Láttuk, hogy oszthatósági szempontból a 0, illetve az egységek különleges szerepet játszanak: a 0-nak minden szám osztója, az egységek pedig minden számot oszta0-nak. Legyen a továbbiakban tetszőleges, 0-tól és egységtől különböző szám. Az egység definíciója alapján bármely egység esetén
és . Ezeket az triviális osztóinak nevezzük. A továbbiakban fontos szerepet játszanak azok a számok, amelyeknek csak triviális osztóik vannak:
1.4.1 Definíció . D 1.4.1
A egységtől (és nullától) különböző számot felbonthatatlan számnak nevezzük, ha csak úgy bontható fel két egész szám szorzatára, hogy valamelyik tényező egység. Azaz
Itt -t azért nem szükséges külön kikötni, mert a nemtriviálisan is szorzattá bontható, pl.
. Megjegyezzük még, hogy a szorzatban nem lehet mindkét tényező egység, hiszen akkor a szorzatuk, azaz is egység lenne. (Így az D 1.4.1 Definíció végén tulajdonképpen „kizáró vagy” szerepel.)
A felbonthatatlan számok tehát azok az egységtől különböző egészek, amelyek csak triviálisan bonthatók két egész szám szorzatára, vagy más szóval, amelyek csak az egységekkel és saját maguk egységszereseivel oszthatók. Ilyenek például a 2, 3, stb. Ha egy nemnulla számnak triviálistól különböző osztója is van, akkor összetett számnak nevezzük.
A következő fogalom bevezetéséhez emlékeztetünk arra, hogy ha egy szám osztója egy szorzat valamelyik tényezőjének, akkor osztója a szorzatnak is, de ennek a megfordítása nem igaz: pl.
-ra , de , . Fontos szerepet játszanak azok a számok, amelyekre a megfordítás is érvényes:
1.4.2 Definíció . D 1.4.2
A egységtől és nullától különböző számot prímszámnak (vagy röviden prímnek) nevezzük, ha csak úgy lehet osztója két egész szám szorzatának, ha legalább az egyik tényezőnek osztója. Azaz
Az D 1.4.2 Definíció végén „megengedő vagy” szerepel, hiszen előfordulhat, hogy a szorzat mindkét tényezőjét osztja. Megjegyezzük még, hogy most -t mindenképpen külön ki kellett kötni, hiszen a 0-ra teljesül az D 1.4.2 Definíció további részében megfogalmazott tulajdonság:
Az D 1.4.2 Definícióból rögtön következik, hogy egy prímszám egy (kettőnél) több tényezős szorzatnak is csak úgy lehet osztója, ha legalább az egyik tényezőnek osztója.
1.4.3 Tétel . T 1.4.3
Az egész számok körében akkor és csak akkor prím, ha felbonthatatlan.
Bizonyítás: Nyilván feltehető, hogy nem nulla és nem egység.
I. Először tegyük fel, hogy prím, és lássuk be, hogy felbonthatatlan is. Induljunk ki egy szorzat-előállításból; azt kell igazolnunk, hogy és valamelyike egység.
Mivel , így is igaz. Mivel prím, ezért ebből vagy következik. Az első esetben , tehát ( miatt) , vagyis egység, a második esetben pedig ugyanígy kapjuk, hogy egység.
II. Most tegyük fel, hogy felbonthatatlan, és lássuk be, hogy prím is. Induljunk ki egy oszthatóságból; azt kell igazolnunk, hogy és közül legalább az egyik teljesül.
Ha , akkor készen vagyunk. Ha , akkor felbonthatatlansága és miatt . A és feltételekből az T 1.3.9 Tétel alapján következik. ∎ Ezzel megmutattuk, hogy az egészek körében a felbonthatatlan számok és a prímszámok egybeesnek.
Ezért jogosult a felbonthatatlan vagy prím elnevezések bármelyikének a használata, és az is, hogy a középiskolában az egészekre a felbonthatatlan számnak megfelelő tulajdonsággal értelmezik a prímszámot. A továbbiakban a rövidség kedvéért a prím(szám) szót fogjuk általában használni, kivéve, ha hangsúlyozni akarjuk a szám felbonthatatlan tulajdonságát.
A két fogalom azonban sok más számkörben nem ekvivalens. Például a páros számok körében a 6 felbonthatatlan, hiszen egyáltalán nem bontható két páros szám szorzatára, azonban nem prím, mert osztója a szorzatnak, de nem osztja egyik tényezőt sem. További példákat látunk majd a 10. fejezetben.
Az egészek körében a prímszámok vizsgálata a számelmélet egyik legfontosabb területe. Már Euklidész bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám létezik (T 5.1.1 Tétel), ugyanakkor a prímszámokkal kapcsolatban rengeteg az olyan egyszerűen megfogalmazható probléma, amely még ma is megoldatlan. Mindezekkel bővebben az 5. fejezetben foglalkozunk.
Feladatok
A szokásos szóhasználatnak megfelelően az egész számok körében már az alábbiakban is a prím vagy prímszám szót fogjuk használni a felbonthatatlan számra is. Megjegyezzük azonban, hogy az 1.4.1 [17]–1.4.7 feladatok [18] mindegyike tulajdonképpen felbonthatatlan számokra vonatkozik.
1.4.1 Adjuk meg az összes olyan pozitív egészt, amelyre az alábbi számok mindegyike prímszám:
(a) , és ; (b) és ;
(c) , , , és ;
(d) , és .
1.4.2 Létezik-e végtelen hosszú, nemnulla differenciájú számtani sorozat csupa prímszámból?
1.4.3 Halhatatlan kapitánynak három halhatatlan unokája van, akiknek az életkora három különböző prímszám és ezek négyzetének az összege is prímszám. Hány éves a kapitány legkisebb unokája? (Ne felejtsük el, hogy az unokák halhatatlanok, tehát akár több millió évesek is lehetnek!)
1.4.4 Legyenek és egynél nagyobb egészek. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat.
(a) Ha prím, akkor és prím.
(b) Ha prím, akkor kettőhatvány.
Megjegyzés: A alakú prímeket Mersenne-prímeknek, a alakú prímeket pedig Fermat-prímeknek nevezzük, ezekkel részletesen az 5.2 pontban foglalkozunk majd.
1.4.5 (M [551]) Adjuk meg az összes olyan egészt és páratlan számot, amelyre prímszám.
1.4.6 Mely pozitív egészekre lesz prímszám
(a) ;
(b) ;
(c) ;
(d) ;
(e) ?
1.4.7 Legyen egész szám. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat.
(a) Ha -nek nem létezik olyan osztója, amelyre , akkor prímszám.
(b) Az szám 1-nél nagyobb osztói közül a legkisebb szükségképpen prím.
(c) Ha összetett, de nem létezik olyan osztója, amelyre , akkor két prímszám szorzata.
1.4.8 Bizonyítsuk be, hogy semmilyen egész esetén sem osztható 289-cel.
1.4.9 Mik lesznek a páros számok körében a felbonthatatlanok, illetve a prímek?
1.4.10 A felbonthatatlan és prím fogalma tetszőleges integritási tartományban (lásd az 1.1.23 feladatot [5]) értelmezhető. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat.
(a) Ha -ben a szorzásnak nincs egységeleme, akkor -ben nincs prím.
(b) Ha -ben a szorzásnak van egységeleme, akkor -ben minden prím szükségképpen felbonthatatlan is.