KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA

KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten

9. hét

RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Lovics Gábor

Szakmai felel®s: Lovics Gábor

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Vázlat

1 Polinomok és egész számok

2 Parciális törtekre bontás

3 Integrálási szabályok

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Az egész számok és a polinomok halmaza

Az egész számok és a polinomok halmaza között nagyon sok hasonlóság van, abban az értelemben, hogy ugyanolyan m¶veletekre nézve zártak. Két egész szám összege vagy különbsége egész szám, ahogyan a polinomok összege vagy különbsége is polinom. Ugyanígy két egész szám szorzata is egész szám, ahogyan két polinom szorzata is polinom, és ez a három m¶velet rendelkezik a szokásos m¶veleti tulajdonságokkal is. Két egész szám hányadosa azonban már nem feltétlenül lesz egész, ahogy két polinom hányadosa sem lesz minden esetben polinom.

(Azokat a halmazokat, amelyeken ilyen típusú m¶veleteket tudunk végezni, az algebrában gy¶r¶knek nevezzük.) Ezt kihasználva, nagyon sok eredmény egy az egyben átvihet® az egész számok halmazáról a polinomokra. A valós együtthatós polinomok halmazát ezutánR[x]-szel jelöljük, és legyen p∈R[x]p6=0 esetén gr(p)a polinom foka.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A maradékos osztás

Tétel

Legyen a,b∈Z, b6=0. Ekkor egyértelm¶en létezik q,r ∈Z, hogy a=qb+r és|b|>|r|.

Tétel

Legyen p₁,p₂∈R[x], p₂6=0. Ekkor egyértelm¶en léteznek olyan q,r ∈R[x]polinomok, melyekre p₁=p₂q+r és gr(p₁)>gr(r) vagy r =0.

A tétel alapján számos fogalom vihet® át az egész számokról a polinomok halmazára, mint például oszthatóság, prím tulajdonság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös stb.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A maradékos osztás egy speciális esete

Ha egy gy¶r¶n értelmeztük a maradékos osztást, akkor az

oszthatóság fogalmát is értelmezni tudjuk, hiszen azt mondhatjuk, hogy az egyik polinom osztója egy másiknak, ha a maradékos osztás során a maradék 0. Ilyenkor lényegében szorzattá bontottuk az eredeti polinomunkat. Speciálisan ezért megvizsgálható, hogy egy els® fokú polinom osztója-e egy magasabb fokú polinomnak.

Ennek a kérdésnek a vizsgálata nem más mint, a polinom egy gyökének megkeresése.

Tegyük fel ugyanis, hogy egy p(x)polinomnak osztója x−a els®fokú polinom, ahol a egy valós szám. Ekkor tudjuk, hogy p(x) = (x−a)q(x), ahol q(x)egy harmadik polinom. A jobboldalnak nyílván gyöke az a, de akkor a baloldalnak is gyöke kell legyen.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A maradékos osztás a gyakorlatban

Nem csak a tétel mondható ki nagyon hasonlóan a polinomok és az egész számok körében, de a maradékos osztás írásban nagyon hasonlóan végezhet® el mindkét gy¶r¶ben. Ezért most egy konkrét példán felelevenítjük, hogy hogyan is oszthatunk el maradékosan két számot egymással írásban. Osszuk el a 38 625-öt 8-cal.

38625 : 8 =

Balról jobbra haladunk. A 3-at 8-cal osztva 0-t kapunk, ezért az els® szám, amit tényleg vizsgálunk a 38.

38625 : 8 =4 (38−4·8=6) 6

A mardék mellé lemásoljuk a következ® számjegyet, így azt vizsgáljuk, hogy a 26-ban hányszor van meg a 8.

38625 : 8 =48 (66−8·8=2) 662

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.)

Az eljárást tovább folytatva a következ®ket kapjuk:

38625 : 8 =482 (22−2·8=6) 6622

6

38625 : 8 =4828 (65−8·8=1) 6622

651

Az eredmény alapján tehát

38625=8·4828+1.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.)

Most pedig egy másik példán megnézzük, hogyan végezhetjük el nagyon hasonlóan ugyanezt a m¶veletet polinomok között. Nézzük a kövezkez®t:

(x⁵+3x⁴−2x²+x−2) : (x²+x−1) =

Az osztásnál a legnagyobb kitev®j¶ tagokat vesszük gyelembe.

Ebben az esetben az osztandó legnagyobb kitev®s tagja x⁵, az osztójé x². Ezért az eredménypolinom legynagyobb kitv®j¶ tagja x³lesz. Szorozzuk a kapott tagot az osztóval:

x³(x²+x−1) =x⁵+x⁴−x³. Az így kapott polinomot vonjuk ki az osztandóból, vagyis

x⁵+3x⁴+2x²+x−2−(x⁵+x⁴−x³) =2x⁴−x³+2x²+x−2.

Az eljárást ezzel a polinommal kezdjük el®r®l. Az egészet röviden a következ®képpen jelölhetjük.

