KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(1)

GAZDASÁGMATEMATIKA

KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten

5. hét VEKTORTEREK Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor

(5)

5. hét Lovics

A lineáris tér fogalma Alterek Generálás és függetlenség

Vázlat

1 A lineáris tér fogalma

2 Alterek

3 Generálás és függetlenség

(6)

5. hét Lovics

Vektortér

Deníció

Legyen T =Rvagy T =Chalmaz, és legyen T elemein értelmezve az összeadás és a szorzás a szokásos módon (T egy úgynevezett számtest). Ekkor a V halmazt vektortérnek nevezzük a T test felett, ha értelmezve van rajta egy összeadás

(V ×V →V ) és egy saklárral valós szorzás (T×V →V ), melyek kielégítik a következ® 8=2·4 axiómát.

(7)

5. hét Lovics

Vektortér (folyt.)

Deníció (Az összeadás axiómái)

A V halmazon értelmezett összeadás m¶velet (+) minden u,v∈V -hez hozzárendel egy V -beli elemet.

1 Az összeadás asszociatív, vagyis bármely u,v,w∈U esetén (u+v) +w=u+ (v+w).

2 Az összeadás kommutatív, vagyis bármely u,v∈U esetén u+v=v+u.

3 Létezik nullelem, vagyis olyan 0∈V , amellyel minden v∈V esetén

0+v=v.

4 Minden elemnek létezik ellentetje, vagyis minden v∈V esetén létezik olyan−v∈V , melykre teljesül, hogy

v+ (−v) =0.

(8)

5. hét Lovics

Vektortér (folyt.)

Deníció (A skalárral való szorzás axiómái)

A T és a V halmaz között értelmezve van egy skalárral való szorzás m¶velet, ami minden λ∈T és v∈V -hez hozzárendel egy V -beli elemet.

1 Bármelyλ, µ∈T és v∈V esetén (λ+µ)v=λv+µv.

2 Bármelyλ∈T és u,v∈V esetén λ(u+v) =λu+λv.

3 Bármelyλ, µ∈T és v∈V esetén (λµ)v=λ(µv).

4 Bármely v∈V -re

1v=v.

(9)

5. hét Lovics

Példák vektortérre

Az általunk vizsgált példákban T =Rlesz, vagyis a valós számok feletti vektortereket fogjuk vizsgálni.

1 Az origóból kiinduló sík-, illetve térvektorok, a szokásos vektorm¶veletekre nézve.

2 AzRⁿ, ha a m¶veleteket a szokásos módon komponensenként értelmezzük.

3 A polinomok a rajtuk végzett szokásos m¶veletekkel.

4 A folytonos függvények halmaza, a szokásos függvénym¶veletekkel.

5 A deriválható függvények a szokásos függvénym¶veletekkel.

6 A sorozatok a velük végzett szokásos m¶veletekkel.

(10)

5. hét Lovics

Feladat

Mutassuk meg, hogy a legfeljebb harmadadfokú polinomok vektorteret alkotnak a valós számok felett, a szokásos m¶veletekkel.

Megoldás

Ahhoz, hogy egy halmazról és a rajta végzett m¶veletekr®l belásuk, hogy vektortér, a korábban látott összes axióma teljesülését le kell ellen®riznünk.

1 Legfeljebb harmadfokú polinomok összege legfeljebb harmadfokú polinom.

2 Legfeljebb harmadfokú polinom számszorosa is legfeljebb harmadfokú polinom.

3 Ha p, q és r legfeljebb harmadfokú polinomok, akkor valóban teljesül, hogy(p+q) +r =p+ (q+r), hiszen ez általában minden függvényre teljesül.

4 Ha p és q legfeljebb harmadfokú polinomok, akkor valóban teljesül, hogy p+q=q+p, hiszen ez általában minden függvényre teljesül.

(11)

5. hét Lovics

Feladat (folyt.)

5 A konstans nulla függvény mint speciális polinom lesz az összeadásra nézve a neutrális elem, hiszen, ha 0 a konstans nulla függvényt jelöli, és p egy tetsz®leges legfeljebb harmadfokú polinom, akkor p+0=p.

