KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(1)

GAZDASÁGMATEMATIKA

KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten

3. hét TRIGONOMETRIA Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor

(5)

3. hét Lovics

Szögek Trigonometrikus függvények Polárkoordinátás alak

Vázlat

1 Szögek

2 Trigonometrikus függvények

3 Polárkoordinátás alak

(6)

3. hét Lovics

A szögek értelmezése

Deníció

A sík egy pontjából (szög csúcsa) induló két félegyenest (szárak) szögnek hívunk. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkszeletet (szögtartomány), illetve a félegyeneseket is (szögvonal).

Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikr®l van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük.

Amennyiben a szög forgást jelöl, forgásszögekr®l beszélünk. Ebben az esetben értelmes el®jeles szögr®l beszélni, a pozitív el®jel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.

(7)

3. hét Lovics

Mértékegységek

Aθ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r.

Ekkor a szög radiánban való mértékét az ^s_r hányados mutatja meg.

A teljes kör mértéke 2π. A radián szög mértékegysége a rad, amit általában nem írunk ki.

A szög fokokban való méréséhez a radián szögünket ¹⁸⁰_π -vel kell szoroznunk. Így a teljes kör mértéke 360^◦ lesz.

(8)

3. hét Lovics

Deníciók

Deníció

Vegyük egy koordináta-rendszerben az(1,0)vektort, és forgassuk elαszöggel. Az így kapott vektor els® koordinátáját nevezzük cosα-nak, a második koordinátáját pedig sinα-nak.

Legyenαolyan, melyre teljesül, hogy cosα6=0. Ekkor:

tanα=tgα= sinα cosα.

Legyenαolyan, melyre teljesül, hogy sinα6=0. Ekkor:

cotα=ctgα= cosα sinα.

(9)

3. hét Lovics

Hegyes szögek szögfüggvényei

Legyen adott egy derékszög¶ háromszög, melyben az egyik befogó és az átfogó által bezárt szögα. Azα-val szemközti oldal legyen a, a másik befogó b, az átfogó pedig c. Ekkor a következ®

összefüggések teljesülnek:

sinα= a c cosα=b c tgα= a b ctgα=b a.

(10)

3. hét Lovics

Nevezetes szögek szögfüggvényei

α sin cos tg ctg

0^◦ 0 1 0 -

30^◦ ¹₂ ^√₂³ ^√₃³ √

3

45^◦ ^√₂² ^√₂² 1 1

60^◦ ^√₂³ ¹₂ √

3 ^√₃³

90^◦ 1 0 - 0

(11)

3. hét Lovics

Példa trigonometrikus összefüggések alkalmazására

Mekkorák annak az egyenl®szárú háromszögnek az oldalai,

melynek az alapja 30,4 cm-rel hosszabb a száraknál, és amelyiknek az alapon fekv® szögei 29,4^◦-ak?

Megoldás

(12)

3. hét Lovics

Példa trigonometrikus összefüggések alkalmazására (folyt.)

A feladat felrajzolásakor érdemes berajzolni az alaphoz tartozó magasságot. Ekkor ez a magasság, az eredeti háromszög egyik szára (b)és az alapjának a fele ₂^aegy derékszög¶ háromszöget alkot. Err®l a háromszögr®l a feladat szövege és az ábra alapján tudható, hogy

a−b=30,4 cos29,4^◦= a

2b.

Meghatározva a 29,4^◦ koszinuszát a második egyenletb®l kapjuk, hogy

0,87= a 2b a=1,74b.

(13)

3. hét Lovics

Példa trigonometrikus összefüggések alkalmazására (folyt.)

Ezt az els® egyenletbe visszahelyettesítve kapjuk, hogy 1,74b−b=0,74b=30,4

b=41. Ebb®l kapjuk hogy

a=41+30,4=71,4.

(14)

3. hét Lovics

Trigonometrikus függvények grakonjai

sinx

cos x

(15)

3. hét Lovics

Trigonometrikus függvények grakonjai (folyt.)

tgx

ctgx

(16)

3. hét Lovics

Trigonometrikus függvények inverze

Emlékezzünk vissza, hogy az f(x) =x² függvénynek sem volt inverze a valós számok halmazán. Viszont, ha az értelmezési tartományát megszorítjuk a nemnegatív számok halmazára, akkor már invertálható függvényt kapunk, amelynek így az értékkészlete lett a nemnegatív számok halmaza. A trigonometrikus függvények inverze is hasonló trükkel értelmezhet®.

