Speciális alakú prímek:
5.2 Fermat- és Mersenne-prímek
Ebben a pontban a és alakú prímekkel foglalkozunk, az előbbieket Fermat-prímeknek, az utóbbiakat Mersenne-prímeknek nevezzük. Amint az előző pontban már említettük, megoldatlan, hogy létezik-e végtelen sok Fermat-, illetve Mersenne-prím.
Az 1.4.4 feladatban [17] láttuk, hogy ha prím, akkor szükségképpen kettőhatvány, ha pedig prím, akkor maga is prím. Így elég az Fermat-számokat és az
(ahol prím) Mersenne-számokat vizsgálnunk.
Először a Fermat-számokkal foglalkozunk. Fermat azt hitte, hogy mindig prímet ad (nem ez a híres Fermat-sejtés, azzal a 7. fejezetben foglalkozunk majd). A értékekre valóban prím (ezek a prímek a 3, 5, 17, 257 és ), azonban Euler megmutatta, hogy már összetett, ugyanis osztható 641-gyel.
Ma (2005-ben) már tudjuk, hogy összetett szám és néhány nagyobb esetén.
A rekord (amely a tízes számrendszerben több, mint jegyből áll!), ez osztható -gyel. Az értékekre (egyelőre) nem találtak prímet az számok között.
Nem tudjuk, hogy prím-e. Nem ismerjük egyetlen nemtriviális osztóját sem (noha tudjuk, hogy összetett szám). , és prímtényezős felbontását megadjuk a könyv végén található, a Fermat-számokra vonatkozó táblázatban (rajtuk kívül csak , , és teljes felbontása ismert).
A Fermat-prímek a szabályos sokszögek szerkesztésénél játszanak szerepet: Gauss tétele szerint egy szabályos -szög akkor és csak akkor szerkeszthető (euklideszi szerkesztéssel), ha
kanonikus alakja , ahol , és a számok különböző Fermat-prímek.
Az első néhány érték
A Fermat-számok vizsgálatában az alábbi két tétel nyújt gyakorlati szempontból is hasznos segítséget.
Az T 5.2.1 Tétel a Fermat-számok prímosztóinak keresését teszi hatékonyabbá, az T 5.2.2 Tétel alapján pedig (viszonylag) gyorsan ellenőrizhető, hogy egy Fermat-szám prím-e vagy összetett.
5.2.1 Tétel . T 5.2.1
bármely (pozitív) osztója , sőt esetén alakú.
Feltehetőleg Euler is ezt a tételt használta összetettségének a kimutatására: prímosztói csak a alakú prímek közül kerülhetnek ki. Ezek közül az első kettő a 257 és a 641, és ez utóbbi osztója is -nek.
Bizonyítás: Az állítást először arra az esetre igazoljuk, ha az osztó egy prímszám. Ekkor átírható a
alakba. Ezt négyzetre emelve
adódik. A T 3.2.2(i) Tétel szerint
Ennek megfelelően a (2) kongruenciából azt kapjuk, hogy
ugyanakkor az (1) kongruencia alapján
hiszen nyilván és így . Ebből következik, hogy
Az összefüggésből kapjuk, hogy , azaz alkalmas egésszel .
Ha , akkor az előzőek alapján egyúttal alakú, és így
Ebből következik, hogy
vagyis alkalmas egésszel .
A fenti eredményeket átírhatjuk , illetve esetén alakba
is.
