Az Euler-féle -függvényt a D 2.2.7 Definícióban értelmeztük: Tetszőleges pozitív egész esetén az számok közül az -hez relatív prímek számát jelenti.
Ebből azonnal következett, hogy darab modulo redukált maradékosztály létezik, és egy modulo redukált maradékrendszer elemeinek a száma is .
Most egy olyan képletet bizonyítunk, amely az kanonikus alakjának segítségével megadja értékét:
2.3.1 Tétel . T 2.3.1 Legyen kanonikus alakja
Ekkor
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy fenti képlete csak akkor érvényes, ha az kanonikus alakjában az kitevők valóban pozitívak (szemben például a -re az T 1.6.3 Tételben adott képlettel, amely akkor is igaz marad, ha megengedjük, hogy az kitevők között a nulla is előforduljon).
A fenti képlet néhány másik, ekvivalens alakja:
A T 2.3.1 Tételre két bizonyítást adunk. Egy harmadik bizonyítás leolvasható a 6.5.4b feladatból [193]. Emellett az első bizonyításban döntő fontosságú II. állítás két további igazolási módja is szerepel a 2.2.14 [41], illetve 2.6.10 feladatokban [61].
Első bizonyítás: A tételt az alábbi két állításra vezetjük vissza:
I. Ha prím (és ), akkor .
II. Ha , akkor .
Ezekből a tétel valóban következik. Ugyanis II-ből a tényezők száma szerinti teljes indukcióval kapjuk,
hogy ha az számok páronként relatív prímek, akkor . Ha
ezt -re alkalmazzuk, és helyére az I-ben szereplő értéket beírjuk, akkor éppen a bizonyítandó képlet adódik.
Rátérünk az I. állítás igazolására. Egy szám -hoz akkor és csak akkor relatív prím, ha nem osztható -vel. Ennélfogva az egészek közül úgy kapjuk meg a -hoz relatív prímeket, ha elhagyjuk a -vel oszthatókat. Ez utóbbiak a , és így számuk . Ebből
következik, hogy a megmaradók száma .
Nézzük most a II. állítás bizonyítását. (Mint már jeleztük, ennek két másik lehetséges módja szerepel a 2.2.14 [41], illetve 2.6.10 feladatban [61].)
A érték azoknak az -nél nem nagyobb pozitív egészeknek a számát jelenti, amelyek relatív prímek -hez, azaz relatív prímek -hoz és -hez is.
Jelöljük a modulo redukált maradékosztályok legkisebb pozitív elemeit -val, és írjuk fel az -nél nem nagyobb pozitív egészek közül azokat, amelyek -hoz relatív prímek:
Ezek közül kell kiválasztani azokat a számokat, amelyek -hez is relatív prímek.
Tekintsük evégett az (1) táblázat egy tetszőleges oszlopát. Például az -edik oszlop elemei a következők:
Ezek az elemek úgy jöttek létre, hogy a modulo teljes maradékrendszer elemeit a -hez relatív prím -val megszoroztuk, majd az így kapott számokhoz -t hozzáadtunk. A T 2.2.4 Tétel alapján ekkor (2) is teljes maradékrendszer modulo , vagyis az (1) táblázat minden oszlopában egy-egy modulo teljes maradékrendszer áll.
Mivel egy modulo teljes maradékrendszerben számú -hez relatív prím elem szerepel, ezért az (1) táblázat minden oszlopában darab olyan elem van, amely relatív prím -hez.
Az (1) táblázatban az oszlopok száma , így a táblázatnak összesen eleme relatív prím a -hez.
Ez azt jelenti, hogy az -nél nem nagyobb pozitív egészek között olyan van, amely -hoz és -hez is, vagyis -hez relatív prím. Ez a szám másrészt definíció szerint éppen ,
tehát valóban . ∎
Második bizonyítás: A logikai szitaformulát alkalmazzuk.
Az egészek közül azoknak a számát kell meghatározni, amelyek relatív prímek -hez, azaz a prímek egyikével sem oszthatók.
Ehhez az közül „ki kell szitálni a rossz tulajdonságúakat”, vagyis azokat, amelyek egy vagy több -vel oszthatók.
Tekintsük először azokat az elemeket, amelyek egy adott -vel oszthatók (függetlenül attól, hogy az többi prímtényezőjével oszthatók-e vagy sem). Ezek száma nyilván .
Most nézzük azokat az egészeket, amelyek több, előre megadott -vel oszthatók (ismét nem törődve azzal, oszthatók-e az fennmaradó prímtényezőivel vagy sem). Egy egész akkor és csak akkor osztható adott prímek mindegyikével, ha osztható ezen prímek szorzatával. Ennélfogva például a -gyel és -vel is osztható elemek száma , a -gyel, -mal és -tel oszthatóké
stb.
Így a logikai szitaformula szerint
Közvetlen számolással ellenőrizhető, hogy (3) jobb oldala azonos az
szorzattal, ez pedig a tételben megadott képletnek egy másik felírási módja. _
Feladatok
2.3.1 Mutassuk meg, hogy minden -re páros szám.
2.3.2 Határozzuk meg azokat az -eket, amelyekre értéke (a) 2;
(b) 4;
(c) 14;
(d) 60.
2.3.3 Melyik az a legkisebb , amelyre osztható (a) -nel;
(b) -nel?
2.3.4 Határozzuk meg összes lehetséges értékét, ha végigfut a pozitív egészeken.
2.3.5 Bizonyítsuk be a következő állításokat.
(a) .
(b) és .
(c) .
2.3.6 Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül, ha és pontosan ugyanazokkal a prímekkel osztható.
2.3.7 Legyen . Melyek igazak az alábbi állítások közül?
(a) Ha , akkor páratlan négyzetmentes szám.
(b) Ha páratlan négyzetmentes szám, akkor .
2.3.8 (*) Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egészhez létezik olyan , amelyre . 2.3.9 Igazoljuk, hogy minden -re . Mely -ekre áll egyenlőség?
2.3.10 (a) Mutassuk meg, hogy ha , akkor (tehát ebben az esetben sohasem áll fenn egyenlőség).
(b) A T 2.3.1 Tétel első bizonyításának döntő része volt a II. állítás, azaz igazolása. Hol bukik meg az ott látott gondolatmenet, ha és nem relatív prímek?
(c) Bizonyítsuk be, hogy bármely esetén
2.3.11 (a) Bizonyítsuk be, hogy ha összetett szám, akkor . Milyen -ek esetén áll egyenlőség?
(b) Határozzuk meg azokat az -eket, amelyekre értéke (b1) 1;
(b2) 6;
(b3) 7;
(b4) 10.
2.3.12 Mely egész számok szerepelnek az függvény értékkészletében?
2.3.13 Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor .
2.3.14 Mutassuk meg, hogy .
2.3.15 Lássuk be, hogy , ha .
2.3.16 (*) Igazoljuk, hogy minden természetes számhoz található olyan , amelyre .
2.3.17(*) Adjunk meg 1000 különböző egész számot, amelyekhez a -függvény ugyanazt az értéket rendeli.
2.3.18 (M [562]*) Határozzuk meg az összes olyan pozitív egészt, amelyhez létezik olyan
, hogy .
2.3.19 (M [562]*) Milyen esetén létezik olyan számtani sorozat, amely redukált maradékrendszert alkot modulo ?