Mivel periódikus függvényekr®l van szó, ezért el®ször is azt kell eldöntenünk, hogy melyik periódusra szorítjuk meg az értelmezési tartományt. Mivel a szinusz és a koszinusz függvények egy perióduson belül sem kölcsönösen egyértelm¶ hozzárendelések, ezért a perióduson belül is meg kell szorítsuk a függvényt.

(17)

3. hét Lovics

Trigonometrikus függvények inverze (folyt.)

A szinusz függvényt a

−^π₂;^π₂intervallumra megszorítva kapunk invertálható függvényt. Az így kapott függvényt árkusz szinusz függvénynek hívjuk, jele: arcsin x, értelmezési tartománya a [−1;1], értékészlete pedig a

−^π₂;^π₂.

Ha a függvényt a_π

2;³₂^π

intervallumra szorítjuk meg, és úgy invertáljuk, akkor−arcsin x függvényhez jutunk.

(18)

3. hét Lovics

Trigonometrikus függvények inverze (folyt.)

A koszinusz függvényt a[0;π] intervallumra megszorítva kapunk invertálható függvényt. Az így kapott függvényt árkusz koszinusz függvénynek hívjuk, jele: arccos x, értelmezési tartománya a [−1;1], értékkészlete pedig a[0;π].

(19)

3. hét Lovics

Trigonometrikus függvények inverze (folyt.)

A tangens függvényt a −^π₂;^π₂

intervallumra megszorítva kapunk invertálható függvényt. Az így kapott függvényt árkusz tangens függvénynek hívjuk, jele: arctgx, értelmezési tartománya a (−∞;∞), értékkészlete pedig a

−^π₂;^π₂.

(20)

3. hét Lovics

Trigonometrikus függvények inverze (folyt.)

A kotangens függvényt a(0;π)intervallumra megszorítva kapunk invertálható függvényt. Az így kapott függvényt árkusz kotangens függvénynek hívjuk, jele: arcctgx, értelmezési tartománya a (−∞;∞), értékkészlete pedig a[0;π].

(21)

3. hét Lovics

Deriválási szabályok

sin⁰x =cos x x ∈R cos⁰x =−sin x x ∈R

tg⁰x = 1

cos²x kπ+π

2 6=x∈R k ∈Z ctg⁰x =− 1

sin²x kπ6=x∈R k ∈Z arcsin⁰x =√ 1

1−x² x ∈[−1;1] arccos⁰x =−√ 1

1−x² x∈[−1;1] arctg⁰x = 1

1+x² x∈R arcctg⁰x =− 1

1+x² x ∈R

(22)

3. hét Lovics

Vektorok polárkoordinátás alakja

Legyen adva egy(x1;x2)∈R² vektor. Ez a vektor kölcsönösen egyértelm¶en megfeleltethet® egy (r;φ)∈R⊕×[0;2π]

úgynevezett polárkoordinátákkal adott vektornak. A megfeleltetést a következ® szabályok írják le.

Ha(x1;x2)-t ismerem, akkor r =

qx₁²+x₂², φ=arccos x1

px₁²+x₂², φ=arcsin x2

px₁²+x₂²,

ahol a második két egyenletre azért van szükség, mert a [0,2π]

intervallumban a két egyenlet együttesen hatátozza megφ-t.

Visszafelé, ha(r, φ)ismert, akkor x1=r cosφ, x₂=r sinφ.

(23)

3. hét Lovics

Polárkoordináták kiszámítása a gyakorlatban

Határozzuk meg a(2,3)vektor polárkoordínátás alakját!

Ehhez el®ször is ki kell számoljuk a vektor hosszát r =p

2²+3²=√ 13.

Ezután határozzuk meg a vektorhoz tartozó hajlásszöget. Ezt a gyakorlatban kicsit máshogy érdemes kiszámolni, mint ahogy azt a fenti képlet mutatja. Használjuk, ki hogy

tgφ= 3 2.

Ekkor φ=56,31^◦ vagyφ=263,31^◦. Mivel a szög nyilván az els®

síknegyedben van, ezértφ=56,31^◦.