(x⁵ +3x⁴ −2x²+ x −2) :(x²+x−1) =x³ 2x⁴ −x³−2x²+ x −2

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.)

Ezúttal a 2x⁴-et és az x²-et kell gyelembe venni. Ez alapján az eredménypolinom következ® tagja 2x². Szorozzuk megint vissza az osztandó polinomot, és végezzük el a kivonást is. Így a következ® alakhoz jutunk.

(x⁵ +3x⁴ −2x²+ x −2) :(x²+x−1) =x³+2x² 2x⁴ −x³−2x²+ x −2

−3x³ + x −2

Az eljárást folytatva a következ® alakokhoz jutunk.

(x⁵ +3x⁴ −2x²+ x −2) :(x²+x−1) =x³+2x²−3x 2x⁴ −x³−2x²+ x −2

−3x³ + x −2 3x²−2 x −2

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.)

(x⁵ +3x⁴ −2x²+ x −2) :(x²+x−1) =x³+2x²−3x +3 2x⁴ −x³−2x²+ x −2

−3x³ + x −2 3x²−2 x −2

− x +1 Az eredményünk alapján tehát:

x⁵+3x⁴−3x²+x−2= (x²+x−1)(x³+2x²−3x+3) + (−x+1).

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Racionális törtfüggvények

Legyen p1(x),p2(x)∈R[x]. Ekkor a ^p_p¹₂⁽₍^x_x⁾₎ alakú függvényeket racionális törtfüggvényeknek nevezzük. Célunk meghatározni a racionális törtfüggvények primitív függvényeit. El®ször is feltehet®, hogy gr(p2(x))>gr(p1(x)). Ugyanis, ha ez nem így lenne, akkor a polinomosztást felhasználva tudjuk, hogy

p1(x) =p2(x)q(x) +r(x), ebb®l Z p1(x)

p₂(x) = Z

q(x) + r(x) p₂(x) =

Z

q(x) +

Z r(x) p₂(x). Az utolsó formában a két integrálból az els® egy egyszer¶ polinom integrálása, a második pedig olyan racionális törtfüggvény, ahol a számláló foka alacsonyabb, mint a nevez®jé.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A törtek átalakítása

Tétel

Legyen p2(x)∈R[x]. Ekkor p2(x)felbontható els®- és másodfokú polinomok szorzatára.

Ezek alapján a következ® alakba írható át az integrálandó:

p1(x)

(x−u1)^α1. . .(x−un)^αn(a1x²+b1x+c1)^β1. . .(akx²+bkx+ck)^βk.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

A törtek átalakítása (folyt.)

Tétel

Legyen egy racionális törtfüggvény a fenti formában adott. Ekkor egyértelm¶en léteznek olyan A₁, . . . ,A_m, B₁, . . . ,B_l,

C1, . . . ,Cl ∈Rszámok (m=α₁+α₂+. . . α_n,

l=β₁+β₂+. . . β_k), melyre a fenti alakban adott racionális törtfüggvény a következ® alakba írható:

A1

(x−u1)+ A2

(x−u1)² +· · ·+ Aα₁

(x−u1)^α1 +· · ·+ Am

(x−un)^αn+ + B₁x+C₁

(a₁x²+b₁x+c₁)+ B₂x+C₂

(a₁x²+b₁x+c₁)² +. . . + Bβ₁x+Cβ₁

(a1x²+b1x+c1)^β1 +· · ·+ B_lx+C_l (akx²+bkx+ck)^βk.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Parciális törtekre bontás a gyakorlatban

A következ® példán bemutatjuk, hogy a gyakorlatban hogyan végezhet® el a parciális törtekre bontás. El®ször azokat az A,B,C számokat keressük, melyekre teljesül, hogy

x²+x−1

(x−1)(x+2)² = A

x−1+ B

x+2+ C (x+2)². Az összefüggés jobb oldalát közös nevez®re hozva kapjuk, hogy

A(x+2)²+B(x−1)(x+2) +C(x−1) (x−1)(x+2)² . Láthatjuk, hogy az ebben a formában felírt törtnek a nevez®je azonos az eredetivel. Ezért a továbbiakban elegend® a számlálóval foglalkoznunk. A számlálóban felbontva a zárójeleket, majd a megfelel® tagokat kiemelve kapjuk, hogy

(A+B)x²+ (4A+B+C)x+4A−2B−C.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Parciális törtekre bontás a gyakorlatban (folyt.)

Ezt az eredményt az eredeti tört számlálójával összevetve kapjuk, hogy

A+B=1 4A+B+C=1 4A−2B−C=−1.

Ha a második két egyenletet összeadjuk, akkor azt kapjuk, hogy 8A−B =0

8A=B. Ezt az els® egyenletbe visszahelyettesítve

A+8A=1 A= 1 9.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Parciális törtekre bontás a gyakorlatban (folyt.)