Legyen végül tetszőleges. Írjuk fel -t (nem feltétlenül különböző) prímszámok szorzataként (ha ): . Az előzőekben azt igazoltuk, hogy mindegyik -re
. Ezeket a kongruenciákat összeszorozva kapjuk, hogy is teljesül. A modulusra vonatkozó állítás ugyanígy bizonyítható. ∎
5.2.2 Tétel (Pepin-teszt) . T 5.2.2
Az esetben akkor és csak akkor prím, ha
Bizonyítás: Tegyük fel először, hogy prím. Ekkor (3) éppen azt jelenti, hogy a 3 kvadratikus nemmaradék modulo , azaz
Ennek igazolásához felhasználjuk, hogy miatt alakú, és így
Ezért a kvadratikus reciprocitási tétel alapján
A megfordításhoz tegyük fel, hogy (3) teljesül. Ezt négyzetre emelve
adódik. A (4), illetve (3) kongruenciából
következik. Mivel kettőhatvány, ezért ebből azt nyerjük, hogy
Ez azt is jelenti, hogy . Mivel , így csak lehetséges, ami azzal ekvivalens, hogy prím. ∎
Az T 5.2.2 Tétel alapján összetettségét a következőképpen lehet kimutatni: modulo vett maradékát 31 négyzetre emeléssel és az eredményt mindig modulo redukálva kiszámoljuk, és kiderül, hogy ez a maradék nem . Sőt, tulajdonképpen pusztán a kis Fermat-tétel segítségével is célhoz érhetünk: 32 ilyen négyzetre emeléses és redukciós lépéssel kapjuk, hogy
tehát nem lehet prím. Így Fermat akár a saját tételével is megcáfolhatta volna a Fermat-számok prím voltára vonatkozó sejtését (az imént jelzett számolás mennyisége nem jelentett volna akadályt, hiszen abban a korban rendszeresen végeztek ennél jóval nagyobb számításokat is papírral és ceruzával).
Az T 5.2.2 Tétel általában is hatékony eszközt jelent a Fermat-számok prím vagy összetett voltának az eldöntésére: a (3) feltétel teljesülését ismételt négyzetre emelésekkel (és az eredményt mindig modulo redukálva) gyorsan ellenőrizni tudjuk, összesen ilyen lépést kell végezni.
Sajnos, a gyakorlati alkalmazásnak gátat szab az a tény, hogy a Fermat-számok iszonyú sebességgel nőnek, , és így a legjobb számítógépek sem képesek megbirkózni már viszonylag kis értékekkel sem.
Most rátérünk az (ahol prím) Mersenne-számok vizsgálatára. Könnyen látszik, hogy ezek nem lesznek mindig prímek, a legkisebb összetett számot esetén kapjuk:
A Mersenne-prímek jelentőségét többek között a páros tökéletes számokkal való kapcsolatuk adja, lásd a T 6.3.2 Tételt. A névadó Mersenne a 17. század jelentős francia „tudományszervezője”, Fermat, Descartes és más vezető tudósok intenzív levelezőpartnere volt, aki a minél nagyobb tökéletes számok előállítása reményében keresett ilyen típusú prímeket.
Mersenne jól tudta, hogy nagy számokról igen nehéz eldönteni, hogy prímek-e. 1644-ben megjelent könyvében ezt írja: „Ahhoz, hogy egy 15 vagy 20-jegyű számról megállapítsuk, prím-e vagy sem, egy egész élet ideje sem elég.” Néhány oldallal arrébb ennek ellenére az alábbi állítás szerepel:
prím, ha , de minden más 257-nél kisebb értékre összetett.
Több mint kétszáz évig senki sem tudta, vajon Mersenne listája helyes-e vagy sem. Az első hibát 1876-ban(!) fedezte fel a szintén francia Lucas: megmutatta, hogy összetett. Itt külön érdekesség, hogy a számot nem sikerült tényezőkre bontania, csak az összetettség tényét igazolta (a részben róla elnevezett T 5.2.4 Tétel segítségével). Végül 1903-ban az amerikai Cole találta meg a
felbontást, miután sok évig minden vasárnap délutánját ennek a problémának szentelte.
Mersenne listájában később további négy hibát találtak: a hiányzó , és is prím, ugyanakkor összetett.
2005-ben 43 Mersenne-prímet ismertünk, ezek az alábbi kitevőkhöz tartoznak: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, , ,
, , , , , , , , , ,
, , , , , , , , .
