Ebben a pontban prím modulusú kongruenciákra vonatkozó két nevezetes tételt tárgyalunk. Elsőként olyan
kongruenciarendszerekkel foglalkozunk, ahol prím, és
olyan egész együtthatós, -változós polinomok, amelyek konstans tagja 0, azaz
A (2) feltételből azonnal kapjuk, hogy kielégíti az (1) kongruenciarendszert, ezt a továbbiakban triviális megoldásnak nevezzük.
Chevalley tétele arra vonatkozik, hogy az polinomok fokszámára tett alkalmas kikötés esetén az (1) rendszernek létezik nemtriviális megoldása is. (Egy tag fokszáma , egy polinom fokszáma pedig a benne szereplő nemnulla együtthatós tagok fokszámának a maximuma.) 3.6.1 Tétel (Chevalley tétele) . T 3.6.1
Ha az (1)-ben szereplő polinomokra teljesül (2) és fokszámaik összege kisebb a változók számánál, azaz
akkor (1)-nek létezik nemtriviális megoldása.
Példák: Az
kongruenciarendszernek létezik nemtriviális megoldása, azaz olyan, ahol nem mindegyik osztható
23-mal. (Itt és .)
A T 3.6.1 Tételt , azaz egyetlen polinom esetén is jól alkalmazhatjuk: pl. bármely prím esetén a
oszthatóság úgy is megvalósul, hogy legalább az egyik nem osztható -vel. (Most és .)
Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy a kongruenciarendszernek csak triviális megoldása van.
Vezessük be az alábbi két -változós polinomot:
A kis Fermat-tétel szerint
Ebből azonnal következik, hogy -be tetszőleges egész számokat behelyettesítve
Megmutatjuk, hogy ugyanez érvényes -re is, azaz
Legyen először
Ekkor (2) alapján minden -re
azaz minden tényezője és így maga is 1-gyel kongruens modulo . Vegyük most a másik esetet, azaz amikor a számok közül legalább az egyik nem osztható
-vel. Mivel az indirekt feltevés szerint (1)-nek csak triviális megoldása létezik, ezért nem megoldás, vagyis legalább egy -re
Ebből ismét a kis Fermat-tétel alapján következik, hogy
Ez azt jelenti, hogy egyik tényezője, és így maga is osztható -vel.
Ezzel (5) igazolását befejeztük.
A (4) és (5) képletek alapján tetszőleges egész számokra
A továbbiakban valamennyi polinomot a modulo test feletti -változós polinomnak fogunk tekinteni.
Ekkor (6) azt fejezi ki, hogy az és polinomok minden helyettesítési értéke megegyezik (vagyis -hez és -hez ugyanaz a polinomfüggvény tartozik; véges test esetén azonban ebből maguknak a polinomoknak, azaz az együtthatóknak az egyenlősége nem következik).
Nevezzük egy polinom redukált alakjának azt a polinomot, amelyet -ból úgy kapunk, hogy -ban mindenhol helyére -t írunk, ameddig csak lehetséges. Nyilván minden tagjában bármelyik kitevője legfeljebb , továbbá és minden helyettesítési értéke megegyezik.
A változók száma szerinti teljes indukcióval könnyen megmutatható, hogy ha a és polinomok minden helyettesítési értéke megegyezik, akkor a és polinomok (formálisan is) egyenlők (azaz -nak és -nak ugyanazok a megfelelő együtthatói).
Láttuk, hogy az és polinomok minden helyettesítési értéke megegyezik, ezért az előzőek szerint ekkor az és polinomok egyenlők. Így is teljesül. Azonban és (3) miatt
ami ellentmondás. ∎
A pont második részében egy olyan eredményt bizonyítunk, amely az kongruencia megoldásszámára pontos képletet ad az együtthatók segítségével. Ez a Kőnig Gyulától és Rados Gusztávtól származó tétel inkább csak elvi jelentőségű, a megoldásszám gyakorlati kiszámítására nemigen használható.
3.6.2 Tétel (Kőnig–Rados-tétel) . T 3.6.2 Legyen prím és
olyan egész együtthatós polinom, amelyre . Ekkor az
kongruencia megoldásszáma , ahol az alábbi -es ciklikus
mátrixnak a modulo test feletti rangját jelöli:
Megjegyzések: 1. A tételből azonnal adódik, hogy az kongruencia akkor és csak akkor oldható meg, ha az mátrix rangja -nél kisebb, azaz .
