Ebben a pontban a modulo maradékosztályok között összeadást és szorzást értelmezünk és ezek tulajdonságait vizsgáljuk. Az modulust végig rögzítettnek tekintjük.
2.8.1 Definíció . D 2.8.1
Az és maradékosztályok összegén az , szorzatán pedig az maradékosztályt értjük, azaz
Be kell látnunk, hogy a fenti módon valóban műveleteket definiáltunk, azaz mind az összeadásnál, mind pedig a szorzásnál bármely két modulo maradékosztályhoz egyértelműen hozzárendeltünk egy modulo maradékosztályt.
A problémát az jelenti, hogy a maradékosztályokra vonatkozó összeadást és szorzást a reprezentánsok segítségével adtuk meg, és így azt kell igazolni, hogy ez nem függ attól, hogy az egyes maradékosztályokban melyik reprezentánst választottuk.
Nézzük az összeadást. Azt kell megmutatni, hogy ha és , akkor . Ez valóban teljesül, ugyanis
Hasonlóan járhatunk el a szorzás esetében is.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy számos olyan, az egész számokon értelmezett művelet van, amelyek megfelelőit nem lehet a reprezentánsok segítségével a maradékosztályok körében értelmezni. Ennek illusztrálására egy egyszerű példát mutatunk, további példák szerepelnek a 2.8.6 feladatban [69].
Legyenek és egész számok, és jelölje max közülük a nagyobbikat, illetve a közös értéküket, ha . Ez a maximumképzés bármely két egész számhoz egyértelműen hozzárendel egy egész számot, tehát művelet az egész számok körében.
Azonban a modulo maradékosztályok körében a
egyenlőséggel nem tudunk műveletet értelmezni, ugyanis az egyenlőség jobb oldalán más és más maradékosztályt kap(hat)unk, ha az , illetve maradékosztályt egy másik elemével reprezentáljuk. Például legyen a modulus , a két maradékosztály pedig
és . Ekkor egyrészt ,
másrészt lenne, azonban .
Most rátérünk a modulo maradékosztályok körében értelmezett összeadás és szorzás legfontosabb tulajdonságaira.
Könnyen adódik, hogy az egész számoknál megismert tulajdonságok nagy része a maradékosztályok körében is érvényben marad:
Bizonyítás: Valamennyi állítás azonnal következik a műveletek definíciójából és az egész számok megfelelő tulajdonságából. Nézzük példaként az összeadás kommutativitását:
(az első és a harmadik egyenlőség a maradékosztályok közötti összeadás definíciójából, a második egyenlőség pedig az egész számok összeadásának kommutativitásából adódik). ∎
A T 2.8.2 Tételben felsorolt tulajdonságok azt jelentik, hogy a modulo maradékosztályok az összeadásra és szorzásra nézve egységelemes, kommutatív gyűrűt alkotnak.
Megjegyezzük, hogy — mint bármely gyűrűben — a maradékosztályok körében a kivonás is elvégezhető, azaz bármely és esetén pontosan egy olyan létezik, amelyre ; a keresett maradékosztályt az alakban kaphatjuk meg. (A kivonás elvégezhetőségét az egész számok kivonására támaszkodva is beláthatjuk, ekkor
adódik.)
Most megvizsgáljuk, hogy mely maradékosztályoknak létezik a szorzásra nézve inverze (multiplikatív inverze, „reciproka”), azaz mely esetén létezik olyan maradékosztály, amelyre
Az (1) feltétel azt jelenti, hogy , azaz , vagyis az
lineáris kongruencia megoldható. A T 2.5.3 Tétel szerint ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy , vagyis teljesüljön. Ez azzal ekvivalens, hogy redukált maradékosztály legyen. Így beláttuk az alábbi tételt:
2.8.3 Tétel . T 2.8.3
A modulo maradékosztályok között pontosan a redukált maradékosztályoknak létezik (multiplikatív) inverze.
Megjegyezzük, hogy bármely asszociatív művelet esetén egy elemnek csak egy inverze lehet. Így egy redukált maradékosztály inverze is egyértelmű. (Ez egyébként a T 2.5.5 Tételből is következik.) Kommutatív testen egy olyan (legalább kételemű) kommutatív, egységelemes gyűrűt értünk, amelyben a nullelemen kívül minden elemnek létezik inverze. A T 2.8.3 Tétel szerint a modulo maradékosztályok körében ez akkor és csak akkor teljesül, ha minden nemnulla maradékosztály redukált, azaz prím. Így a következő tételt kaptuk:
2.8.4 Tétel . T 2.8.4
A modulo maradékosztályok akkor és csak akkor alkotnak testet, ha prím.
A modulo maradékosztályok körében előfordulhat, hogy két nemnulla maradékosztály szorzata a nulla maradékosztály, például . Egy maradékosztályt — a (kommutatív) gyűrűkben értelmezett általános fogalomnak megfelelően — nullosztónak nevezünk, ha
Az előző példa szerint tehát a maradékosztály nullosztó.
