A modulo maradékosztály fogalmát már a T 2.1.2 Tétel után megemlítettük: azok az egész számok tartoznak egy maradékosztályba, amelyek -mel osztva azonos maradékot adnak.
2.2.1 Definíció . D 2.2.1
Rögzített modulus mellett az -val kongruens elemek halmazát az által reprezentált maradékosztálynak nevezzük.
Jelölés: . Ha nem okoz félreértést, akkor a modulusra utaló indexet elhagyjuk.
Az maradékosztály tehát egy „mindkét irányban végtelen számtani sorozat”, amelynek egyik eleme és a differenciája . A modulo maradékosztályok száma , és minden maradékosztálynak végtelen sok eleme van. A definíció alapján
.
Példa: .
2.2.2 Definíció . D 2.2.2
Ha rögzített modulus mellett minden maradékosztályból egy és csak egy elemet kiveszünk, az így kapott számokat modulo teljes maradékrendszernek nevezzük.
Példa: teljes maradékrendszer modulo 5.
A leggyakrabban a következő teljes maradékrendszereket használjuk:
(A) Legkisebb nemnegatív maradékok: . (B) Legkisebb abszolút értékű maradékok:
illetve
(nyilván ez utóbbi esetben helyett is vehető).
Azt, hogy adott számok teljes maradékrendszert alkotnak-e, általában az alábbi egyszerű kritérium alapján tudjuk gyorsan eldönteni:
2.2.3 Tétel . T 2.2.3
Adott egész számok akkor és csak akkor alkotnak teljes maradékrendszert modulo , ha (i) számuk , és
(ii) páronként inkongruensek modulo .
Bizonyítás: Legyen egy teljes maradékrendszer modulo . Mivel a modulo maradékosztályok száma , és minden maradékosztályból egy elemet vettünk ki, ezért elemszáma szükségképpen . Továbbá egyetlen maradékosztályból sem választottunk egynél több elemet, ezért elemei páronként inkongruensek modulo .
Megfordítva, tekintsünk darab páronként inkongruens számot modulo . A páronkénti inkongruencia miatt ezek csupa különböző maradékosztályba tartoznak, és mivel a számuk , ezért darab maradékosztályt reprezentálnak, azaz az összeset. Így ezek a számok valóban teljes maradékrendszert alkotnak modulo . ∎
Ha egy teljes maradékrendszert a modulushoz relatív prím számmal végigszorzunk, és ehhez egy tetszőleges egészt hozzáadunk, akkor ismét teljes maradékrendszert kapunk:
2.2.4 Tétel . T 2.2.4
Legyen teljes maradékrendszer modulo , és tetszőleges. Ekkor
is teljes maradékrendszer modulo .
Bizonyítás: Mivel az új rendszer elemszáma is , tehát a T 2.2.3 Tétel alapján azt kell még bizonyítani, hogy az elemei páronként inkongruensek mod .
Tegyük fel, hogy , megmutatjuk, hogy .
Most azt vizsgáljuk meg, hogy a modulushoz relatív prím egészek hogyan helyezkednek el az egyes maradékosztályokban. Megmutatjuk, hogy egy maradékosztálynak vagy az összes eleme relatív prím a modulushoz, vagy pedig egyetlen eleme sem relatív prím hozzá:
Az alábbi tételben ennél erősebb állítást bizonyítunk:
2.2.5 Tétel . T 2.2.5
Bizonyítás: A feltétel szerint teljesül alkalmas egésszel.
Mivel itt a jobb oldalon és is osztható -mel, ezért . Ez azt jelenti, hogy közös osztója -nek és -nek, és így .
Ugyanígy adódik a fordított irányú oszthatóság is, tehát valóban . ∎ Fontos szerepet játszanak azok a maradékosztályok, amelyeknek az elemei relatív prímek a modulushoz:
2.2.6 Definíció . D 2.2.6
Az maradékosztályt modulo redukált maradékosztálynak nevezzük, ha . Mint már említettük, a T 2.2.5 Tételből következik, hogy ha egy maradékosztálynak van olyan eleme, amely relatív prím a modulushoz, akkor a maradékosztály minden eleme ilyen. Ezért a D 2.2.6 Definíció nem függ attól, hogy az maradékosztályt melyik elemével reprezentáltuk.
