Speciális alakú prímek:
6.1 Multiplikativitás, additivitás
6.1.1 Definíció . D 6.1.1
Számelméleti függvényeknek a pozitív egészeken értelmezett komplex értékű függvényeket nevezzük.
Példák: az pozitív osztóinak a száma (lásd az T 1.6.3 Tételt);
az Euler-féle -függvény (lásd a D 2.2.7 Definíciót és a T 2.3.1 Tételt); , stb.
Néhány fontos számelméleti függvényt a 6.2 pontban fogunk ismertetni.
A számelméleti függvények vizsgálatánál gyakran lényeges szerepet játszanak az alábbi tulajdonságok:
6.1.2 Definíció . D 6.1.2
Az számelméleti függvény multiplikatív, ha bármely esetén teljesül.
6.1.3 Definíció . D 6.1.3
Az számelméleti függvény teljesen multiplikatív (vagy totálisan multiplikatív), ha minden
esetén teljesül.
Példák:
Az Euler-féle -függvény multiplikatív (ezt a T 2.3.1 Tétel első bizonyításában igazoltuk), de nem teljesen multiplikatív, mert például . Hasonló a helyzet a -nel (lásd a 6.1.1 feladatot [169]).
Az függvény, ahol rögzített valós szám, teljesen multiplikatív (és így multiplikatív is).
A függvény nem multiplikatív, mert például , de .
Ha a függvényértékek szorzata helyett az összegükre követelünk meg a fentiekhez hasonló feltételeket, akkor az additív, illetve teljesen additív függvény fogalmához jutunk:
6.1.4 Definíció . D 6.1.4 definíciójában is az (és nem az ) függvényértékre vonatkozik.
Példák:
A (bármilyen alapú) logaritmusfüggvény teljesen additív.
additív, de nem teljesen additív.
nem additív (és így nem lehet teljesen additív sem).
Az (azaz az azonosan nulla) függvény mind teljesen multiplikatív, mind pedig teljesen additív, de más függvény nem lehet egyszerre multiplikatív és additív (ez leolvasható például a T 6.1.6 Tételből).
Először megmutatjuk, hogy egy additív, illetve egy multiplikatív függvény az 1 helyen csak speciális értéket vehet fel:
A másik állítás is hasonlóan bizonyítható. ∎
A T 6.1.6 Tétel tehát az additivitásnak, illetve multiplikativitásnak egy szükséges (de nem elégséges) feltételét adja.
Az additivitás, illetve multiplikativitás definíciójából azonnal következik, hogy egy additív, illetve ( ) multiplikatív függvényt a prímhatvány helyeken felvett értékei már egyértelműen meghatároznak:
6.1.7 Tétel . T 6.1.7
Legyen multiplikatív, additív és kanonikus alakja . Ekkor
Ezt a tényt használtuk fel a képletének levezetésekor is (a T 2.3.1 Tétel első bizonyításában).
A teljesen additív, illetve ( ) teljesen multiplikatív esetben a függvényt már a prím helyeken felvett értékei is egyértelműen meghatározzák:
6.1.8 Tétel . T 6.1.8
Legyen teljesen multiplikatív, teljesen additív és kanonikus alakja . Ekkor
A T 6.1.7 Tételt kiegészíthetjük azzal, hogy a prímhatvány helyeken felvett értékekre a multiplikativitás, illetve additivitás már semmilyen megszorítást sem jelent, ezek „szabadon megválaszthatók”. Ezen pontosan a következőt kell érteni: akárhogyan írjuk elő a prímhatvány helyeken felveendő értékeket, biztosan létezik olyan multiplikatív, illetve additív függvény, amely ezeken a helyeken az előírt értékeket veszi fel. A teljesen multiplikatív, illetve teljesen additív esetben hasonló értelmű állítás érvényes a prímhatványok helyett a prímekre. (Minderre vonatkozólag lásd a 6.1.4 feladatot [169].)
Feladatok
6.1.1 Mutassuk meg, hogy a függvény multiplikatív, de nem teljesen multiplikatív.
6.1.2 Az alábbi függvények közül melyek multiplikatívak, illetve teljesen multiplikatívak, és melyek additívak, illetve teljesen additívak?
(a)
(b)
(c)
(d)
6.1.3 Van-e olyan additív, illetve multiplikatív függvény, amelyre , és ?
6.1.4 Legyen a prímszámok, pedig a
prímhatványok sorozata, és legyenek tetszőleges komplex számok.
(a) Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan multiplikatív, illetve additív függvény létezik, amelyre
(b) Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan teljesen multiplikatív, illetve teljesen additív függvény létezik, amelyre
6.1.5 Ha csak pozitív egész értékeket vesz fel, akkor tetszőleges -re definiálhatjuk a összetett függvényt. Melyek igazak az alábbi állítások közül?