6 Minden p legfeljebb harmadfokú polinomra igaz, hogy van egy olyan q legfeljebb harmadfokú polinom, amelyre p+q=0.

7 Haλ, µ∈Rés p legfeljebb harmadfokú polinom, akkor (λ+µ)p=λp+µp, hiszen ez minden függvényre teljesül.

8 Haλ,∈Rés p, q legfeljebb harmadfokú polinomok, akkor λ(p+q) =λp+λq, hiszen ez minden függvényre teljesül.

9 Haλ, µ∈Rés p legfeljebb harmadfokú polinom, akkor λ(µq) = (λµ)q, hiszen ez minden függvényre teljesül.

10 Ha p legeljebb harmadfokú polinom, akkor 1p=p, hiszen ez minden függvényre teljesül.

Láthatjuk, hogy egy ilyen jelleg¶ állításnak a bizonyítása meglehet®sen hosszadalmas, pedig a legtöbb része egyszer¶en következett a függvények tulajdonságából. A következ® nagyon sok tekintetben hasznos fogalom, az ilyan jelleg¶ bizonyításokat is nagymértékben leegyszer¶síti.

(12)

5. hét Lovics

A lineáris altér

Deníció

Legyen V vektortér T felett és W ⊆V . Ekkor W altere V -nek, ha W maga is vektortér T felett, ugyanazokkal a m¶veletekkel, mint V . Triviális altereknek hívjuk a W =V és W ={0} altereket. Jelölés:

W ≤V.

Tétel

Legyen V vektortér a T felett. Ekkor W ⊆V altere V -nek pontosan akkor, ha

u,v∈W ⇒u+v∈W, v∈W, λ∈T ⇒λv∈W.

(13)

5. hét Lovics

A lineáris altér (folyt.)

Példák altérre:

1 A síkon az összes origon átmen® egyenes, a térben az összes origon átmen® sík.

2 Legyen V tetsz®leges vektortér. Ekkor tetsz®leges v∈V esetén aλv alakú vektorok alteret alkotnak.

3 A legfeljebb másodfokú polinomok a polinomok között.

4 A polinomok a deriválható függvények között.

(14)

5. hét Lovics

Feladat

Ellen®rizzük most le, hogy a legfeljebb harmadfokú polinomok vektorteret alkotnak-e!

Megoldás

Mivel a legfeljebb harmadfokú polinomok részhalmaza a

polinomoknak, és mivel utóbbi vektortér, ezért elég azt ellen®rizni, hogy

1 Legfeljebb harmadfokú polinomok összege legfeljebb harmadfokú polinom.

2 Legfeljebb harmadfokú polinom számszorosa is legfeljebb harmadfokú polinom.

(15)

5. hét Lovics

Feladat (folyt.)

Ellen®rizzük le, hogy a harmadfokú polinomok vektorteret alkotnak-e a szokásos függvénym¶veletekkel!

Megoldás

Itt is elegend® a tételben szerepl® két tulajdonságot leellen®rizni, azonban, mivel például x³+ (−x³) =0, és a 0 nem harmadfokú polinom, ezért láthatjuk, hogy ez nem vektortér.

(16)

5. hét Lovics

Generálás

Deníció

Legyen V vektortér a T test felett, legyen v1,v2, . . . ,vn∈V , valamint λ₁, λ₂, . . . , λ_n∈T . Ekkor a

λ₁v1+λ₂v2, . . . , λ_nvn

kifejezést a v1,v2, . . . ,vn vektorokλ₁, λ₂, . . . , λ_n súlyokkal vett lineáris kombinációjának nevezzük.

Deníció

Legyenek adva v1,v2, . . . ,vn∈V vektorok a V vektortérben.

Ekkor a v_i vektorok által generált halmazon a következ® U halmazt értjük:

U ={v∈V|v=λ₁v₁+λ₂v₂, . . . , λ_nv_n λ₁, λ₂. . . , λ_n∈T}.

(17)

5. hét Lovics

Generálás (folyt.)

Könnyen bizonyítható, hogy a denícióban szerepl® U halmaz alteret alkot a V vektortéren, ezért az U-t a v₁,v₂, . . . ,v_n vektorok generált alterének nevezzük.

Jelölés:

U =<v₁,v₂, . . . ,v_n> .

Deníció

Legyenek v₁,v₂, . . . ,v_n∈V vektorok olyanok, amelyekre V =<v₁,v₂, . . . ,v_n>,

ekkor azt mondjuk, hogy a v₁,v₂, . . . ,v_n vektorok generátorrendszert alkotnak.

(18)

5. hét Lovics

Generálás (folyt.)

Generálás esetén mindig csak véges sok vektor lineáris kombinációjáról beszéltünk. Felmerülhet a kérdés, hogy mi történik akkor, ha azt vizsgáljuk, hogy végtelen sok elemet tartalmazó halmaz milyen vektorokat generál. Megtehetjük, de a lineáris kombinációba ilyenkor is tetsz®legesen sok, de csak véges számú vektort vehetünk bele. Végtelen sok vektor lineáris kombinációja esetén még az sem biztosítható ugyanis, hogy az eredmény az eredeti vektortérben legyen.