Közülük az utolsó, a 2005 decemberében felfedezett a legnagyobb ismert prím. Ez a számóriás számjegyből áll (tízes számrendszerben).
A könyv végén, a Mersenne-számokra vonatkozó táblázatban megadjuk a 10 és 100 közötti (prím) kitevőkhöz tartozó összetett Mersenne-számok prímtényezős felbontását.
Most az T 5.2.1 és T 5.2.2 Tételek Mersenne-számokra vonatkozó megfelelőit tárgyaljuk.
5.2.3 Tétel . T 5.2.3
Legyen prím. Ekkor bármely (pozitív) osztója egyszerre és alakú.
Példa: Legyen . Ekkor tetszőleges prímosztója egyrészt , másrészt alakú. Az így adódó
szimultán kongruenciarendszereket megoldva
adódik. Az ilyen alakú prímek
Ezek közül , tehát összetett.
Könnyen lehet, hogy -nek ezt a prímosztóját Mersenne is megtalálta, vagyis tudatosan hagyta ki a értéket a listájáról (és nem csak arról van szó, hogy szerencsésen tippelt).
Bizonyítás: A Fermat-számoknál látottakhoz hasonlóan most is elég az állítást prímosztókra igazolni.
Tegyük fel, hogy a prímre
Ekkor , továbbá nyilván , tehát .
Innen kapjuk, hogy , azaz alakú. Mivel és páratlan, ezért páros, vagyis alakú.
A állításhoz azt kell igazolnunk, hogy a 2 kvadratikus maradék mod . Ez a kongruenciából páratlanságának és a Legendre-szimbólum tulajdonságainak felhasználásával a következőképpen adódik:
5.2.4 Tétel (Lucas–Lehmer-teszt) . T 5.2.4
Legyen prím, továbbá és , ha . Ekkor pontosan akkor prím, ha
Példa: Legyen . Ekkor
tehát prím.
Az (5) feltétel teljesülésének ellenőrzésekor elég mindig az -knek csak a modulo vett maradékát kiszámítani, összesen négyzetre emelési (valamint kivonási és redukciós) lépést kell végrehajtani.
Bizonyítás: Az ( egész) alakú számok a szokásos műveletekre egy (kommutatív, egységelemes, nullosztómentes) gyűrűt alkotnak, jelöljük ezt -val. A bizonyításban a -beli oszthatóság, kongruencia és rendfogalom elemi tulajdonságait használjuk fel (ezek -ban is ugyanúgy érvényesek, mint az egész számoknál). Megjegyezzük, hogy -ban a számelmélet alaptétele is igaz (lásd a T 10.3.6 Tételt, illetve a 10.3.1 feladatot [337]), azonban a bizonyítás során erre nem lesz szükségünk.
I. Teljes indukcióval könnyen igazolható, hogy bármely -ra
Ennek alapján az (5) feltétel ekvivalens az
oszthatósággal. A jobb oldalon -t kiemelve (6) átírható az alábbi alakba:
Használjuk fel, hogy a (7)-beli oszthatóság pontosan akkor teljesül az egész számok körében, mint amikor -ban (lásd az 5.2.10 feladatot [125]), továbbá miatt a
számok egész kitevős hatványai egységek -ban. Ennek megfelelően (7) és így (5) is ekvivalens a
kongruenciával.
Mindezek alapján az T 5.2.4 Tétel átfogalmazható a következő alakba: akkor és csak akkor prím, ha (8) teljesül.
II. Szükségünk lesz a következő lemmára: Ha tetszőleges prímszám, akkor
A lemma bizonyítása: A binomiális tétel alapján
A kis Fermat-tétel szerint
továbbá
mindegyike osztható -val, és végül
Ezeket (10)-be beírva éppen (9) adódik.