(a) Ha és teljesen multiplikatív, akkor is teljesen multiplikatív.
(b) Ha és teljesen additív, akkor is teljesen additív.
(c) Ha multiplikatív és teljesen multiplikatív, akkor is multiplikatív.
(d) Ha teljesen multiplikatív és multiplikatív, akkor is multiplikatív.
6.1.6 (a) Legyen teljesen additív. Melyek azok a pozitív egészek, amelyekre a függvény is teljesen additív?
(b) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha a teljes additivitás helyett (mind -re, mind pedig -re) csak additivitást követelünk meg.
(c) Vizsgáljuk meg a kérdés teljesen multiplikatív, illetve multiplikatív változatát is.
6.1.7 (M [577]) (a) Bizonyítsuk be, hogy ha teljesen additív, akkor
(b) Mutassuk meg, hogy ( ) akkor is érvényes, ha -ről csak additivitást teszünk fel.
(c) Adjuk meg az összes olyan -et, amelyre ( ) fennáll.
(d) Vizsgáljuk meg a problémakörnek az egyenlőségre vonatkozó megfelelőjét is.
6.1.8 Legyen valós értékű és . Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor multiplikatív, ha additív.
Megjegyzés: Ennek alapján a valós értékű additív függvények és a pozitív értékű multiplikatív függvények vizsgálata kölcsönösen visszavezethető egymásra.
6.1.9 (a) Bizonyítsuk be, hogy két additív, illetve két teljesen additív függvény összege és különbsége is additív, illetve teljesen additív.
(b) Bizonyítsuk be, hogy két teljesen additív függvény szorzata sohasem teljesen additív, kivéve azt a triviális esetet, amikor a két függvény közül legalább az egyik a 0 függvény.
(c) Mutassunk olyan példát, amikor két additív függvény szorzata is additív, és olyat is, amikor a szorzatuk nem additív.
(d) (M [579]) Adjuk meg az összes olyan additív függvénypárt, amelyek szorzata is additív.
(e) Mutassuk meg, hogy két multiplikatív, illetve két teljesen multiplikatív függvény szorzata is multiplikatív, illetve teljesen multiplikatív.
(f) Bizonyítsuk be, hogy két különböző multiplikatív függvény összege, illetve különbsége sohasem multiplikatív.
6.1.10 (a) Bizonyítsuk be, hogy két additív, illetve két teljesen additív függvény számtani közepe is additív, illetve teljesen additív.
(b) Bizonyítsuk be, hogy ha két teljesen multiplikatív függvény számtani közepe is teljesen multiplikatív, akkor a két függvény egyenlő. Mi a helyzet, ha (mindhárom függvényre) a teljes multiplikativitás helyett csak multiplikativitást követelünk meg?
6.1.11 Tegyük fel, hogy multiplikatív, additív és konstans. Mutassuk meg, hogy ekkor multiplikatív és additív.
6.1.12 (*) (a) Tegyük fel, hogy a additív függvény előáll két multiplikatív függvény különbségeként. Bizonyítsuk be, hogy ha és páronként relatív prímek, akkor
.
(b) Tegyük fel, hogy a additív függvény a triviális előállításon kívül másképp is felírható egy multiplikatív és egy additív függvény szorzataként. Bizonyítsuk be, hogy ha és páronként
relatív prímek, akkor .
6.1.13 (a) (M [581]) Tegyük fel, hogy egy additív függvény értékkészlete csak véges sok számból áll. Igazoljuk, hogy akkor ezen értékek mindegyikét a függvénynek végtelen sok helyen kell felvennie.
(b) Mutassunk példát arra, hogy az (a) rész állítása multiplikatív függvényekre általában nem igaz.
(c) Tegyük fel, hogy egy multiplikatív függvény értékkészlete csak véges sok számból áll, és van olyan érték, amelyet a függvény csak véges sokszor vesz fel. Bizonyítsuk be, hogy ekkor létezik olyan
, hogy ha -nek van -nál nagyobb prímosztója, akkor . 6.1.14 Melyek igazak az alábbi állítások közül?
(a) Ha additív, és van olyan , számpár, amelyre és , akkor
(d) Ha additív, de nem teljesen additív, akkor végtelen sok olyan , számpár létezik, amelyre .
(e) Ha multiplikatív, de nem teljesen multiplikatív, akkor végtelen sok olyan , számpár létezik,
amelyre .
6.1.15 (M [582]*) Jelölje az számok közül azoknak az -knek a számát, amelyekre . Adjunk képletet -re az kanonikus alakjának alapján.
6.1.16 (*) Bizonyítsuk be: