KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(1)

GAZDASÁGMATEMATIKA

KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten

6. hét

LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor

(5)

6. hét Lovics

Függvényekkel kapcsolatos fogalmak Lineáris leképezések fogalma

Vázlat

1 Függvényekkel kapcsolatos fogalmak

2 Lineáris leképezések fogalma

(6)

6. hét Lovics

Függvények

Korábban mindenki találkozottR→Rvalós fügvényekkel. Ezeket az egyértelm¶ hozzárendeléseket, leképezéseket azonban nem csak valós számok között érdemes használni. El®fordulnak többváltozós függvények, melyeket vektorváltozós függvényeknek is tekinthetünk (Rⁿ→R). A leképezések fogalmát ennél általánosabban is érdemes használnunk. Gondoljunk például a deriválásra, amely olyan egyértelm¶ hozzárendelés, ami függvényekhez rendel függvényeket. Vagy mondjuk rajzoljunk egy tengelyt a síkra, és tükrözzük rá a vektorokat, akkor egy olyan egyértelm¶

hozzárendelést kapunk, ami vektorokhoz rendel vektorokat. Egyes függvények speciális tulajdonságokkal is rendelkeznek.

El®ször a függvényekkel kapcsolatban néhány általános fogalmat tisztázunk. Egy függvényt akkor deniáltunk, ha megadtuk az értelmezési tartományát, és a hozzárendelési szabályt. Ezért, amikor azt mondjuk, hogy adva van két halmaz A és B és f : A→B függvény, akkor A-t a fügvény értelmezési

tartományának tekintjük. A B halmaz azonban nem feltétlenül a függvény értékészlete, mert el®fordulhat, hogy B-nek van olyan eleme, ami nem elme a függvény értékkészletének.

(7)

6. hét Lovics

Függvények (folyt.)

Deníció

Legyen A, B két tetsz®leges halmaz. Ekkor azt mondjuk, hogy f : A→B injektív leképezés, ha a₁,a₂∈A, a₁6=a₂esetén f(a₁)6=f(a₂).

Deníció

Legyen A, B két tetsz®leges halmaz. Ekkor azt mondjuk, hogy f : A→B szürjektív leképezés, ha f értékkészlete B.

Deníció

Legyen A, B két tetsz®leges halmaz. Ekkor azt mondjuk, hogy f : A→B bijektív leképezés, ha injektív és szürjektív.

(8)

6. hét Lovics

Bijekcióról szemléltetés

Ha két halmaz között találtunk egy bijekciót, az lényegében azt jelenti, hogy a két halmaz elemeit össze tudtuk párosítani.

Látni fogjuk, hogy ha két halmaz között létezik bijekció, az azt jelenti, hogy a két halmaz lényegében ugyanúgy viselkedik.

Azt is megmutatjuk, hogy az, hogy egy függvény bijekció-e, nem csak az f hozzárendelési szabálytól függ, hanem attól is, hogyan választjuk meg az A és B halmazt.

(9)

6. hét Lovics

Bijekcióról szemléltetés (folyt.)

Ha ismerjük egy valós függvény grakonját, akkor arról úgy tudjuk megállapítani, hogy bijektív-e, ha vízszintes vonalakat húzunk a B halmaz elemei mentén. Ha azt tapasztaljuk, hogy az egyenes két helyen is elmetszi a függvényt, akkor ez azt jelenti, hogy a függvény nem injektív. Ha nem metszi el sehol, akkor a függvény nem szürjektív. Ha bárhol is húzom be az egyenest, és az mindenhol pontosan egy helyen metszi el a függvényt, akkor beszélhetünk bijekcióról.

Vegyük például az f(x) =x², R→Rfüggvényt. Ez nem is injektív és nem is bijektív függvény. A nemnegatív számok között azonban már bijekció.

(10)

6. hét Lovics

Bijekcióról szemléltetés (folyt.)

(11)

6. hét Lovics

Lineáris leképezés

Deníció

Legyen T felett V és U vektortér, ésφ:V →U leképezés közöttük. Aφhozzárendelést (homogén) lineáris leképezésnek nevezzük, ha tetsz®leges v₁,v₂∈V ésλ∈T esetén

φ(v₁+v₂) =φ(v₁) +φ(v₂) φ(λv1) =λφ(v2).

(12)

6. hét Lovics

Lineáris leképezések tulajdonságai

Tétel

Legyen T felett V és U vektortér és φ:V →U lineáris leképezés.

Jelölje 0_V a V , 0_U az U tér nullelemét, és legyen v₁,v₂, . . . ,v_n∈V ésλ₁, λ₂, . . . , λ_n∈T .

Ekkor

φ(0_V) =0_U φ(−v₁) =−φ(v₁)

φ(λ₁v1+λ₂v2+· · ·+λ_nvn) =λ₁φ(v1) +λ₂φ(v2) +· · ·+λ_nφ(vn)

(13)

6. hét Lovics

Példák lineáris leképezésre

1 Legyen A∈R^m^×ⁿ mátrix. Ekkor aφ(x) =Ax mintR^m→Rⁿ leképezés lineáris.

2 A sík vektorai között egy origón átmen® egyenesre való tükrözés, az origó körüli forgatás és az x tengelyre való levetítés mind lineáris leképezések.

3 Az f(x)→f⁰(x)hozzárendelés a folytonosan deriválható függvények terében.

4 Az an→an−an−1hozzárendelés lineáris a sorozatok között.

5 Legyen s=an sorozat, ekkor a rajtuk értelmezett φ(s) =a_n−1 leképezés lineáris.

6 Legyen V az[a,b]intervallumon integrálható függvények halmaza, U pedigR, ekkor a

φ(f) = Z b

a

|f|^p

!¹_p

leképezés lináris.

(14)

6. hét Lovics

Feladat

Állapítsuk meg a következ® függvényekr®l, hogy lineárisak-e.

1 Legyenφ: R²→R²leképezés a következ®:

φ x

y

= y

x

.

2 Legyenψ: R²→R² leképezés a következ®:

ψ x

y

=

x+1 y

. Megoldás

1 Ahhoz, hogy egy leképezésr®l azt bizonyítsuk, hogy lineáris-e, a denícióban szerepl® két tulajdonságot kell leellen®riznünk.

φ

λ x

y

=φ λx

λy

= λy

λx

=λφ x

y

φ x₁

y₁

+ x₂

y₂

=φ

x₁+x₂ y₁+y₂

=

y₁+y₂ x₁+x₂

=

=φ x₁

y₁

+φ x₂

y₂

(15)

6. hét Lovics

Feladat (folyt.)

2 Ahhoz, hogy egy leképezésr®l megmutassuk, hogy nem lineáris, gyakran elegend® a lineáris leképezés tulajdonságait felhasználni. Haψ lineáris leképezés lenne, akkor nullvektor képe nullvektor lenne. Azonban

ψ 0

0

= 1

0

.

(16)

6. hét Lovics

Képtér és magtér

Deníció

Legyen V és U vektorterek T felett ésφV →U lineáris leképezés.

Ekkor a függvény képterén

Imφ={u∈U|∃v∈V, φ(v) =u} halmazt értjük. A függvény magterén pedig

Kerφ={v∈V|φ(v) =0_U} halmazt értjük.

Tétel

Legyen V és U vektorterek T felett és φV →U lineáris

leképezés. Ekkor Kerφaltere V -nek és Imφaltere U-nak. Ha még az is teljesül, hogy U és V véges dimenziós vektorterek, akkor

dim(Kerφ) +dim(Imφ) =dimV.

(17)

6. hét Lovics

Feladat

Legyen A=

1 1 −1 1 −1 1

mátrix, és vizsgájuk meg az Ax: R³→R² lineáris leképezést. Mi ennek a leképezésnek a magtere? Mit tudunk ez alapján mondani az Ax=b egyenlet megoldhatóságáról?

Megoldás

A magtér vizsgálathoz az Ax=0 egyenlet vizsgálata szükséges.

Ez a következ® alakban írható fel:

x₁+x₂−x₃=0 x1−x2+x3=0.

Ha a két egyenletet összeadjuk, azt kapjuk, hogy x1=0. A két egyenletbe ezt visszahelyetesítve azt kapjuk, hogy x2=x3kell legyen. Vagyis az egyenletrendszert megoldó minden vektor el®áll



 0x x



alakban, ahol x tetsz®leges valós szám.

(18)

6. hét Lovics

Feladat (folyt.)

Az ilyen alakú vektorok egydimeziós vektorteret alkotnak, mert a



 01 1



vektor nyilván generálja az összes ilyen vektort.

Ez alapján|Im(φ)|=2 kell legyen. Ez azt jelenti, hogy a függvény képtere a teljesR², tehát az Ax=b egyenletnek mindig lesz megoldása. Eredményeink alapján ez a leképezés tehát szürjektív, de nem injektív.

(19)

6. hét Lovics

Izomorzmus

Deníció

Legyen V és U vektorterek T felett,φ:V →U lineáris leképezés közöttük. Ekkorφ-t izomorzmusnak nevezzük, ha egyben bijektív is. (Vagyis, ha kölcsönösen egyértelm¶ és∀u∈U-ra létezik v∈V , hogyφ(v) =u.) Ha két vektortér között létezik izomorf leképezés, akkor a két teret izomorfnak hívjuk, és

U ∼=V −vel jelöljük.

Tétel

Legyen V és U két végesdimenziós vektortér T felett. Ekkor U ∼=V ⇔dim(U) =dim(V).

A tétel következménye, hogy minden n-dimenziós vektortér izomorfRⁿ-nel.

(20)

6. hét Lovics

Leképezés jellemzése

Tétel

Legyen V és U véges dimenziós vektorterek T felett. Alkossanak továbbá a b₁,b₂, . . . ,b_n vekotorok bázist V -ben, és legyen c₁,c₂, . . . ,c_n tetsz®leges eleme U-nak. Ekkor pontosan egy olyan φlineáris leképezés létezik, amelyre teljesül, hogy

φ(bi) =ci i=1,2, . . . ,n.

Legyen például V =R²a szokásos bázissal, és U=R³. Kérdés, hogyan keressük meg azt a leképezést, amelyre teljesül, hogy

1 0

→



 52

−1



; 0

1

→



 1

−7 8



.

Nem nehéz belátni, hogy a





5 1

2 −7

−1 8





mátrix éppen ezt a leképezést deniálja.

(21)

6. hét Lovics

Lineáris leképezések tere

Legyen V n-dimenziós, U m-dimenziós vektortér T felett, továbbá legyenφV →U ésψV →U lineáris leképezések ésλ∈T . Ekkor a szokásos függvénym¶veletekkel értelmezhet®ekφ+ψ,λφ, melyek eredménye újabb lineáris leképezés V és U között. Mivel ezek a m¶veletek ráadásul rendelkeznek a szokásos azonoságokkal, ezért ezek maguk is vektorteret alkotnak. Megmutatható, hogy az ilyen lineáris leképezések n·m dimenziós vektorteret alkotnak.

Ezek a terek ugyanúgy izomorfakR^n×m-es mátrixokkal, mint ahogyan az n-dimenziós vektorterek izomorfakRⁿ-nel. A függvények invertálhatósága ekkor éppen a mátrixok

invertálhatóságát jelenti, az összetett függvények pedig éppen a mátrixok szorzatát.