1.5.1 Tétel (A számelmélet alaptétele) . T 1.5.1
Minden, a 0-tól és egységektől különböző egész szám felbontható véges sok felbonthatatlan szám szorzatára, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől és egységszeresektől eltekintve egyértelmű. (Az egyértelműség azt jelenti, hogy ha
ahol a és számok valamennyien felbonthatatlanok, akkor , és a és számok párba állíthatók úgy, hogy mindegyik a hozzá tartozó -nek egységszerese.)
Megjegyzések: 1. A 0-t és az egységeket azért kellett kizárni, mert azok egyáltalán nem bonthatók fel felbonthatatlan számok szorzatára: az egységek csak úgy írhatók fel szorzatként, hogy minden tényező egység, a 0 pedig csak úgy, hogy legalább az egyik tényező 0 (és akkor ez a tényező nem felbonthatatlan).
2. Magukra a felbonthatatlan számokra a tétel olyan formában érvényes, hogy ezeket egytényezős szorzatoknak tekintjük.
3. Néhány észrevétel az egyértelműséghez. Tegyük fel, hogy az szám alakban előáll felbonthatatlanok szorzataként. Ekkor nyilván a tényezőket tetszőleges más sorrendben összeszorozva ugyancsak -t kapunk. Emellett legyenek tetszőleges olyan egységek, amelyek szorzata 1, ekkor is felbonthatatlanok, és ezek szorzata is -val egyenlő. Az alaptétel egyértelműségi része éppen azt fejezi ki, hogy ezektől a variálási lehetőségektől eltekintve az másképpen már nem írható fel felbonthatatlanok szorzataként. Például a 12 esetében néhány ilyen felírás
4. A tétel kimondásánál mindenképpen a felbonthatatlan szám fogalmát érdemes használni, hiszen a tétel éppen azt fejezi ki, hogy ilyen „építőkövekből” lényegében minden szám lényegében egyértelműen „összerakható”. A bizonyítás során is meg fogjuk különböztetni a felbonthatatlan és a
prím fogalmát. Ezek ekvivalenciája — amint látni fogjuk — szoros összefüggésben áll a számelmélet alaptételének az érvényességével.
5. Sok számkörben (illetve integritási tartományban) nem érvényes a számelmélet alaptétele. Például a páros számok körében a 100-nak két lényegesen különböző felbontása létezik felbonthatatlanok szorzatára: . További példákat látunk majd a 10. fejezetben.
Most rátérünk az alaptétel igazolására. Az egyértelműségi részre két bizonyítást is adunk.
A felbonthatóság bizonyítása: Tekintsünk egy nullától és egységektől különböző tetszőleges számot. Ha felbonthatatlan, akkor készen vagyunk.
Ha nem felbonthatatlan, akkor létezik nemtriviális felbonthatatlan osztója, mert a legkisebb pozitív nemtriviális osztója szükségképpen felbonthatatlan (lásd az 1.4.7b feladatot [18]). Ekkor
, ahol felbonthatatlan és nem egység.
Ha felbonthatatlan, akkor készen vagyunk; ha nem, akkor van olyan felbonthatatlan szám, amellyel , ahol nem egység.
Hasonlóan járunk el -vel stb. Eljárásunk véges sok lépésben be kell hogy fejeződjön, ugyanis az számok pozitív egészek, és szigorúan csökkenő sorozatot alkotnak:
tehát eljutunk egy olyan -hoz, amely már felbonthatatlan, . Ekkor az előállítást nyerjük. ∎
Az egyértelműség első bizonyítása: Ebben a bizonyításban a fő segédeszközünk az lesz, hogy minden felbonthatatlan egyben prím is (T 1.4.3 Tétel).
Tegyük fel indirekt, hogy valamely -nak létezik (legalább) két lényegesen különböző felbontása felbonthatatlanok szorzatára:
Ha itt valamelyik egységszerese valamelyik -nek, például , akkor -gyel egyszerűsítve
adódik, vagyis az számnak kapjuk két lényegesen különböző felbontását felbonthatatlanok szorzatára.
Az eljárást folytatva így végül egy olyan számhoz jutunk, amelynek a kétféle felbontásában már nincsenek egységszeres tényezők. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az (1)-beli előállítás ilyen, azaz .
(1)-ből kapjuk, hogy . Mivel felbonthatatlan, így az T 1.4.3 Tétel alapján prím is, ezért szükségképpen osztója legalább az egyik tényezőnek.
Azonban ha , akkor felbonthatatlansága miatt vagy egység, vagy pedig a egységszerese, és mindkettő ellentmondás. ∎
Az egyértelműség második bizonyítása: Ebben a bizonyításban -ra vonatkozó teljes indukciót használunk.
Mivel egy szám és az egységszeresei minden oszthatósági szempontból egyenértékűek, ezért nem jelent megszorítást, ha pozitív egészeknek pozitív felbonthatatlanok szorzatára való felbontásaival foglalkozunk.
Ha , akkor az egyértelműség (a 2 felbonthatatlan volta miatt) igaz.
Tegyük most fel, hogy minden szám egyértelműen bomlik fel felbonthatatlanok szorzatára, és megmutatjuk, hogy ekkor felbontása is egyértelmű. Tegyük fel indirekt, hogy -nek létezik (legalább) két különböző felbontása felbonthatatlanok szorzatára:
Itt nyilván , továbbá , mert ha például , akkor az számnak is két különböző felbontása lenne, ami ellentmond az indukciós feltevésnek.
Tegyük fel, hogy és legyen . Megmutatjuk, hogy
és
ami ellentmondás.
Az kifejezésbe helyére a (2)-beli felbontásokat beírva kapjuk, hogy
Nyilván , továbbá miatt
amivel (3)-at beláttuk.
Bontsuk fel az mindkét (5)-beli szorzat-előállításának utolsó tényezőjét felbonthatatlanok szorzatára:
Ennek alapján az az alábbi módon áll elő felbonthatatlanok szorzataként:
(Ha esetleg , akkor (6) úgy értendő, hogy a -k hiányoznak, a további gondolatmenet ekkor „még inkább” érvényben marad.)
Megmutatjuk, hogy (6) az két különböző felbontását adja. Az első felbontásban szerepel a . A másodikban viszont nem, ugyanis egyrészt , másrészt, ha valamelyik -re , akkor
következne, ami lehetetlen. Ezzel (4)-et is beláttuk. ∎
Megjegyzések: 1. Az egyértelműség első bizonyítását elemezve megállapíthatjuk, hogy az tulajdonképpen a maradékos osztáson múlott. Ugyanis a maradékos osztásra támaszkodó euklideszi algoritmussal igazoltuk a kitüntetett közös osztó létezését, majd ennek felhasználásával mutattuk meg
(az T 1.3.9 Tétel segítségével), hogy egy felbonthatatlan szám szükségképpen prím is, és ez volt a bizonyítás kulcslépése.
Általában is igaz, hogy ha egy számkörben (illetve integritási tartományban) létezik a maradékos osztás megfelelője, akkor ott érvényes a számelmélet alaptétele is. Az egyértelműségi részre az egész számoknál adott gondolatmenetünk az általános esetre is szó szerint átvihető, a felbonthatóságnál esetenként finomabb meggondolásokra is szükség lehet. Erre vonatkozó példák szerepelnek majd a 7. és 10. fejezetben. A 11.3 pontban az ideálok segítségével az általános esetben is egységes bizonyítást adunk arra, hogy a maradékos osztásból következik a számelmélet alaptétele (felbonthatóság és egyértelműség egyaránt).
Megjegyezzük még, hogy a maradékos osztás és az alaptétel kapcsolata nem szimmetrikus; vannak olyan számkörök, amelyekben érvényes a számelmélet alaptétele, noha semmilyen értelemben sem létezik bennük maradékos osztás. Ilyen példát látunk majd a 10. fejezetben.
2. Az egyértelműség második bizonyítása nem támaszkodott az 1.3 és 1.4 pontok tételeire. Ez lehetőséget ad arra, hogy ezeknek a tételeknek egy részére az alaptétel segítségével új bizonyítást adjunk. Ezek közül két fontos tételt külön is kiemelünk: az egyik a kitüntetett közös osztó létezése (T 1.3.3 Tétel), a másik pedig az, hogy minden felbonthatatlan egyben prím is (az T 1.4.3 Tétel
„érdemibb” fele). Az előbbinek az alaptételből történő levezetését lényegében az T 1.6.4 Tétel bizonyításánál láthatjuk majd, az utóbbira nézve lásd az 1.5.8 feladatot [21].
Feladatok
1.5.1 Igazoljuk, hogy egy szám felbonthatatlan számok szorzataként történő előállításában a tényezők száma legfeljebb .
1.5.2 Tekintsük a páros számok körét.
(a) Mely elemek írhatók fel lényegében egyértelműen felbonthatatlanok szorzataként?
(b) Adjunk meg olyan elemet, amelynek pontosan 1000 lényegesen különböző felbontása van.
1.5.3 Vizsgáljuk meg, hogy az egyértelműségre adott bizonyításaink hol buknak meg a páros számok körében?
1.5.4 Mutassuk meg, hogy a 10-zel osztható egész számok körében nem érvényes a számelmélet alaptétele, sőt itt van olyan elem is, amelynek két különböző felbontásában még a felbonthatatlan tényezők darabszáma sem azonos.
1.5.5 Tekintsük a véges tizedes törtek halmazát.
(a) Határozzuk meg az egységeket és a felbonthatatlanokat.
(b) Bizonyítsuk be, hogy -ben érvényes a számelmélet alaptétele.
(c) Lássuk be, hogy -ben létezik a maradékos osztás megfelelője, azaz minden elemhez hozzá tudunk rendelni egy nemnegatív egész számot úgy, hogy , továbbá
minden , esetén létezik olyan , hogy és .
1.5.6 Az egyértelműségre adott második bizonyításnak sok más változata is elkészíthető. Hol kell módosítani a gondolatmenetet, ha -et -nek választjuk?
1.5.7 Hányféleképpen írható fel egy egész szám felbonthatatlanok szorzataként, ha most a csak a sorrendben és/vagy egységszeresekben való eltérést is különböző felbontásnak tekintjük?
1.5.8 (M [551]) Vezessük le a számelmélet alaptételéből, hogy minden felbonthatatlan egyben prím is.
1.5.9 Keressük meg (az egészek körében) az összes olyan (nem feltétlenül pozitív és nem feltétlenül különböző) prímszámokat, amelyekre
1.5.10 (M [552]*) Adjuk meg (az egészek körében) az összes olyan pozitív prímszámot, amelynek alkalmas (pozitív egész kitevős) hatványa felírható két pozitív egész szám köbének az összegeként.