelkezik és a bajnokságban szereplő csapatok összes vagyonának fennmaradó része egyetlen klubnál jelenik meg. Ebben az esetben HHI_max^weath értéke:

 

 

ahol w_mina minimális vagyonnal rendelkező csapat vagyona és SW az összes csapat vagyonának összege. Innen a HRW már számolható:

  ^{min min}

A következő részben öt európai futballbajnokság példáján szemléltetjük a verseny kiegyen-súlyo-zottságának mérhetőségét, illetve a kiegyensúlyozottság és vagyonkoncentráció közötti kapcsolatot.