Ebben a pontban az ismeretlenes kongruenciák (vagy kongruenciaegyenletek) legegyszerűbb fajtájával, a lineáris kongruenciákkal foglalkozunk.
2.5.1 Definíció . D 2.5.1
Legyenek egészek és pozitív egész. Ekkor az kongruenciát lineáris kongruenciának nevezzük, és ennek egy megoldásán olyan egész számot értünk, amelyet az helyére beírva a kongruencia fennáll.
Világos, hogy ha egy szám megoldás, akkor az maradékosztály bármely másik eleme is megoldás. Így az összes megoldás megkereséséhez elegendő egy teljes maradékrendszer elemeit végigpróbálni, melyek adnak közülük megoldást; az összes megoldás ekkor az ezekkel kongruens egészek halmaza lesz.
Ennek alapján a lineáris kongruencia megoldásszámán a páronként inkongruens megoldások számát értjük, vagyis azt, hogy hány maradékosztályba tartoznak a megoldások, vagy (ismét kicsit más megfogalmazásban) azt, hogy egy teljes maradékrendszernek hány eleme elégíti ki a kongruenciát.
Ugyanez a helyzet a magasabb fokú kongruenciák esetén is, ezért ezt a definíciót rögtön általánosan is megadjuk.
2.5.2 Definíció . D 2.5.2
Legyen egy egész együtthatós polinom. Ekkor az kongruencia megoldásszámán egy modulo teljes maradékrendszer azon elemeinek a számát értjük, amelyekre
.
Mivel , ezért a definícióban megadott szám valóban
nem függ attól, hogy a modulo teljes maradékrendszerek közül melyiket választottuk.
Térjünk vissza a lineáris kongruenciákra. Bármely más típusú egyenlethez hasonlóan itt is a következő kérdésekre keressük a választ:
(i) Mi a megoldhatóság szükséges és elégséges feltétele?
(ii) Mennyi a megoldásszám?
(iii) Hogyan lehet az összes megoldást valamilyen értelemben leírni, áttekinteni?
(iv) Milyen megoldási módszerekkel kaphatjuk meg a megoldásokat?
Először a megoldhatóság kérdésével foglalkozunk.
2.5.3 Tétel . T 2.5.3
Az kongruenciának akkor és csak akkor létezik megoldása, ha . Bizonyítás: Az kongruencia megoldhatósága azt jelenti, hogy van olyan egész, amelyre
Ez tovább ekvivalens azzal, hogy van olyan egész, amelyre teljesül, vagyis és kielégíti az lineáris diofantikus egyenletet.
Ezzel beláttuk, hogy az lineáris kongruencia akkor és csak akkor oldható meg, ha megoldható az lineáris diofantikus egyenlet.
Az utóbbi megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele az T 1.3.6 Tétel szerint az, hogy teljesüljön, tehát ugyanez a feltétele az kongruencia megoldhatóságának is. ∎
A bizonyításból kiderült, hogy az lineáris kongruencia és az lineáris diofantikus egyenlet kölcsönösen visszavezethetők egymásra. (Sőt az diofantikus egyenlet ugyanígy az lineáris kongruenciává is „átalakítható”, ha .) Ennek alapján bármely, a lineáris kongruenciákkal kapcsolatos eredmény felhasználható a lineáris diofantikus egyenletek vizsgálatánál és viszont.
Ne feledkezzünk meg azonban a jelentős eltérésekről sem: a lineáris kongruenciák megoldásai egész számok (illetve tulajdonképpen maradékosztályok), a lineáris diofantikus egyenleteké pedig egész számpárok, egy lineáris kongruencia megoldásszáma véges, egy lineáris diofantikus egyenleté végtelen stb.
A következő tételben meghatározzuk a lineáris kongruenciáknál a megoldásszámot, és egyúttal leírjuk, hogyan kapható meg egy megoldásból az összes többi.
2.5.4 Tétel . T 2.5.4
I. Ha az kongruencia megoldható, akkor a megoldásszáma .
II. Legyen , , és tegyük fel, hogy az egész szám (az egyik) megoldása az kongruenciának. Ekkor az
számok páronként inkongruensek modulo , kielégítik a kongruenciát, és az összes megoldás ezek valamelyikével kongruens modulo .
Bizonyítás: Az I. és II. állításokat egyszerre igazoljuk.
A feltétel szerint az egész szám megoldás, vagyis
Egy egész szám akkor és csak akkor megoldás, ha
A (2) feltétel alapján (3) ekvivalens azzal, hogy
A T 2.1.3 Tétel alapján (4) tovább ekvivalens
teljesülésével. Ezt úgy is írhatjuk, hogy
ahol egész szám.
