3.2 A kétváltozós modell kiterjesztése
3.2.2 Nemlineáris regresszió
A gazdasági, így a sportgazdasági folyamatok gyakran igénylik a nemlineáris típusú regressziófügg-vények használatát. Ilyen összefüggést kell feltételeznünk egyes mikrogazdasági modellekről, pél-dául a költség-, és termelési függvényekről, illetve a kereslet ár-, vagy jövedelem-változás következ-tében bekövetkező elmozdulásáról.
A statisztikai modellezés a nemlineáris függvények két típusát különbözteti meg:
a változóiban nem lineáris függvényeket, és
a paramétereiben nem lineáris függvényeket.
Az első esetben viszonylag könnyű dolga van a modellezőnek, mivel a változók transzformációja után lineáris regresszió írható fel, és ekkor – ha egyébként a véletlen változókra vonatkozó elméleti feltevések fennállnak – a klasszikus legkisebb négyzetek módszere alkalmazható. A második eset-ben a paraméterek becslési módszerén kell változtatni.
A változóiban nem lineáris függvények esetén a változók transzformálásával olyan feltételeket te-remtünk, amely a hagyományos, lineáris becslési módszer alkalmazását is lehetővé teszi. A magya-rázó változó sokszor alkalmazott transzformációi a gyakorlatban a reciprok-képzés, a logaritmálás, a gyökvonás, illetve a hatványozás.
A leggyakrabban alkalmazott nemlineáris regressziófüggvény legfontosabb jellemzőit a 3-2. táblázat tartalmazza.
Típus A függvény
alakja meredeksége rugalmassága Exponenciális (log-linear) 0
10 1
61
3-2. táblázat: A leggyakrabban alkalmazott nemlineáris regressziófüggvények
Láthatjuk, hogy az eredetileg nemlineáris függvények sokszor könnyen lineárissá tehetők, és ehhez csak a változók logaritmusára van szükség. Előfordulhat a gyakorlatban, hogy csak az egyik változó logaritmikus transzformációjára van szükség, ekkor két esetet különböztethetünk meg:
az exponenciális függvényt, amikor az eredményváltozó relatív változását a tényezőváltozó abszolút változásával magyarázzuk, illetve
a szemilogaritmikus függvényt, melyben az y változó abszolút változását az x változó re-latív változása magyarázza.
Az első eset, az exponenciális függvény általános esetben ˆy ab x formájú, és általában akkor alkalmaz-zák, amikor valamely jelenség növekedése függ a jelenség elért színvonalától. Ilyenkor a b regresz-1 sziós együttható arra ad választ, hogy a magyarázó változó egységnyi növekedése hányszorosára változtatja az eredményváltozó értékét. A b paraméter azt az esetet számszerűsíti, amikor a ténye-0 zőváltozó értéke 0, tehát ha a nulla a magyarázó változó értékkészletének valós része, az eredmény-változó pontbecslése megegyezik a konstans paraméterrel. Az exponenciális függvény fő alkalma-zási területe – mint korábban láttuk – a trendszámítás.
A hatványkitevős regressziófüggvény a gyakorlatban sűrűn használt modell. A linearizálás érdekében itt mind az eredmény változót, mind a tényezőváltozót transzformálnunk (logaritmálnunk kell, ezért is nevezik log-log modellnek is. A transzformált modell esetén már közvetlenül használhatjuk a paraméterek becslésére a klasszikus legkisebb négyzetek módszerét.
A hatványkitevős (multiplikatív) modellben a b regressziós együttható azt fejezi ki, hogy a ténye-1 zőváltozó egységnyi relatív változása mekkora relatív (százalékos) változást idéz elő az eredmény-változóban. A hatványkitevős regresszió esetében tehát az elaszticitási együttható konstans, hiszen megegyezik a b paraméterrel. A 1 b paraméter értelmezése is kissé eltér a lineáris függvény kapcsán 0 megismerttől. A logaritmikus összefüggés miatt az eredményváltozó becsült értéke b paraméter 0 értékével lesz egyenlő, ha a magyarázó változó egyenlő 1-gyel.
A reciprok regressziós modelleket (általában hiperbolákat) akkor alkalmazzuk, ha meggyőződünk a vál-tozók reciprok jellegű összefüggéséről. A hiperbolikus függvény esetén a b paraméternek sajátos 0 jelentése van. Könnyen belátható ugyanis, hogy b az az érték, amely felé a függvény aszimptoti-0 kusan közelít, ha x értéke minden határon túl nő, vagyis
62
ezért a b paramétert sokszor telítődési szintnek nevezik. 0
A parabola-, köb-, vagy általánosságban a polinomiális regressziófüggvények általános alakja az alábbi
2
0 1 2
ˆy b b x b x b xk k (3.25) A k-ad fokú (más elnevezéssel k-ad rendű) polinomokról érdemes megjegyeznünk, hogy amennyi-benk1, akkor a kétváltozós lineáris regressziófüggvényt nyerjük vissza. A másodfokú polinomot parabolának, a harmadfokút köbfüggvénynek is nevezzük. A polinom függvények alkalmazása azért terjedt el széles körben, mert alkalmas paraméterválasztás mellett a függvények többször is „irányt váltanak”, vagyis meredekségük előjele megváltozik. Célszerű megjegyezni, hogy az ilyen irányvál-tások száma mindig eggyel kisebb, mind a polinom rendje! Noha a polinom függvény kétváltozós, paraméterbecslése a többváltozós lineáris regressziószámításnál tanult módon történhet, hiszen amennyiben élünk az alábbi helyettesítésekkel
2
1, 2, , k k
x x x x x x akkor a (3.25) modell a (3.17) modellel lesz ekvivalens.