2. Az -re tett kikötések nem jelentenek lényeges megszorítást; egy tetszőleges polinom esetén a megoldásszám meghatározását visszavezethetjük a Kőnig–Rados-tételre, lásd a 3.6.11 feladatot [95].
Bizonyítás: Az alábbi elemi lineáris algebrai tételeket fogjuk felhasználni. Ezek egy kommutatív test feletti -es mátrixokra vonatkoznak és jelöli a mátrix rangját; esetünkben
és a modulo test.
(i) Legyenek a test különböző elemei. Ekkor a
Vandermonde-mátrix rangja .
(ii) Ha , azaz invertálható, akkor tetszőleges -re . A (ii) összefüggés a bármely mátrixra érvényes
egyenlőtlenségből adódik: ennek alapján egyrészt , másrészt .
Rátérve a T 3.6.2 Tétel bizonyítására, jelöljük az kongruencia megoldásszámát -sel, legyen , és tekintsük a mátrixot. Az (i) és (ii) segédtételeink alapján
Az mátrixszorzást elvégezve a mátrix első sorának -edik eleme
lesz. A második sor -edik elemének egyszerű felírásához azt is felhasználjuk, hogy :
Hasonlóan adódik, hogy az -edik sor -edik eleme
Így azt kaptuk (a kongruenciák helyett a modulo testbeli egyenlőséget írva), hogy
A mátrix -edik oszlopában pontosan akkor lesz minden elem 0, ha , vagyis a csupa 0 oszlopainak a száma éppen . A többi oszlop a különböző oszlopainak a nemnulla skalárszorosa, tehát ezek az (i) segédtétel szerint lineárisan függetlenek. Ez azt jelenti, hogy
. Ezt (7)-tel összevetve éppen a tétel állítását kapjuk. ∎
Feladatok
3.6.1 Melyik ismert tételt kapjuk a Chevalley-tételnek abban a speciális esetében, ha mindegyik polinom elsőfokú?
3.6.2 Bizonyítsuk be, hogy az kongruenciának bármely prím és
egészek esetén létezik nemtriviális megoldása.
3.6.3 (a) Mutassuk meg, hogy bármely -hez található három olyan egész szám, amelyek négyzetösszegére , de .
(b) Lássuk be, hogy is elérhető.
3.6.4 Mutassuk meg, hogy bármely prímszámnak létezik olyan (nemnulla) többszöröse, amely kisebb, mint , és felírható legfeljebb öt egész szám negyedik hatványának az összegeként.
3.6.5 (*) (a) Legyenek különböző prímszámok és olyan különböző pozitív egészek, amelyek egyikének sincs a -ktől különböző prímosztója. Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor a számok közül kiválasztható néhány különböző (esetleg csak egy, esetleg az összes) úgy, hogy a szorzatuk köbszám legyen.
(b) Általánosítsuk az (a) részt köbszámok helyett -edik hatványokra, ahol tetszőleges prímszám.
Megjegyzés: A megfelelő állítás (más eszközökkel) igazolható arra az esetre is, amikor prímhatvány, azonban tetszőleges egészre a sprobléma megoldatlan.
3.6.6 (*) Mutassuk meg, hogy egész számból mindig kiválasztható olyan, amelyek összege sosztható -nel.
3.6.7 Bizonyítsuk be a Chevalley-tétel következő általánosítását. Hagyjuk el a tétel feltételei közül azt, hogy az polinomok konstans tagja 0, a többi feltétel változatlan marad. Ekkor a szóban forgó kongruenciarendszer megoldásaira a következők igazak:
(a) Ha van megoldás, akkor legalább két megoldás van.
(b) A megoldásszám osztható -vel.
3.6.8 Legyen prím, . A Kőnig–Rados-tétel illusztrációjaként határozzuk meg az kongruenciák megoldásszámát az alábbi polinomok esetén:
(a) ;
(b) ;
(c) .
3.6.9 Olvassuk le a Kőnig–Rados-tételből, hogy az alábbi kongruenciák megoldhatók:
(a) , ahol páratlan prím és ;
(b) , ahol prím és .
3.6.10 Legyen prím, és
Bizonyítsuk be, hogy az
kongruenciák mindegyikének ugyanannyi a megoldásszáma.
3.6.11 Legyen tetszőleges egész együtthatós polinom. Hogyan vezethetjük vissza a kongruencia megoldásszámának a meghatározását a Kőnig–
Rados-tételre az és/vagy esetben?