Ez azt jelenti, hogy az kongruencia összes megoldását az (5)-ben megadott értékek szolgáltatják.
Így már csak azt kell igazolnunk, hogy az (5)-beli értékek darab különböző maradékosztályba tartoznak modulo , és (1)-ben éppen ezeknek a maradékosztályoknak egy-egy reprezentánsa szerepel.
Vizsgáljuk meg, mikor esik két ilyen ugyanabba a maradékosztályba modulo . Legyen
Ekkor
Itt az első lépésben a kongruenciából kivontunk -et, majd ismét a T 2.1.3 Tétel szabályai szerint egyszerűsítettünk -gyel, ekkor a modulus közben -re változott.
(6) azt jelenti, hogy két pontosan akkor esik ugyanabba a modulo maradékosztályba, ha a megfelelő két kongruens modulo .
Így, ha végigfut a számokon, akkor az ezekhez tartozó
értékek a keresett modulo maradékosztályok egy-egy reprezentánsát alkotják. ∎
Külön kiemeljük azt a speciális esetet, amikor az lineáris kongruenciában . Ekkor automatikusan teljesül, tehát a T 2.5.3 Tétel szerint a kongruencia biztosan megoldható, és a T 2.5.4 Tétel alapján a megoldásszám . Ezt az eredményt fontossága miatt külön tételként is megfogalmazzuk:
2.5.5 Tétel . T 2.5.5
Ha , akkor az kongruencia bármely esetén megoldható és a megoldásszáma 1.
A megoldási módszerek bemutatása előtt néhány fontos előzetes megjegyzést teszünk.
(A) Általában célszerű előre ellenőrizni a T 2.5.3 Tétel kritériuma alapján, hogy a kongruencia egyáltalán megoldható-e.
(B) Ha , akkor a lineáris kongruenciát csak egyetlen maradékosztály elemei elégítik ki, tehát ha találtunk egy megoldást, akkor készen is vagyunk. Általában is elég egyetlen megoldás megkeresése, mert akkor az összes megoldás megadása már könnyen megy a T 2.5.4/II Tétel alapján.
(C) A legtöbb esetben érdemes a megoldandó kongruenciát visszavezetni egy olyan lineáris kongruenciára, amelyben az együtthatója és a modulus már relatív prímek. Ezt a következőképpen tehetjük meg.
Ha az kongruencia megoldható, akkor . Így a jelöléssel
Ekkor a kongruenciát „végigoszthatjuk” -vel (a modulust is beleértve): az
kongruencia a T 2.1.3 Tétel alapján „ekvivalens” az kongruenciával, amelynél már . (Ez az átalakítás tulajdonképpen annak felel meg, hogy az
kongruenciához tartozó diofantikus egyenletet elosztjuk -vel, és ekkor az kongruenciához tartozó diofantikus egyenletet kapjuk.) Az előző bekezdésben az „ekvivalens” szónál az idézőjel arra utal, hogy noha a két kongruenciát ugyanazok az egész számok elégítik ki, azonban ezeket az elsőnél modulo , a másodiknál pedig modulo maradékosztályokba kell besorolni. Így például a két kongruencia megoldásszáma sem lesz azonos (ha ).
Most rátérünk a lineáris kongruenciák néhány megoldási módszerének az ismertetésére, amelyeket egy-egy példával illusztrálunk.
M1 Végigpróbálgatás. Egy modulo teljes maradékrendszer minden elemére megvizsgáljuk, hogy kielégíti-e a kongruenciát. (Ezt csak nagyon kis modulus esetén érdemes alkalmazni.)
P1 . Az egyszerűbb számolás érdekében a behelyettesítés előtt érdemes az együtthatók helyére velük kongruens, de kisebb (abszolút értékű) számokat írni:
vagy . Kipróbálva a (vagy ) értékeket azt kapjuk, hogy az
egyetlen megoldást az maradékosztály adja. [Mivel alapján eleve tudjuk, hogy csak egyetlen megoldás van, így annak megtalálása után a további értékeket természetesen nem kell már kipróbálni.]
M2 Diofantikus egyenlet. A lineáris kongruenciát a T 2.5.3 Tétel bizonyításában látott módon visszavezetjük egy diofantikus egyenletre, a diofantikus egyenletet megoldjuk, és a kapott megoldásokat „visszaalakítva” megkapjuk a kongruencia megoldásait.
P2 . A megfelelő diofantikus egyenlet . Ezt 2-vel leosztva
adódik.
Az T 1.3.6 Tétel bizonyítását követve állítsuk elő a 9 és a 14 legnagyobb közös osztóját
alakban. Az euklideszi algoritmusból vagy némi próbálgatás után kapjuk, hogy .