A nemlineáris kapcsolat szorossága a lineáris regressziónál már bemutatott eltérésnégyzet-összegre építő determinációs együttható alapján mérhető. A modell magyarázó erejét nemlineáris kapcsolat esetén az ún. korrelációs index négyzetével mérhetjük:
Könnyen belátható, hogy a mutató értéke 0 és 1 közé esik, magasabb értéke szorosabb kapcsolatot (jobban illeszkedő modellt) jelez. (Az ökonometriai programcsomagok a determinációs együtthatót általában R2-tel jelölik, függetlenül attól, hogy a modell lineáris, vagy nem. Így az előző terminoló-giai megkülönböztetés inkább csak elméleti jellegű!)
Egy Európai Uniós felmérésben 500 véletlenszerűen kiválasztott fogyasztót kérdeztek meg arról, mekkora az éves sportcélú kiadása (€). A kiadásokat a válaszadó korának függvényében az alábbi ábra mutatja:
63 Az ábra alapján azonnal szembeötlik, hogy a kapcsolat a két változó között nem lineáris, így célszerűnek látszik más függvényformák (hatványkitevős, hiperbolikus, parabola) illesztése. A legfontosabb modellezési eredmények az alábbiak:
Függvény Modellbecslés I2
Hatványkitevős ˆy30667,8x1,255 0,417
Hiperbolikus 14303
ˆy 45, 08
x 0,405
Másodfokú polinom ˆ 1782 64,7y x0,65x2 0,559
A legjobban illeszkedő modell a parabola (másodfokú polinom), így ennek alapján célszerű elemezni a kor és a kiadások összefüggését. A leginkább szembeötlő, hogy a felmérés alapján az 50 évesek költik a legkevesebbet sportra (a függvény minimuma 49,8 évnél van), vagyis a fiatalok és az idősebbek is fontosabbnak tartják a sport egészségmegőrző hatását, mint a mun-kával erősen leterhelt középkorúak.
A nemlineáris regressziós modellek leggyakoribb ökonometriai alkalmazásai a keresleti- és a terme-lési függvények. A gazdasági összefüggések modellezése során leggyakrabban arra vagyunk kíván-csiak, hogy milyen tényezőktől függ, és hogyan alakul egy jószág (termék, szolgáltatás) kereslete, illetve arra, hogy a rendelkezésre álló termelési tényezők felhasználásával mekkora kínálatot tudunk előállítani az előbbi kereslet kielégítése érdekében.
A keresleti függvények azt mutatják meg, hogy a kereslet mértéke hogyan függ azoktól a gazdasági és nem gazdasági tényezőktől, amelyek a fogyasztók döntéseit befolyásolják. A függvények a 19. szá-zadban jelentek meg a közgazdasági irodalomban, és az elmúlt közel két évszászá-zadban számtalan
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
20 30 40 50 60 70
Kiadás (€)
Kor (év)
64 megújuláson mentek keresztül.30 A modellek specifikációja során először csak a vizsgált termék saját ára szerepelt, mint magyarázó változó, aztán ez folyamatosan bővült olyan tényezőkkel, mint
a rokon (kiegészítő, illetve helyettesítő) termékek árai,
a jövedelem,
az idő.
A ma legáltalánosabban használatos jószág-keresleti függvények az alábbiak
S, , ,1 k, , ,
D f p p p Y t e (3.27)
ahol D a jószág kereslete (általában természetes mértékegységben, de előfordul, hogy értéken), pS a vizsgált termék/szolgáltatás ára, p1, , p a komplementer, illetve kompetitív termékek árai, k Y a fogyasztó(k) jövedelme, t a szokásos módon az idő múlását mutató változó és e a reziduális változó. A függvény alkalmas a keresletelemzésben kitüntetett szerepet betöltő ár- és jövedelemru-galmassági együtthatók becslésére és a kereslet mértékének prognosztizálására.
A keresleti modellek között kitüntetett helyet foglalnak el az ún. kereslet-jövedelem függvények, az Engel-görbék. Ezekben a modellalkalmazásokban jól nyomon követhető a statisztika (ökonometria) induktív jellege, ugyanis a modellspecifikációt annak alapján végezzük, hogy mit tapasztalunk a vizsgált jószág relatív keresletéről (fogyasztói kosáron belüli részarányáról), illetve a kereslet jöve-delemrugalmasságáról. Hajdu és mtsai. (1987) az Engel-görbék számos változatát bemutatja, itt – illusztrációképpen – mindössze három függvényt mutatunk meg.
