3.1 Megoldásszám és redukció
3.2.13 Bizonyítsuk be, hogy
(a) , ;
(b) .
3.2.14 Az számok között hány másodrendű elem van mod 1000?
3.2.15 (*) Legyen , . Igazoljuk, hogy
(a) ;
(b) .
3.2.16 (*) Tegyük fel, hogy . Lássuk be, hogy .
3.2.17 Bizonyítsuk be, hogy bármely és esetén teljesül.
3.2.18 (*) Legyen redukált maradékrendszer modulo . Mutassuk meg, hogy mindig páratlan szám.
3.2.19 Legyen prím és . Milyen maradékot ad -vel osztva az alábbi összeg és szorzat:
(a) ;
(b) ?
3.2.20 Tizedes törtek. Csak a tizedesvessző után következő jegysorozattal foglalkozunk, ezért elegendő számokat tekintenünk. A feladatban kizárjuk azokat a végtelen tizedes törteket, amelyekben egy határtól kezdve minden számjegy 9-es. Egy tizedes tört véges, ha csak véges sok
jegyből áll; ezt a legrövidebb alakban írjuk fel, azaz az utolsóként szereplő tizedesjegy nem nulla. Egy végtelen tizedes tört szakaszos, ha a tizedesjegyek sorozata egy határtól kezdve periodikus, ezen belül tiszta szakaszos, illetve vegyes szakaszos, attól függően, hogy a periodicitás (azaz az első szakasz) közvetlenül a tizedesvessző után, illetve csak később kezdődik. A racionális számok közönséges tört alakjában feltesszük, hogy és .
(a) Mutassuk meg, hogy egy valós szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor véges vagy végtelen szakaszos, ha racionális.
(b) Az racionális szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor véges, ha kanonikus alakjában legfeljebb a 2 és az 5 prímszámok szerepelnek: . Ekkor a tizedesvessző után szereplő jegyek
száma , azaz , de .
(c) Az racionális szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor tiszta szakaszos, ha . Ekkor a (legkisebb) szakasz hossza .
(d) Az racionális szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor vegyes szakaszos, ha , de a -nek létezik a 2-től és 5-től különböző prímosztója is: , ahol , és . Ekkor a(z első) szakasz a tizedesvessző utáni -edik jegyben kezdődik és hossza .
3.3 Primitív gyök
Mint láttuk, az Euler–Fermat-tételből következik, hogy bármely esetén . Különösen fontos az az eset, amikor itt egyenlőség teljesül:
3.3.1 Definíció . D 3.3.1
Egy számot primitív gyöknek nevezünk modulo , ha .
A definícióból világos, hogy egy primitív gyök szükségképpen relatív prím az modulushoz, továbbá egy redukált maradékosztálynak vagy minden eleme primitív gyök, vagy pedig egyetlen eleme sem az.
Példák:
P1 A 3 primitív gyök modulo 10, mert .
P2 A 2 nem primitív gyök modulo 31, mert .
P3 Modulo 12 egyáltalán nem létezik primitív gyök: elég például a redukált maradékrendszer elemeinek a rendjét megvizsgálni, és itt az 1 rendje 1, a többi elemé 2, vagyis mindegyik rend kisebb, mint .
Amikor egy számról (ahol ) el akarjuk dönteni, hogy primitív gyök-e modulo , akkor fennállását fölösleges ellenőrizni, hiszen ez az Euler–Fermat-tétel miatt biztosan igaz. Az összefüggés alapján azt kell megvizsgálni, hogy a valamely osztójára teljesül-e ; ha van ilyen , akkor nem primitív gyök, ha nincs ilyen , akkor pedig primitív gyök. Könnyen látszik, hogy a osztói közül is elég a
„maximálisakat” tekinteni, vagyis azokat, amelyek alakúak, ahol prímszám.
A primitív gyökök alkalmazhatósága elsősorban az alábbi egyszerű tételben megfogalmazott tulajdonságon alapul:
3.3.2 Tétel . T 3.3.2
Egy szám akkor és csak akkor primitív gyök az modulusra nézve, ha redukált maradékrendszert alkotnak modulo .