Ezt 19-cel beszorozva adódik, vagyis a diofantikus egyenlet
egyik megoldása .
Visszatérve a kongruenciára, ez azt jelenti, hogy az egyik megoldás.
Az összes megoldást ezután a T 2.5.4/II Tétel szerint az és
maradékosztályok adják. (Itt a és reprezentánsok helyett írhatunk természetesen például -et, illetve 13-at.)
Megjegyezzük, hogy a lineáris diofantikus egyenletek megoldásánál inkább a 7.1 pontban szereplő eljárást érdemes alkalmazni, amely nemcsak egy megoldást szolgáltat, hanem (paraméteres alakban) egyszerre megadja az egyenlet összes megoldását. (Tulajdonképpen az a módszer is az euklideszi algoritmus egy változata.)
M3 Euler–Fermat-tétel. Az kongruenciát a (C) megjegyzésben látott módon
vezessük vissza az kongruenciára, ahol .
Ekkor az Euler–Fermat-tétel szerint . Ennek alapján megoldása a kongruenciának:
Visszatérve az eredeti kongruenciára, ekkor annak is megoldása. Az összes megoldást ezután ismét (például) a T 2.5.4/II Tételből kaphatjuk meg.
P3 . Itt , így a feladatot visszavezethetjük a
kongruenciára. Az együtthatókat redukálva adódik. Ennek megoldása . Tehát az eredeti kongruencia összes megoldása:
.
Természetesen a kongruenciában az együtthatók redukciójánál választhatjuk a legkisebb nemnegatív maradékokat is a legkisebb abszolút értékű maradékok helyett. Ekkor az
kongruenciához jutunk és adódik.
Mivel , ezért a kongruenciának egyetlen megoldása van modulo 7, tehát szükségképpen . Ennek a közvetlen igazolásához nem kell az értékét ténylegesen kiszámolni, hanem a hatványozáskor mindig vehetjük a modulo 7 maradékokat:
és így valóban .
M4 Ügyeskedések. A kongruenciát ügyesen választott, a modulushoz relatív prím számokkal szorozva, illetve egyszerűsítve az eredetivel ekvivalens kongruenciákhoz jutunk, míg végül a megoldás(ok) nyilvánvalóan leolvasható(k).
P4 . Itt , így a feladatot visszavezethetjük a
kongruenciára.
Mivel , ezért a 4-gyel történő egyszerűsítés ekvivalens lépés: . Most két módszert is mutatunk arra, hogy az kongruenciában hogyan
„szabadulhatunk meg” az 5 együtthatótól.
I. Osztás: Ahhoz, hogy az 5-tel egyszerűsíthessünk, írjuk a jobb oldalon a 2 helyére a vele kongruens
-öt: . Mivel , innen adódik.
II. Szorzás: Olyan szorzót keresünk, hogy a beszorzás után az együtthatója 1-gyel (vagy -gyel) legyen kongruens modulo 27. (Ekkor ez a szorzó biztosan relatív prím a 27-hez, ezért a beszorzás most automatikusan ekvivalens lépést jelent.) Szorozzuk be a kongruenciát például
11-gyel: ekkor és alapján adódik.
Az eredeti kongruencia megoldásai tehát: .
Az egyes módszereket összehasonlítva első ránézésre talán az M3 vagy az M4 tűnhet a legkényelmesebbnek. Kiderül azonban, hogy nagy modulusok esetén szinte kizárólag az M2 használható. Erről részletesebben az 5.7 pontban lesz szó.
Feladatok
2.5.1 Oldjuk meg a P1–P4 példákat az M2–M4 módszerek mindegyikével.
2.5.2 Oldjuk meg az alábbi kongruenciákat:
2.5.3 Határozzuk meg azt a két legkisebb pozitív egészt, amelynek 13-szorosát hetes számrendszerben felírva az utolsó előtti jegy 4, az utolsó jegy pedig 3.
2.5.4 Számítsuk ki utolsó két jegyét (tízes számrendszerben).
2.5.5 Az alábbi feltételek mindegyikéről döntsük el, hogy elégséges-e az kongruencia megoldhatóságához.
(a) .
(b) .
(c) számtani sorozat.
(d) mértani sorozat.
(e) számtani sorozat.
(f) mértani sorozat.
2.5.6 Melyek igazak az alábbi állítások közül?
(a) Az kongruencia megoldásszáma legfeljebb , ha . (b) Ha az kongruencia megoldható, akkor megoldható az kongruencia is.
(c) Ha az és kongruenciák megoldhatók, akkor
megoldható az kongruencia is.
2.5.7 (M [563]) Legyen és rögzített, és jelöljük -vel az kongruencia megoldásszámát. Számítsuk ki a összeget.