III. Most megmutatjuk, hogy ha (8) fennáll, akkor prím. A (8) kongruenciát négyzetre emelve kapjuk, hogy
Legyen az egy prímosztója (nyilván ). Ekkor a (11) és (8) kongruenciák helyett a modulusra is teljesülnek. Ebből (az T 5.2.1 és T 5.2.2 Tételek bizonyításánál is használt gondolatmenet
szerint) következik, hogy .
Ha , akkor (9) felhasználásával kapjuk, hogy
és így
Ez azonban miatt lehetetlen.
Ha , akkor hasonlóan adódik, hogy
és így
Ezt a egyenlőtlenséggel összevetve kapjuk, hogy , vagyis prím.
IV. Végül belátjuk, hogy ha prím, akkor (8) teljesül.
Fel fogjuk használni, hogy miatt
továbbá és alapján, a reciprocitási tétel felhasználásával
Induljunk ki a
egyenlőségből, és emeljük mindkét oldalt -edik hatványra:
A (14) egyenlőség bal oldalának első tényezőjére (12)-t is felhasználva kapjuk, hogy
a (14) jobb oldalán pedig a (9) kongruenciát az és szereposztással alkalmazva, valamint (13)-at is felhasználva
adódik. A (15) és (16) összefüggéseket (14)-be beírva azt nyerjük, hogy
Szorozzuk meg (17)-et -gyel. Ekkor miatt éppen a bizonyítani kívánt (8) kongruenciához jutunk. ∎
Feladatok
5.2.1 (a) Igazoljuk, hogy .
(b) Mutassuk meg, hogy a Fermat-számok páronként relatív prímek (vö. az 1.3.14 feladattal [15]).
(c) A (b) rész felhasználásával adjunk új bizonyítást arra, hogy a prímek száma végtelen.
(d) Adjunk új bizonyítást az 5.1.9a feladat [117] állítására.
5.2.2 Bizonyítsuk be, hogy az T 5.2.2 Tétel esetén akkor is érvényben marad, ha a (3) képletben a 3 helyére 5-öt vagy 10-et írunk.
5.2.3 Legyen . Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor prím, ha
5.2.4 Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor kettőhatvány, ha , ahol , és a számok különböző Fermat-prímek.
5.2.5 (M [569]) Hány olyan létezik, amelyre szabályos -szög szerkeszthető?
5.2.6 Keressük meg az alábbi számok legkisebb prímosztóját:
(a) ;
5.2.8 Tegyük fel, hogy egy prímszámra osztója egy Fermat-számnak vagy egy Mersenne-számnak. Mutassuk meg, hogy ekkor
Megjegyzés: Megoldatlan probléma, hogy a feladat feltétele egyáltalán teljesülhet-e; könnyen elképzelhető ugyanis, hogy valamennyi Fermat- és Mersenne-szám négyzetmentes. Az is megoldatlan, hogy a fenti kongruenciát egyáltalán hány prím elégíti ki, nem kizárt, hogy a jelenleg ismert 1093-on és 3511-en kívül nincs is több ilyen tulajd1093-onságú .
5.2.9 (M [569]) A 8 és a 9, a 16 és a 17, illetve a 31 és a 32 szomszédos prímhatványok (a prímeket is prímhatványnak tekintjük). Jellemezzük az összes ilyen számpárt.
5.2.10 Jelölje az ( egész) alakú számok gyűrűjét (lásd az T 5.2.4 Tétel bizonyítását), és legyenek és egész számok. Mutassuk meg, hogy a oszthatóság akkor és csak akkor teljesül -ban, ha az egész számok körében is fennáll.
5.2.11 (*) Az is megoldatlan probléma, hogy a Fermat-számok között végtelen sok összetett szám van-e. Ugyanígy megoldatlan, hogy a számok között végtelen sok prím, illetve hogy végtelen sok összetett szám található-e. Mutassuk meg azonban, hogy az és számsorozatok közül legalább az egyikben végtelen sok összetett szám fordul elő.