Most bevezetjük a számelmélet egyik legfontosabb függvényét:
2.2.7 Definíció (Euler-féle -függvény). D 2.2.7
Tetszőleges pozitív egész esetén az számok közül az -hez relatív prímek számát jelenti.
Példa: , , prím.
Világos, hogy éppen a modulo redukált maradékosztályok száma.
Az kanonikus alakjából könnyen kiszámítható értéke, ezt a képletet a 2.3 pontban tárgyaljuk.
Most a teljes maradékrendszer mintájára a redukált maradékrendszer fogalmát definiáljuk:
2.2.8 Definíció . D 2.2.8
Ha rögzített modulus mellett minden redukált maradékosztályból egy és csak egy elemet kiveszünk, az így kapott számokat modulo redukált maradékrendszernek nevezzük.
Példa: redukált maradékrendszer modulo 12.
A legegyszerűbben úgy gyárthatunk redukált maradékrendszereket, ha a legkisebb nemnegatív maradékokból, illetve a legkisebb abszolút értékű maradékokból kiválasztjuk a modulushoz relatív prímeket.
A következőkben bebizonyítjuk a T 2.2.3 és T 2.2.4 Tételeknek a redukált maradékrendszerekre vonatkozó megfelelőit.
2.2.9 Tétel . T 2.2.9
Adott egész számok akkor és csak akkor alkotnak redukált maradékrendszert modulo , ha
(i) számuk ,
(ii) páronként inkongruensek modulo , és (iii) valamennyien relatív prímek -hez.
Bizonyítás: Legyen egy redukált maradékrendszer modulo . Mivel a modulo redukált maradékosztályok száma , és minden maradékosztályból egy elemet vettünk ki, ezért elemszáma szükségképpen . Továbbá egyetlen maradékosztályból sem választottunk egynél több elemet, ezért elemei páronként inkongruensek modulo . Végül minden eleme relatív prím -hez, hiszen ezeket redukált maradékosztályokból választottuk.
Megfordítva, tekintsünk darab, az -hez relatív prím számot, amelyek páronként inkongruensek modulo . A páronkénti inkongruencia és az -hez relatív prímség miatt ezek csupa különböző redukált maradékosztályba tartoznak. Mivel a számuk , ezért darab redukált maradékosztályt reprezentálnak, azaz az összeset. Így ezek a számok valóban redukált maradékrendszert alkotnak modulo . ∎
2.2.10 Tétel . T 2.2.10
Legyen redukált maradékrendszer modulo és . Ekkor
is redukált maradékrendszer modulo .
Bizonyítás: A T 2.2.9 Tétel (i)–(iii) kritériumát ellenőrizzük.
(i) Az új rendszer elemszáma is .
(ii) , .
(iii) . ∎
Ha , akkor az számok sohasem alkotnak redukált maradékrendszert, sőt ezen elemek egyike sem lesz relatív prím az -hez.
A teljes maradékrendszernél látottakhoz képest jelentős eltérés, hogy a redukált maradékrendszer elemeihez egy számot hozzáadva már általában nem kapunk redukált maradékrendszert, lásd a 2.2.12 feladatot [41].
Feladatok
Valamennyi feladatban feltesszük, hogy a modulus .
2.2.1 Határozzuk meg az modulust, ha tudjuk, hogy az alábbi elemek ugyanannak a modulo redukált maradékosztálynak az elemei:
(a) 2 és 14;
(b) 18, 78 és 178;
(c) és . 2.2.2 Hány olyan
(a) teljes;
(b) redukált
maradékrendszer van modulo , amelynek minden elemére teljesül?
2.2.3 Melyek azok a mindkét irányban végtelen számtani sorozatok, amelyekből kiválasztható egy modulo
(a) maradékosztály;
(b) teljes maradékrendszer?