Például vizsgáljuk a valós együtthatós polinomok halmazát mint vektorteret, és benne az 1,x²,x³, . . . vektorrendszert.

Megmutatható, hogy ezen vektorok végtelen lináris kombinációja lehet például:

e^x =

∞

X

n=0

1 n!xⁿ.

(19)

5. hét Lovics

Feladat

Mutassuk meg, hogy az



 10 0



,



 11 0



,



 11 1



vektorok generátorrendszert alkotnakR³.

Megoldás

Azt kell megmutatni, hogy tetsz®leges



 ab c



vektor el®áll mint a fenti vektorok lináris kombinációja, vagyis, hogy léteznek olyan x, y, z valós számok, melyekre:

x



 10 0



+y



 11 0



+z



 11 1



=



 ba c



.

Ez valójában nem más, mint az

(20)

5. hét Lovics

Feladat (folyt.)

x+y+z =a x+y=b x=c

egyenlet. Ennek pedig biztosan létezik megoldása, mégpedig az x =c, y =b−c, z=a−b−c.

(21)

5. hét Lovics

Lineáris függetlenség

Deníció

Legyen V vektortér T felett. Ekkor azt mondjuk, hogy

v1,v2, . . . ,vn∈V vektorok lineárisan függetlenk, pontosan akkor, ha

λ₁v1+λ₂v2+· · ·+λ_nvn=0⇒λ₁=λ₂=· · ·=λ_n=0.

Deníció

Bázison egy lineárisan független generátorrendszert értünk.

(22)

5. hét Lovics

Lineáris függetlenség (folyt.)

Tétel

Legyen V vektortér. Ekkor a v₁,v₂, . . . ,v_n vektorok bázist alkotnak a vektortérben, akkor és csak akkor, ha tetsz®leges v vektor egyértelm¶en el®áll mint a v₁,v₂, . . . ,v_nvektorok lineáris kombinációja.

Ha egy vektortérnek létezik véges elemszámú bázisa, akkor bármely vektorokból is állítok össze bázist, azok elemszáma mindig megyegyezik.

Deníció

Legyen V egy véges bázissal rendelkez® vektortér. Ekkor a vektortér dimenzióján a vektortér bázisának elemszámát értjük.

Jele:

dim V.

(23)

5. hét Lovics

Lineáris függetlenség (folyt.)

Tétel

Legyen V n-dimenziós vektortér, b1;b2;. . .;bn bázissal. Legyen továbbá v∈V , v6=0. Ekkor a fenti bázisnak biztosan létezik olyan eleme, amelyre teljesül, hogy a bázisból azt kivéve és a helyére v-t írva ismét bázist kapunk.

(24)

5. hét Lovics

Következmények

A tétel egyik hasznos következménye, hogy ha egy

n-dimenziós térben találunk n-db független vektort, akkor az biztosan bázist fog alkotni. Ez azért szerencsés, mert a függetlenség leellen®rzésére sokkal jobb módszereink vannak, mint arra, hogy valami generátorrendszere-e. HiszenRⁿ téren n db vektor függetlenségét szeretnénk leellen®rizni, akkor nem kell mást tennünk, mint az átaluk képzett mátrix

determinánsát vizsgálni.

Amikor azt akarjuk megvizsgálni, hogy n-változós, n

egyenletes lineáris egyenletrendszernek egyértelm¶en létetzik-e megoldása, akkor igazából azt vizsgáljuk, hogy a baloldalon álló vektorok bázist alkotnak-e. Az el®z® pont alapján ehhez elegend® azt megvizsgálni, hogy a vektorok lineárisan függetlenek-e, mert ha igen, akkor tudjuk, hogy a vektorok bázist alkotnak.

(25)

5. hét Lovics

Koordináták

Deníció

Legyen egy vektortéren adott egy b1;b2;. . .;bn bázis. Ekkor minden v∈V vektor egyértelm¶en el®állítható mint

α₁b1+α₂b2+· · ·+α_nbn=v.

Ekkor (α₁;α₂;. . .;α_n)-t a v vektor koordinátáinak hívjuk.

Azt a m¶veletet, amikor egy bázisból egy elemet kivéve egy másikkal helyettesítjük elemi bázistranszformációnak hívjuk. Ha nem csak egy, hanem több elemet is kicserélünk, akkor pedig bázistranszformációnak. Gyakorlati alkalmazásoknál gyakran felmerül az a kérdés, hogy egy bázistranszformáció során hogyan változnak a vektorok koordinátái. Erre a problémára sok lineáris egyenlet és lineáris programozást megoldó algoritmus is épül.