GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén
az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet
és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével
Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor
2010. június
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék
Gazdaságmatematika középhaladó szinten
5. hét
Vektorterek
Lovics Gábor
A lineáris tér fogalma
Vektortér 1. Deníció
Legyen T = R vagy T = C halmaz, és legyen T elemein értelmezve az összeadás és a szorzás a szokásos módon (T egy úgynevezett számtest). Ekkor aV halmazt vektortérnek nevezzük aT test felett, ha értelmezve van rajta egy összeadás (V×V →V) és egy saklárral valós szorzás (T×V →V), melyek kielégítik a következ®
8 = 2·4axiómát.
2. Deníció (Az összeadás axiómái)
AV halmazon értelmezett összeadás m¶velet (+) mindenu,v∈V-hez hozzárendel egy V-beli elemet.
1. Az összeadás asszociatív, vagyis bármelyu,v,w∈U esetén (u+v) +w=u+ (v+w).
2. Az összeadás kommutatív, vagyis bármelyu,v∈U esetén u+v=v+u.
3. Létezik nullelem, vagyis olyan0∈V, amellyel minden v∈V esetén 0+v=v.
4. Minden elemnek létezik ellentetje, vagyis mindenv∈V esetén létezik olyan −v∈V, melykre teljesül, hogy
v+ (−v) =0.
3. Deníció (A skalárral való szorzás axiómái)
AT és aV halmaz között értelmezve van egy skalárral való szorzás m¶velet, ami mindenλ∈T ésv∈V-hez hozzárendel egyV-beli elemet.
1. Bármelyλ, µ∈T ésv∈V esetén
(λ+µ)v=λv+µv.
2. Bármelyλ∈T és u,v∈V esetén
λ(u+v) =λu+λv.
3. Bármelyλ, µ∈T ésv∈V esetén
Példák vektortérre
Az általunk vizsgált példákbanT =Rlesz, vagyis a valós számok feletti vektortereket fogjuk vizsgálni.
1. Az origóból kiinduló sík-, illetve térvektorok, a szokásos vektorm¶veletekre nézve.
2. AzRn, ha a m¶veleteket a szokásos módon komponensenként értelmezzük.
3. A polinomok a rajtuk végzett szokásos m¶veletekkel.
4. A folytonos függvények halmaza, a szokásos függvénym¶veletekkel.
5. A deriválható függvények a szokásos függvénym¶veletekkel.
6. A sorozatok a velük végzett szokásos m¶veletekkel.
Feladat
Mutassuk meg, hogy a legfeljebb harmadadfokú polinomok vektorteret alkotnak a valós számok felett, a szokásos m¶veletekkel.
Megoldás
Ahhoz, hogy egy halmazról és a rajta végzett m¶veletekr®l belásuk, hogy vektortér, a korábban látott összes axióma teljesülését le kell ellen®riznünk.
1. Legfeljebb harmadfokú polinomok összege legfeljebb harmadfokú polinom.
2. Legfeljebb harmadfokú polinom számszorosa is legfeljebb harmadfokú polinom.
3. Hap,qésrlegfeljebb harmadfokú polinomok, akkor valóban teljesül, hogy(p+q) +r=p+ (q+r), hiszen ez általában minden függvényre teljesül.
4. Ha p és q legfeljebb harmadfokú polinomok, akkor valóban teljesül, hogy p+q = q+p, hiszen ez általában minden függvényre teljesül.
5. A konstans nulla függvény mint speciális polinom lesz az összeadásra nézve a neutrális elem, hiszen, ha 0a konstans nulla függvényt jelöli, éspegy tetsz®leges legfeljebb harmadfokú polinom, akkorp+0=p. 6. Mindenplegfeljebb harmadfokú polinomra igaz, hogy van egy olyanqlegfeljebb harmadfokú polinom,
amelyrep+q=0.