2.8.5 Tétel . T 2.8.5
A T 2.8.5 Tételből azonnal következik, hogy a modulo maradékosztályok körében akkor és csak akkor található nullosztó, ha összetett szám.
Végül röviden kitérünk a maradékosztályok néhány csoportelméleti vonatkozására.
Egy halmazt akkor nevezünk csoportnak, ha értelmezve van -n egy asszociatív művelet, létezik egységelem és minden elemnek van inverze. Ha a művelet kommutatív, akkor kommutatív vagy Abel-csoportról beszélünk.
Ennek alapján a modulo maradékosztályok az összeadásra, a redukált maradékosztályok pedig a szorzásra kommutatív csoportot alkotnak (ez utóbbi abból következik, hogy két redukált maradékosztály szorzata, valamint egy redukált maradékosztály inverze is redukált maradékosztály).
Az Euler–Fermat-tétel a következő általános csoportelméleti tétel speciális esetének tekinthető:
Egy véges csoport bármely elemére a csoport egységelemével egyenlő (ahol a csoport elemszámát jelöli). Ez a csoportelméleti tétel kommutatív esetén az Euler–Fermat-tétel mintájára igazolható (lásd a 2.8.7 feladatot [69]), tetszőleges -re pedig az ún. Lagrange-tételből következik.
A Wilson-tétel általánosításaként azt a kérdést lehet megvizsgálni, hogy egy véges kommutatív csoport elemeinek a szorzata a csoport melyik elemével egyenlő (lásd a 2.8.8 feladatot [69]).
Feladatok
2.8.1 Milyen esetén létezik olyan nemnulla maradékosztály, amely önmagának az ellentettje?
2.8.2 Tekintsük a modulo 100 maradékosztályok gyűrűjét.
(a) Mi a (13) maradékosztály multiplikatív inverze?
(b) Hány nullosztó van?
(c) A maradékosztálynak hány nullosztópárja van, azaz hány olyan maradékosztály
létezik, amelyre ?
(d) Van-e olyan maradékosztály, amelyre ?
2.8.3 Hány olyan modulo maradékosztály van, amelynek önmaga a multiplikatív inverze, ha értéke
(a) 47;
(b) 30;
(c) 800;
(d) tetszőleges?
2.8.4 Legyen összetett szám, és tekintsük a modulo maradékosztályok gyűrűjét.
(a) Mutassuk meg, hogy ha nullosztó, akkor tetszőleges -re nullosztó vagy . (b) Lássuk be, hogy ha nullosztó, akkor és közül legalább az egyik nullosztó.
(c) Melyek azok az -ek, amelyekre bármely két nullosztó összege is nullosztó vagy ? (d) Határozzuk meg az összes nullosztó összegét, illetve szorzatát.
(e) Mely -ek esetén létezik olyan , amelyre ?
2.8.5 (a) Legyen a modulo 20 maradékosztályok közül a „4-gyel oszthatók” halmaza, azaz
Bizonyítsuk be, hogy a maradékosztályok összeadására és szorzására kommutatív testet alkot.
(b) Legyen a modulo 40 maradékosztályok közül a „4-gyel oszthatók” halmaza, azaz
Mutassuk meg, hogy a maradékosztályok összeadására és szorzására kommutatív gyűrűt alkot, amely azonban nem test, a szorzásra nézve nincs egységelem, sőt minden nemnulla eleme nullosztó.
(c)(M) [563] Általánosítsuk (minél jobban) a feladatot.
2.8.6 Vizsgáljuk meg minél részletesebben, lehet-e a modulo maradékosztályokra a pozitív reprezentánsok segítségével értelmezni
(a) a legnagyobb közös osztót: ;
(b) a köbre emelést: ;
(c) a köbgyökvonást: ;
(d) a számtani közép képzését: ;
(e) a hatványozást: ?
2.8.7 Az Euler–Fermat-tétel általánosítása. Jelölje a véges kommutatív csoport elemszámát , egységelemét . Bizonyítsuk be, hogy bármely elemre .
2.8.8 (*) A Wilson-tétel általánosítása. Jelölje egy véges kommutatív csoport elemeinek a szorzatát és az egységelemet. Mutassuk meg, hogy ha -ben pontosan egy olyan elem van, amelyre , akkor , minden más esetben pedig .
KONGRUENCIÁK
A fejezet elején néhány általános észrevételt teszünk a prím modulusú ismeretlenes kongruenciákra vonatkozóan. Ezután a rend, a primitív gyök és a diszkrét logaritmus legfontosabb tulajdonságait tárgyaljuk, majd ezek felhasználásával a modulo „gyökvonás” kérdését, azaz a prím modulusú binom kongruenciákat tekintjük át. Szerepeltetjük Kőnig és Rados, valamint Chevalley egy-egy nevezetes tételét is. Végül megmutatjuk, hogyan lehet az összetett modulusú kongruenciákat prímhatvány, illetve prím modulusú kongruenciákra visszavezetni.