2.2.4 Milyen esetén létezik olyan teljes maradékrendszer, amelynek elemei (a) páratlan számok;
(b) összetett számok;
(c) négyzetszámok;
(d) (tízes számrendszerben) 1357-re végződő számok;
(e) mértani sorozatot alkotnak;
(f)(M [557]) „csupaegyek” (azaz tízes számrendszerben minden számjegyük 1-es);
(g)(M [557]) teljes hatványok?
2.2.5 Milyen esetén létezik olyan redukált maradékrendszer, amelynek elemei (a) 15-tel osztható számok;
(b) 15-tel nem osztható számok;
(c) négyzetszámok;
(d) (tízes számrendszerben) 1357-re végződő számok;
(e) teljes hatványok?
2.2.6 Melyek igazak az alábbi állítások közül?
(a) Ha redukált maradékrendszer modulo 7, akkor redukált maradékrendszer modulo 14 is.
(b) Ha redukált maradékrendszer modulo 14, akkor redukált maradékrendszer modulo 7 is.
2.2.7 (a) Milyen maradékot ad -mel osztva egy modulo teljes maradékrendszer elemeinek az összege?
(b) Legyen páros, és , valamint egy-egy teljes maradékrendszer modulo . Bizonyítsuk be, hogy az elemek sohasem alkotnak teljes maradékrendszert modulo . Mit állíthatunk páratlan esetén?
(c) Vizsgáljuk meg az analóg kérdéseket teljes maradékrendszerek helyett redukált maradékrendszerekre is.
2.2.8 (M [558]) (a) Egy kör alakú tisztás mentén fa áll, mindegyiken egy-egy mókus.
A mókusok össze szeretnének gyűlni egy fán, de csak úgy változtathatják a helyüket, hogy
két tetszőleges mókus egyidejűleg átugorhat egy-egy szomszédos fára. Ezt a lépést akárhányszor ismételhetik. Milyen esetén tudnak összegyűlni a mókusok?
(b) Mi a helyzet akkor, ha a megengedett lépést a következőképpen módosítjuk: két tetszőleges mókus egyidejűleg átugorhat egy-egy szomszédos fára, azonban ellenkező körüljárási irányba kell ugorniuk.
2.2.9 (*) (a) Mely -ek esetén alkotnak a számok teljes maradékrendszert modulo ?
(b) Mely -ek esetén létezik olyan teljes maradékrendszer modulo , amelyre az számok is teljes maradékrendszert alkotnak modulo ?
2.2.10 Legyen . Melyek igazak az alábbi állítások közül?
(a) Bármely modulo maradékosztály előáll modulo maradékosztályok egyesítéseként.
(b) Bármely modulo redukált maradékosztály előáll modulo redukált maradékosztályok egyesítéseként.
(c) Bármely modulo redukált maradékosztálynak van olyan részhalmaza, amely egy modulo redukált maradékosztályt alkot.
(a) Bizonyítsuk be, hogy sohasem alkotnak teljes maradékrendszert modulo .
(b) Összesen hány modulo maradékosztályt reprezentálnak az elemek?
2.2.12 (M [558]*) Legyen redukált maradékrendszer modulo .
(a) Adjuk meg az összes olyan számot, amelyre az elemek páronként inkongruensek modulo .
(b) Adjuk meg az összes olyan számot, amelyre az elemek is redukált maradékrendszert alkotnak modulo .
2.2.13 (M [560]*) Milyen és számokhoz létezik olyan teljes maradékrendszer modulo és teljes maradékrendszer modulo , hogy az számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo ?
2.2.14 (M [561]) Legyenek és pozitív egészek.
(a) Bizonyítsuk be, hogy
akkor és csak akkor alkot teljes maradékrendszert modulo , ha .
(b) Legyen , illetve redukált maradékrendszer modulo , illetve modulo . Bizonyítsuk be, hogy
akkor és csak akkor alkot redukált maradékrendszert modulo , ha .
(c) Mutassuk meg, hogy ha , akkor .