7. Haλ, µ∈Résplegfeljebb harmadfokú polinom, akkor(λ+µ)p=λp+µp, hiszen ez minden függvényre teljesül.
8. Ha λ,∈ R és p, q legfeljebb harmadfokú polinomok, akkor λ(p+q) = λp+λq, hiszen ez minden függvényre teljesül.
9. Ha λ, µ∈R ésplegfeljebb harmadfokú polinom, akkor λ(µq) = (λµ)q, hiszen ez minden függvényre teljesül.
10. Haplegeljebb harmadfokú polinom, akkor1p=p, hiszen ez minden függvényre teljesül.
Láthatjuk, hogy egy ilyen jelleg¶ állításnak a bizonyítása meglehet®sen hosszadalmas, pedig a legtöbb része egyszer¶en következett a függvények tulajdonságából. A következ® nagyon sok tekintetben hasznos fogalom, az ilyan jelleg¶ bizonyításokat is nagymértékben leegyszer¶síti.
Alterek
A lineáris altér 4. Deníció
LegyenV vektortérT felett ésW ⊆V. EkkorW altereV-nek, haW maga is vektortérT felett, ugyanazokkal a m¶veletekkel, mintV. Triviális altereknek hívjuk a W =V ésW ={0} altereket. Jelölés:
W ≤V.
1. Tétel
LegyenV vektortér aT felett. Ekkor W ⊆V altereV-nek pontosan akkor, ha u,v∈W ⇒u+v∈W,
v∈W, λ∈T ⇒λv∈W.
Példák altérre:
1. A síkon az összes origon átmen® egyenes, a térben az összes origon átmen® sík.
2. LegyenV tetsz®leges vektortér. Ekkor tetsz®legesv∈V esetén aλvalakú vektorok alteret alkotnak.
3. A legfeljebb másodfokú polinomok a polinomok között.
4. A polinomok a deriválható függvények között.
Feladat
Ellen®rizzük most le, hogy a legfeljebb harmadfokú polinomok vektorteret alkotnak-e!
Megoldás
Mivel a legfeljebb harmadfokú polinomok részhalmaza a polinomoknak, és mivel utóbbi vektortér, ezért elég azt ellen®rizni, hogy
1. Legfeljebb harmadfokú polinomok összege legfeljebb harmadfokú polinom.
2. Legfeljebb harmadfokú polinom számszorosa is legfeljebb harmadfokú polinom.
Ellen®rizzük le, hogy a harmadfokú polinomok vektorteret alkotnak-e a szokásos függvénym¶veletekkel!
Megoldás
Itt is elegend® a tételben szerepl® két tulajdonságot leellen®rizni, azonban, mivel példáulx3+ (−x3) = 0, és a0 nem harmadfokú polinom, ezért láthatjuk, hogy ez nem vektortér.
Generálás és függetlenség
Generálás 5. Deníció
LegyenV vektortér aT test felett, legyenv1,v2, . . . ,vn ∈V, valamintλ1, λ2, . . . , λn∈T. Ekkor a λ1v1+λ2v2, . . . , λnvn
kifejezést a v1,v2, . . . ,vn vektorokλ1, λ2, . . . , λn súlyokkal vett lineáris kombinációjának nevezzük.
6. Deníció
Legyenek adva v1,v2, . . . ,vn ∈V vektorok a V vektortérben. Ekkor avi vektorok által generált halmazon a
Könnyen bizonyítható, hogy a denícióban szerepl® U halmaz alteret alkot aV vektortéren, ezért azU-t a v1,v2, . . . ,vn vektorok generált alterének nevezzük. Jelölés:
U =<v1,v2, . . . ,vn> . 7. Deníció
Legyenekv1,v2, . . . ,vn∈V vektorok olyanok, amelyekre
V =<v1,v2, . . . ,vn>,
ekkor azt mondjuk, hogy av1,v2, . . . ,vn vektorok generátorrendszert alkotnak.
Generálás esetén mindig csak véges sok vektor lineáris kombinációjáról beszéltünk. Felmerülhet a kérdés, hogy mi történik akkor, ha azt vizsgáljuk, hogy végtelen sok elemet tartalmazó halmaz milyen vektorokat generál. Megtehetjük, de a lineáris kombinációba ilyenkor is tetsz®legesen sok, de csak véges számú vektort vehetünk bele. Végtelen sok vektor lineáris kombinációja esetén még az sem biztosítható ugyanis, hogy az eredmény az eredeti vektortérben legyen. Például vizsgáljuk a valós együtthatós polinomok halmazát mint vektorteret, és benne az 1, x2, x3, . . . vektorrendszert. Megmutatható, hogy ezen vektorok végtelen lináris kombinációja lehet például:
ex=
∞
X
n=0
1 n!xn.