Amib®l visszahelyettesítéssel kapjuk, hogy B= 8

9 C =−1 3. Összegezve tehát azt kaptuk, hogy

x²+x−1

(x−1)(x+2)² = 1

9(x−1)+ 8

9(x+2)− −1 3(x+2)².

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Parciális törtekre bontás a gyakorlatban (folyt.)

Most keressük azokat az A,B,C számokat, melyekre az teljesül,

hogy x²+x−1

(x−1)(x²+2) = A

x−1+Bx+C x²+2 . Hasonlóan az el®zöekhez el®ször közös nevez®re hozzuk:

A(x²+2) + (Bx+C)(x−1) (x−1)(x²+2) ,

majd a nevez®ben felbontjuk a zárójeleket, és kiemeljük a megfelel® tagokat:

(A+B)x²+ (C−B)x+2A−C. Az eredeti tört nevez®jével ezt összevetve kapjuk, hogy

A+B =1 C−B =1 2A−C =−1.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Parciális törtekre bontás a gyakorlatban (folyt.)

Az els® két egyenletet összedva kapjuk, hogy A+C =2.

Ehhez a harmadik egyenletet hozzáadva adódik, hogy 3A=1

A=1 3. Ezek után visszahelyettesítéssel kapjuk, hogy

B= 2

3 C =−5 3. Összegezve tehát azt kaptuk, hogy

x²+x−1

(x−1)(x²+2)= 1

3(x−1)+ 2x+5 3(x²+2).

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Integrálás

A parciális törtekre bontás során tehát a következ® alakú racionális törtfüggvényekhez juthatunk:

C x−a

C (x−a)^k

Cx+D ax²+bx+c

Cx+D (ax²+bx+c)^k,

ahol C,D,a,b,c tetsz®leges valós, k pedig egynél nagyobb egész szám.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Integrálás (folyt.)

Az ilyen alakú függvények integrálásához a követekez®kre van szükségünk:

Z dx

x−a =ln|x−a|+c Z dx

(x−a)^k = 1

−k+1 1

(x−a)^k−1 +c Z Ax+B

x²+ax+bdx= Z A

2(2x+a) +B−^Aa₂ x²+ax+b =

= Z A

2

2x +a x²+ax+b +

Z C

x²+ax+b =

= Z A

2

2x +a x²+ax+b +

Z C

x+^a₂2

+b−^a₄²

=

=ln(x²+ax+b) + 1 Darctg

2x+a 2D

+c, ahol C =B−^Aa₂ ; D=

qb−^a₄².

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Integrálás (folyt.)

Az utolsó integráltípus meghatározásához egy kicsit általánosabb tételt kell alkalmaznunk.

Tétel

Legyen r(x) =x²+ax+b és g(x)∈R[x]. Ekkor Z g(x)

r^m(x)dx= A(x) r^m−1(x)+

Z B(x) r(x),

ahol A(x)egy(2m−3)-ad fokú, B(x)pedig els®fokú polinom.

Az A(x)és B(x)meghatározásához írjuk fel a polinomokat ismeretlen együtthatókkal, majd deriváljuk a tételben felírt egyenletet.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Feladat

Határozzuk meg a következ® integrált Z x³+x²+3x−2

(x²+2)² ! Megoldás

A feladat megoldható lenne a parciális törtekre bontással is, azonban most alkalmazzuk a fenti tételt. Mivel ebben a példában m=2, ezért 1=2m−3=m−1, vagyis az A(x)els® fokú polinom, és az integrálon kívüli tag nevez®je is els®fokon szerepel.

Ez alapján a tétel a következ® formában írható fel Z x³+x²+3x−2

(x²+2)² dx=Ax+B x²+2 +

Z Cx+D x²+2 dx. Deriváljuk az összefüggés mindkét oldalát:

x³+x²+3x −2

(x²+2)² =A(x²+2)−(Ax+B)2x

(x²+2)² +Cx+D x²+2 .

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Feladat (folyt.)

A jobboldalt hozzuk közös nevez®re

A(x²+2)−(Ax+B)2x + (Cx+D)(x²+2) (x²+2)² ,

majd bontsuk fel a számlálóban szerepl® zárójeleket és emeljük ki a megfelel® tagokat:

Cx³+ (D−A)x²+ (2C−2B)x+2A+2D. Ezt az eredeti tört számlálójával összeveteve kapjuk, hogy

C=1 D−A=1 2C−2B =3 2A+2D=−2.

Az els® egyenletet a harmadikba helyettesítve kapjuk, hogy B=−1

2.

9. hét Lovics

Polinomok és egész számok Parciális törtekre bontás Integrálási szabályok

Feladat (folyt.)

A második és a negyedik egyenletekb®l pedig adódik, hogy A=−1, D=0.

Összegezve tehát azt kaptuk, hogy Z x³+x²+3x−2

(x²+2)² =−x−¹₂ x²+2 +

Z x

x²+2dx=

=−x−¹₂ x²+2 +1

2ln(x²+2) +c.