Kereslet típusa Engel-görbe
alakja jövedelem-rugalmassága relatív kereslete
Divergens D bˆ 0 b1lnY
13-3. táblázat: A leggyakrabban alkalmazott Engel-görbék
A 3-3. táblázatban azok a keresleti függvények szerepelnek, melyek jövedelemrugalmassága egynél kisebb, vagyis a fogyasztó jövedelmének 1%-os változása a keresletet kevesebb, mint 1%-kal növeli, és ez a rugalmasság a jövedelem növekedésével párhuzamosan csökken. Ha belegondolunk, ez a sportpiac jószágainak nagy részére igaz, hiszen, ha növekszik a jövedelmünk nem tudunk (hiszen nincsen időnk) még többet sportolni, még többet költeni ezen a piacon.
30 A keresleti függvények történetéről lásd pl. Hajdu és mtsai. (1987)
65 A táblázatban szereplő három függvénytípus viszonylag jól lefedi a sportökonometria által vizsgált termékeket, illetve szolgáltatásokat, hiszen
a divergens keresletű termékek fogyasztásának növekedési üteme csökken a jövedelem emel-kedésével, de a kereslet elvileg korlátlan: ilyenek tipikusan a sportszerek, melyeket – ha jö-vedelmi helyzetünk lehetővé teszi – gyakrabban cserélünk, vagy drágább árfekvésből vá-lasztjuk;
a konvergens keresletű javak csoportjában a kereslet nem növekszik egy határon túl, más szóval egy szinten telítődik: gondoljunk például a sporteseményeken való részvételünkre, melyek számosságának a szabadidőnk mennyisége korlátot szab;
végül az inferior jószágok kereslete egy színvonalig növekszik, majd onnan visszafordul és egy alsó határig csökken: tipikusan ilyen a szezonális sportágakhoz (síelés, vitorlázás) szükséges termékek iránti kereslet, ahol, ha a „nagyberuházást” megejtettük, utána a felszerelés kar-bantartására már sokkal kevesebbet költünk.
A keresleti függvények sportgazdasági alkalmazásaival kapcsolatban érdemes elolvasni Borland-McDonald (2003) gondolatébresztő tanulmányát.
A termelési függvények közel három évszázados múltra tekinthetnek vissza (a kifejezést Turgot hasz-nálta először), sőt a logaritmikus termelési függvény is ismert már Malthus óta. Az ökonometria mégis a Cobb-Douglas függvényt tekinti az első mai értelemben vett termelési függvénynek, ahol a kibocsátást az élő- és a holtmunka ráfordítás (egyszerűbben fogalmazva a munka- és a tőke-fel-használás) alapján próbáljuk megbecsülni.31 A termelési függvények általános alakja
, ,
Q f L K e (3.28)
ahol – a már ismert reziduális változó mellett - Q a kibocsátást, L az élőmunka ráfordítást, K a tőkefelhasználást jelenti.
A termelési függvények segítségével olyan lényeges közgazdasági kategóriák megmérésére (megbe-csülésére) van lehetőségünk, mint
a termelési tényezők átlagtermelékenysége: ˆ ˆ Q Q, L K ,
az előző reciproka, a technológiai koefficiens
a termelési tényezők határtermelékenysége: ˆ ˆ Q, Q
31 Lásd Cobb-Douglas (1928).
66
A fenti mutatók az ökonometriai modellezésben kitüntetett szerepet töltenek be. Segítségükkel olyan kérdésekre kaphatunk választ, mint
mennyivel változik a kibocsátás, ha az egyik termelési tényezőt egy egységgel növeljük (ha-tártermelékenység);
hány százalékkal változik a termelés volumene, ha ez egyik termelési tényező felhasználását 1%-kal növeljük (parciális rugalmasság)
milyen relatív változást érünk el a kibocsátásban, ha mindkét termelési tényezőt egyidejűleg 1%-kal növeljük (volumenhozadék);
mennyivel kell megnövelni a másik termelési tényező felhasználását, ha az egyik tényezőt egy egységgel csökkentjük (helyettesítési határarány).
A leggyakrabban használt termelési függvények formulája és legfontosabb jellemzői a 3-4. táblázat-ban találhatók.
A termelési függvény
elnevezése alakja jellemzője
Cobb-Douglas Q b L Kˆ 0 b1 b2 1
Konstans elaszticitású (CES) Q b b Lˆ 0
1 b2
1 b K1
b2
b b3 2 0 és állandó Változó elaszticitású (VES) Q b Kˆ 0 b31b b2 1
L
b11
K
b b b3 2 1 0 és változó3-4. táblázat: Termelési függvények
A termelési függvények segítségével képet alkothatunk arról, hogy miként függ például egy sport-vállalkozás árbevétele a játékosokra költött bérektől, illetve az igénybe vett tárgyi eszközöktől (pl.
stadion). A termelési függvények sportgazdasági alkalmazására mutat példát Rappai (2015).
A keresleti, illetve termelési függvények rövid ismertetéséve illusztrálni kívántuk a nemlineáris reg-ressziós modellek ökonometriai célú alkalmazásait. (A téma iránt érdeklődő Olvasóknak könyvtár-nyi irodalom áll rendelkezésére.)