Feladat
Mutassuk meg, hogy az
1 0 0
,
1 1 0
,
1 1 1
vektorok generátorrendszert alkotnakR3. Megoldás
Azt kell megmutatni, hogy tetsz®leges
a b c
vektor el®áll mint a fenti vektorok lináris kombinációja, vagyis, hogy léteznek olyanx, y, zvalós számok, melyekre:
x
1 0 0
+y
1 1 0
+z
1 1 1
=
a b c
.
Ez valójában nem más, mint az
x+y+z=a x+y =b x=c
egyenlet. Ennek pedig biztosan létezik megoldása, mégpedig azx=c,y=b−c,z=a−b−c. Lineáris függetlenség
8. Deníció
Legyen V vektortér T felett. Ekkor azt mondjuk, hogy v1,v2, . . . ,vn ∈ V vektorok lineárisan függetlenk, pontosan akkor, ha
λ1v1+λ2v2+· · ·+λnvn=0⇒λ1=λ2=· · ·=λn= 0.
9. Deníció
Bázison egy lineárisan független generátorrendszert értünk.
2. Tétel
Legyen V vektortér. Ekkor a v1,v2, . . . ,vn vektorok bázist alkotnak a vektortérben, akkor és csak akkor, ha tetsz®leges v vektor egyértelm¶en el®áll mint a v1,v2, . . . ,vn vektorok lineáris kombinációja. Ha egy vektortérnek létezik véges elemszámú bázisa, akkor bármely vektorokból is állítok össze bázist, azok elemszáma mindig megyegyezik.
10. Deníció
LegyenV egy véges bázissal rendelkez® vektortér. Ekkor a vektortér dimenzióján a vektortér bázisának elem- számát értjük. Jele:
dim V.
3. Tétel
Legyen V n-dimenziós vektortér, b1;b2;. . .;bn bázissal. Legyen továbbá v ∈ V, v 6= 0. Ekkor a fenti bázisnak biztosan létezik olyan eleme, amelyre teljesül, hogy a bázisból azt kivéve és a helyérev-t írva ismét bázist kapunk.
Következmények
• A tétel egyik hasznos következménye, hogy ha egyn-dimenziós térben találunkn-db független vektort, akkor az biztosan bázist fog alkotni. Ez azért szerencsés, mert a függetlenség leellen®rzésére sokkal jobb módszereink vannak, mint arra, hogy valami generátorrendszere-e. HiszenRn téren ndb vektor függetlenségét szeretnénk leellen®rizni, akkor nem kell mást tennünk, mint az átaluk képzett mátrix determinánsát vizsgálni.
• Amikor azt akarjuk megvizsgálni, hogyn-változós,negyenletes lineáris egyenletrendszernek egyértelm¶en létetzik-e megoldása, akkor igazából azt vizsgáljuk, hogy a baloldalon álló vektorok bázist alkotnak-e.
Az el®z® pont alapján ehhez elegend® azt megvizsgálni, hogy a vektorok lineárisan függetlenek-e, mert ha igen, akkor tudjuk, hogy a vektorok bázist alkotnak.
Koordináták 11. Deníció
Legyen egy vektortéren adott egyb1;b2;. . .;bn bázis. Ekkor mindenv∈V vektor egyértelm¶en el®állítható mint
α1b1+α2b2+· · ·+αnbn =v.
Ekkor(α1;α2;. . .;αn)-t av vektor koordinátáinak hívjuk.
Azt a m¶veletet, amikor egy bázisból egy elemet kivéve egy másikkal helyettesítjük elemi bázistranszformá- ciónak hívjuk. Ha nem csak egy, hanem több elemet is kicserélünk, akkor pedig bázistranszformációnak.
Gyakorlati alkalmazásoknál gyakran felmerül az a kérdés, hogy egy bázistranszformáció során hogyan vál- toznak a vektorok koordinátái. Erre a problémára sok lineáris egyenlet és lineáris programozást megoldó algoritmus is épül.
