Speciális alakú prímek:
5.5 Hézag a szomszédos prímek között
Először megmutatjuk, hogy a szomszédos prímszámok között tetszőlegesen nagy hézagok is előfordulnak:
5.5.1 Tétel . T 5.5.1
Bármely pozitív egészhez meg lehet adni egymást követő összetett számot.
Bizonyítás: Legyen tetszőleges, és tekintsük az számokat, . Ekkor nyilván és , tehát valamennyi összetett. ∎
Megjegyzés: A bizonyításban helyett az -nél nem nagyobb prímek szorzatát is vehettük volna.
Az T 5.5.1 Tételt általánosítva most azt bizonyítjuk be, hogy a szomszédos prímek közötti két egymás utáni hézag is tetszőlegesen nagy lehet, azaz olyan prímek is léteznek, amelyeket mindkét oldalról sok összetett szám vesz körül (az ilyen prímeket izolált prímeknek szokták nevezni).
5.5.2 Tétel . T 5.5.2
Bármely pozitív egészhez meg lehet adni olyan prímet, amelyre a számok valamennyien összetettek.
Bizonyítás: Válasszunk egy olyan prímet, amelyre , és legyen
Ekkor , és így Dirichlet tétele szerint létezik (végtelen sok) olyan , amelyre prímszám. Megmutatjuk, hogy egy ilyen megfelel a tétel állításának.
Tetszőleges esetén
ahol pozitív egész, tehát valóban valamennyi szám összetett. ∎
Most Csebisev nevezetes tételét igazoljuk: egy szám és a kétszerese közé mindig esik prímszám.
5.5.3 Tétel (Csebisev tétele) . T 5.5.3
Bármely egész esetén létezik olyan prím, amelyre .
A tételből nyilván következik, hogy az állítás (egészek helyett) valós számokra is igaz marad.
A tételt szokás Bertrand-posztulátumnak is nevezni, mert sejtésként először Bertrand fogalmazta meg 1845-ben, abban a hajszálnyival erősebb formában, hogy esetén létezik olyan prím, amelyre . (Ez az alak is igaz, sőt ennél jóval élesebb eredmények is, lásd az T 5.5.4 és T 5.5.5 Tételek (A) állításait.) Az T 5.5.3 Tételt Csebisev bizonyította be 1852-ben. Az alábbi bizonyítás Erdős Páltól származik.
Bizonyítás: A bizonyítás alapötlete az, hogy az és közötti prímek szorzata szoros kapcsolatban áll a binomiális együtthatóval. A továbbiakban feltesszük, hogy .
I. Írjuk fel kanonikus alakját, és bontsuk ezt három tényező szorzatára a szereplő prímek nagysága szerint, az alábbi módon:
Jelölje az (1) jobb oldalán álló tényezőket rendre , , illetve . A tétel bizonyításához elég azt igazolni, hogy , hiszen ekkor biztosan létezik az feltételt kielégítő prím.
(Könnyen megmutatható az is, hogy -ben minden kitevő értéke 1, azaz éppen az és közötti prímek szorzata, lásd az 5.5.7a feladatot [140].)
A egyenlőtlenség belátásához felső becslést keresünk -ra és -re, valamint alsó becslést -re.
II. Alsó becslés -re: Mivel bármely esetén (lásd az 5.5.5 feladatot [140]), ezért
azaz
III. Felső becslés -ra: Az L 5.4.4 Lemma alapján , és így
IV. Felső becslés -re: Ismét az L 5.4.4 Lemma alapján , és ebből miatt következik.
Megmutatjuk, hogy ( és) esetén . Ez azért igaz, mert
nevezője és számlálója is egy ilyen -nek pontosan az első hatványával osztható: a nevezőben csak a , a számlálóban pedig csak a tényezőben szerepel a .
A fentiek alapján
A (4) egyenlőtlenség és az L 5.4.5 Lemma alapján kapjuk, hogy
V. A (2), (3) és (5) becsléseket (1)-be beírva és -t kifejezve kapjuk, hogy
A egyenlőtlenség igazolásához elég azt megmutatnunk, hogy a (6) jobb oldalán álló kifejezés logaritmusa pozitív. Mivel
ezért minden elég nagy esetén . Könnyen adódik, hogy például esetén fennáll a pozitivitás, tehát esetén .
VI. Végül az értékekre közvetlenül ellenőrizhetjük a tétel állítását. Ehhez elegendő a 2-ből kiindulva olyan prímszámsorozatot készítenünk, amelynek bármely eleme kisebb, mint a megelőző elemnek a kétszerese. Egy ilyen sorozat például a következő: 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631.
(Az éppen a Csebisev-tételből következik, hogy ilyen tulajdonságú végtelen sorozat is létezik.) ∎ A Csebisev-tétellel kapcsolatban felvethetjük a következő általánosabb „hézagfüggvény” problémát:
Milyen függvényekre igaz, hogy minden elég nagy természetes szám esetén az nyílt intervallumban található prímszám?
A Csebisev-tétel szerint megfelel, az T 5.5.1 Tétel alapján viszont a nem választható konstans függvénynek, hiszen az intervallum bármilyen rögzített esetén végtelen sok
-re „prímmentes”.
Megoldatlan probléma, hogy milyen nagyságrendű a „lehető legjobb” . Erre vonatkozóan a következő eredmények ismertek (ezeket bizonyítás nélkül közöljük):
5.5.4 Tétel . T 5.5.4
(A) Legyen . Ekkor minden elég nagy -re az intervallum tartalmaz prímszámot.
(B) Végtelen sok olyan pozitív egész létezik, amelyre az
intervallum nem tartalmaz prímszámot.