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy primitív gyök, azaz . Ekkor a T 3.2.2 Tétel (ii) állítása alapján páronként inkongruensek modulo , továbbá számuk és miatt valamennyien relatív prímek -hez. A T 2.2.9 Tétel szerint így valóban redukált maradékrendszert alkotnak mod .
A megfordításhoz tegyük fel, hogy a fenti -hatványok redukált maradékrendszert alkotnak mod . Ekkor , tehát létezik és az Euler–Fermat-tétel szerint . Továbbá
egyike sem lehet kongruens a szintén a megadott redukált maradékrendszerben szereplő 1-gyel, tehát . ∎
A következőkben azt vizsgáljuk meg, milyen modulus esetén létezik primitív gyök. Megjegyezzük, hogy ezt csoportelméleti terminológiával úgy is fogalmazhatjuk, hogy mely esetén lesz a modulo
redukált maradékosztályok multiplikatív csoportja ciklikus.
Először azt igazoljuk, hogy prím modulus esetén mindig létezik primitív gyök:
3.3.3 Tétel . T 3.3.3 3.3.14 feladatban [84]. Mindhárom bizonyítás — értelemszerű módosításokkal — alkalmas az imént említett általánosabb tétel igazolására is.
Első bizonyítás: Ha , akkor (vagy bármely páratlan szám) primitív gyök.
Legyen és összes különböző prímosztója legyen .
tehát a kongruencia megoldásszáma pontosan .
Végezzük el (1)-ben a szorzásokat. Ekkor olyan tagok összegeként áll elő, ahol
illetve . Alkalmazzuk most a T 3.1.3 Tétel első bizonyításában szereplő redukciós eljárást:
írjunk helyére -et, amíg ez csak lehetséges. A keletkezett polinom legfeljebb -edfokú
és minden -re .
Ez azt jelenti, hogy a kongruencia megoldásszáma is pontosan , és így a T 3.1.2 Tétel szerint a polinom modulo vett foka pontosan kell hogy legyen.
Ekkor -ben szükségképpen szerepel -es tag. A redukciós eljárás során ez a tag csak olyan, az -ben előforduló tag(ok)ból keletkezhetett, amely(ek)ben
hiszen a ( -nél nagyobb) kitevőket mindig -gyel csökkentettük.
A (2) és (3) összevetéséből kapjuk, hogy (mondjuk)
A (4) egyenlőséget -rel beszorozva minden tag egész szám lesz, kivéve a jobb oldal első tagját, és így ellentmondásra jutottunk. _
Második bizonyítás: Jelölje az elemek közül azoknak az -knek a számát,
amelyekre . Ekkor nyilván , ha , továbbá
Megmutatjuk, hogy bármely -re
Ha nincs -edrendű elem, akkor (6) fennáll, hiszen .
Feltehetjük tehát, hogy valamely -ra . Ekkor az elemek páronként inkongruensek modulo , és miatt valamennyien gyökei az
kongruenciának.
Mivel ennek a kongruenciának a megoldásszáma nem lehet -nél nagyobb, ezért ha valamely -re teljesül, akkor a az számok valamelyikével kongruens.
Minden -edrendű szám is gyöke az kongruenciának, tehát minden -edrendű szám is valamelyikével kongruens. A 3.2.4b feladat [75] szerint akkor és csak akkor teljesül, ha , ennélfogva az számok között éppen -nek a rendje lesz , azaz . Ezzel (6)-ot beláttuk.
Felhasználva (5)-öt és (6)-ot, továbbá a 2.3.14 feladatban [45] bizonyított egyenlőséget azt kapjuk, hogy
ami nyilván csak úgy teljesülhet, ha minden -re .
Ezzel beláttuk, hogy egy mod redukált maradékrendszerben a -edrendű elemek száma . Ezt speciálisan -re alkalmazva adódik, hogy a primitív gyökök száma (tehát létezik primitív gyök). ∎
Megjegyzés: A második bizonyításban (látszólag) erősebb állítást bizonyítottunk be: a primitív gyök létezésén túlmenően megkaptuk a (páronként inkongruens) primitív gyökök, sőt még általánosabban bármely adott -re a -edrendű elemek számát. Ez a „többleteredmény” azonban könnyen következik a primitív gyök (bármilyen módon igazolt) létezéséből a T 3.3.2 Tétel és a 3.2.4 [75]b, illetve 3.2.4c feladat [75] felhasználásával (lásd a 3.3.9 feladatot [83]).