Az T 5.5.4 Tétel mindkét állítása igen mély eredmény (például jóval élesebbek, mint a prímszámtételből leolvasható következtetések, lásd az T 5.5.5 Tételt), ennek ellenére hatalmas űr tátong közöttük; a választható -nak, és nem választható egy -nél „nem sokkal nagyobb” függvénynek. Bizonyos valószínűségi megfontolások alapján azt lehet sejteni, hogy a
függvény „környékén” várható a választóvonal.
Érdekességként megjegyezzük, hogy (A)-ból még az az 5.1 pontban már említett, ártatlannak látszó sejtés sem következik, hogy két egymást követő négyzetszám között mindig található prímszám.
Ehhez az (A)-beli -nak -re történő leszorítására lenne szükség, amit még az ún. Riemann-sejtés felhasználásával sem sikerült igazolni.
Az alábbiakban azt mutatjuk meg, hogy a prímszámtétel segítségével mennyire élesíthetők az T 5.5.3 és T 5.5.1 Tételek eredményei.
5.5.5 Tétel . T 5.5.5
(A) Bármely -hoz létezik olyan ( -tól függő) , hogy minden esetén az intervallum tartalmaz prímszámot.
(B) Bármely esetén végtelen sok olyan pozitív egész létezik, amelyre az intervallum nem tartalmaz prímszámot.
Bizonyítás: Az (A) részhez azt kell igazolnunk, hogy minden elég nagy -re
A prímszámtétel szerint minden elég nagy -re egyrészt
másrészt
teljesül, továbbá nyilván
(9), (10) és (11) alapján
(12) jobb oldalán az együtthatója
(hiszen feltehető, hogy ), és így (12)-ből következik (8).
A (B) állítást indirekt bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy van olyan és olyan , hogy minden esetén az intervallum tartalmaz prímszámot.
Legyen egy (nagy) rögzített egész, és tekintsük az és közötti prímszámokat:
. Ekkor az indirekt feltevés alapján az alábbi egyenlőtlenségeket kapjuk:
A (13)-beli egyenlőtlenségeket összeadva a tagok kiesnek, és
adódik.
A definíciója szerint , ezért az ellentmondáshoz elég azt megmutatnunk, hogy (14) jobb oldala viszont kisebb, mint .
Ehhez (14) jobb oldalát a következőképpen becsüljük felülről:
A prímszámtétel szerint elég nagy esetén
továbbá (elég nagy -re) nyilván
A (16) és (17) egyenlőtlenségeket (15)-be beírva azt nyerjük, hogy (14) jobb oldala kisebb, mint
amivel megkaptuk a már jelzett ellentmondást. ∎
Feladatok
5.5.1 Bizonyítsuk be, hogy esetén nem lehet teljes hatvány.
5.5.2 Igazoljuk, hogy bármely két szomszédos pozitív egész közül legalább az egyik felírható csupa különböző prímszám összegeként (egytagú összeget is megengedünk).
5.5.3 Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan prím van, amelynek (tízes számrendszerben) (a) az első számjegye 1-es;
(b) az első ezer számjegye 4-es.
5.5.4 Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor az alábbi összegek értéke nem lehet egész szám:
(a) ;
(b) .
5.5.5 Mutassuk meg, hogy a , , binomiális együtthatók közül a legnagyobb.
5.5.6 Adjunk még egy bizonyítást az T 5.5.2 Tételre az alábbi gondolatmenet alapján: Válasszunk darab -nál nagyobb prímszámot, legyenek ezek , és tekintsük az
szimultán kongruenciarendszert. Mutassuk meg, hogy ennek megoldásai között található (végtelen sok) prímszám, és ezek kielégítik a tétel feltételeit.
5.5.7 (a) Bizonyítsuk be, hogy minden prímszámnak pontosan az első hatványával osztható.
(b) Mutassuk meg, hogy ha prím és , akkor nem osztható -vel.
Hogyan általánosítható ez az észrevétel?
5.5.8 Mutassuk meg, hogy ( esetén) a Csebisev-tételre adott bizonyításból az alábbi élesebb eredmény is következik: Az és közötti prímek száma nagyobb, mint , ahol alkalmas pozitív konstans.
5.5.9 (M [570]) (a) Az T 5.5.4 Tétel (A) részének a felhasználásával lássuk be, hogy bármely két elég nagy, egymást követő köbszám között található prímszám.
(b) Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan valós szám, amelyre minden pozitív egész esetén prímszám.
(c) Miért nem alkalmas a (b)-beli képlet nagy prímszámok gyakorlati előállítására?
5.5.10 Vizsgáljuk meg, hogy milyen, az T 5.5.5 Tétel (B) állításához hasonló jellegű eredményeket nyerhetünk, ha a prímszámtétel helyett az alábbiakra támaszkodunk:
(a) T 5.4.3 Tétel;
(b) az T 5.5.1 Tétel bizonyítása;
(c) az T 5.5.1 Tétel bizonyítása utáni megjegyzés.
5.5.11 (*) Bizonyítsuk be, hogy bármely -hoz végtelen sok olyan pozitív egész létezik, amelyre . (A szokásos módon az -edik prímszámot jelöli.) Megjegyzés: Az 5.1 pontban tárgyalt ikerprímprobléma úgy is fogalmazható, vajon végtelen sokszor teljesül-e . Óriási szenzációt jelentett, amikor 2005-ben Goldston, Motohashi, Pintz János és Yildirim bebizonyították, hogy a sorozatnak létezik 0-hoz tartó részsorozata (ami látszólag „alig” erősebb, mint az 5.5.11 feladat [141] állítása). 2013-ban pedig Zhang újabb áttörést ért el: megmutatta, hogy -nek létezik korlátos(!) részsorozata (2014-ben a legjobb korlát 250 körül van).