Az így adódó eredményeket fontosságuk miatt külön tételként is megfogalmazzuk:
3.3.4 Tétel . T 3.3.4
Legyen a modulus egy prímszám.
(i) Egy primitív gyök -edik hatványa akkor és csak akkor primitív gyök, ha . (ii) A páronként inkongruens primitív gyökök száma .
(iii) Általánosan is igaz, hogy ha , akkor egy mod redukált maradékrendszer elemei között a -edrendű elemek száma .
A következő tételben pontosan meghatározzuk, mely modulusokra létezik primitív gyök:
3.3.5 Tétel . T 3.3.5
Az modulusra nézve akkor és csak akkor létezik primitív gyök, ha vagy 4, ahol prím és .
Bizonyítás: Az és esetet a T 3.3.3 Tétel tartalmazza, ha pedig , akkor primitív gyök. A többi esetre a bizonyítást az alábbi lépésekben végezzük.
(L1) Modulo létezik primitív gyök.
(L2) Ha , akkor modulo létezik primitív gyök.
(L3) Modulo létezik primitív gyök ( ).
(N1) Ha osztható 4-gyel és van páratlan prímosztója, vagy ha -nek van (legalább) két különböző páratlan prímosztója, akkor nem létezik primitív gyök modulo .
(N2) Ha , ahol , akkor nem létezik primitív gyök modulo .
(L1) Legyen primitív gyök modulo . Megmutatjuk, hogy és közül legalább az egyik primitív gyök lesz modulo is.
Egyrészt
másrészt a 3.2.13a feladat [76] alapján
A és összefüggéseket beírva azt kapjuk, hogy
Így vagy .
A második esetben (definíció szerint) primitív gyök modulo .
Ha , akkor megmutatjuk, hogy primitív gyök mod .
Az előző gondolatmenetet helyett -re megismételve adódik, hogy értéke is csak vagy lehet. Így elég azt igazolni, hogy . A hatványozást elvégezve kapjuk, hogy
A jobb oldalon az első tag a feltételezésünk szerint 1-gyel kongruens mod , továbbá a harmadiktól kezdve minden tag osztható -tel. Így
(L2) Bebizonyítjuk, hogy ha primitív gyök modulo , akkor primitív gyök modulo is, tetszőleges -re. Az (L1) részben látott gondolatmenethez hasonlóan elég azt megmutatni, hogy
Ezt a következő formában igazoljuk:
A (7) összefüggést szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk.
Az esetben valóban (ez a kis Fermat-tétel), és itt , mert primitív gyök modulo .
Tegyük fel most, hogy (7) teljesül valamely esetén; belátjuk, hogy ekkor ( helyett) -re is fennáll. Emeljük (7)-et -edik hatványra:
Itt a harmadik tag osztható a -nek -edik hatványával, a további tagokban pedig szintén legalább ekkora a kitevője. Ennélfogva
azaz (7) valóban fennáll -re is.
(L3) Legyen primitív gyök modulo . Jelöljük -val a és közül azt, amelyik páratlan;
belátjuk, hogy primitív gyök modulo . Mivel bármely -re , ezért
Ez azt jelenti, hogy
(N1) Megmutatjuk, hogy tetszőleges esetén található olyan , amelyre , és így nem lehet primitív gyök.
A szóban forgó -ek felírhatók alakban, ahol és . Igazolni fogjuk,
hogy megfelel.
Az , feltétel miatt és páros (lásd a 2.3.1 feladatot [44]), tehát . Ebből következik, hogy
Emellett, miatt , és ugyanez érvényes mod is, ezért , azaz (mod ) is teljesül.
(N2) Megmutatjuk, hogy ha , akkor bármely páratlan -ra
Az szerinti teljes indukcióval bizonyítunk. Ha , akkor valóban
Tegyük most fel, hogy (8) igaz valamely -ra; belátjuk, hogy ekkor -re is fennáll. Az
szorzatban az első tényező az indukciós feltevés szerint osztható -val, a második tényező osztható 2-vel, így a szorzat valóban osztható -gyel. ∎
Feladatok
3.3.1 Határozzuk meg az összes primitív gyököt modulo , ha értéke