KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(1)

GAZDASÁGMATEMATIKA

KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten

8. hét ANALÍZIS Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor

(5)

8. hét Lovics

Halmazok Alapfogalmak Az inmum és a szuprémum Sorozatok Deriválás és integrálás

Vázlat

1 Halmazok Alapfogalmak

Az inmum és a szuprémum

2 Sorozatok

3 Deriválás és integrálás

(6)

8. hét Lovics

Nevezetes halmazok

Természetes számok halmaza: N.

Természetes számok halmaza nullával kiegészülve: N0. Egész számok halmaza: Z.

Racionális számok halmaza: Q.

Valós számok halmaza: R.

Pozitív, negatív valós számok halmaza: R+,R−.

Nem negatív, illetve nem pozitív valós számok halmaza: R⊕, R .

Üres halmaz: ∅.

(7)

8. hét Lovics

Jelölések

Eleme: ∈. Például: 3∈Z.

Nem eleme: ∈/. Például: π /∈Q.

Valódi része, valódi részhalmaza: ⊂vagy(. Része, részhalmaza:⊆.

Például: Z⊆R.

Létezik: ∃. Tagadása: nem létezik,@; vagy mindegyikre hamis.

Állítás: Létezik lila fa.

Tagadás: Nem létezik lila fa.

Tagadás: Mindegyik fára igaz, hogy nem lila.

Minden: ∀. Tagadása: létezik, hogy nem igaz.

Állítás: Minden fa zöld.

Tagadás: Létezik olyan fa, amelyik nem zöld.

Rossz tagadás: Nem létezik zöld fa.

(8)

8. hét Lovics

Halmazok formális deníciói

Halmazokat{ }zárójelekkel adunk meg, és általában nagybet¶vel jelöljük.

Elemek felsorolásával: S ={6;22;47}. Legtöbbször a következ® formát használjuk:

S ={általános elem: deniáló tulajdonságok}.

Például páros számok halmaza: P={n:n=2k, k∈Z}.

Irracionális számok halmaza: Q^∗={x :x∈R, x ∈/Q}. Egy origó középpontú, 5 egység sugarú körön lév® pontok halmaza: K={(x,y) :x²+y²=25}.

Intervallumok megadása. Legyenek a,b∈R, a<b. Ekkor (a,b) ={x:x∈R, a<x<b},

[a,b) ={x :x ∈R, a≤x<b}, (a,b] ={x :x ∈R, a<x≤b}, [a,b] ={x:x∈R, a≤x ≤b}.

(9)

8. hét Lovics

Alsó és fels® határ

Deníció

Egészítsük ki a valós számok halmazát a minusz és plusz végtelennel. Az így kapott halmazt nevezzük kib®vített valós számok halmazának.

R¯ =R∪ {−∞; +∞}

Deníció

Legyen H⊆Rtetsz®leges halmaz. A H halmazt felülr®l

korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan f ∈R, amire teljesül, hogy h≤f , minden h∈H-ra. Az ilyen tulajdonággal bíró f ∈R¯ értéket a H halmaz fels® korlátjának nevezzük.

Hasonlóan a H halmazt alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan a∈R, hogy a≤h, minden h∈H-ra. Az ilyen tulajdonággal bíró a∈R¯ értéket a H halmaz alsó korlátjának nevezzük. A H halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülr®l is korlátos.

(10)

8. hét Lovics

Alsó és fels® határ (folyt.)

A valós számokon deniált részhalmazakról általában nem mondható el, hogy létezik legnagyobb, illetve legkisebb elemük. A következ® egyszer¶ állítás mégis igaz.

Tétel

Legyen H⊆Rtetsz®leges halmaz, és jelölje A⊆R¯ a H halmaz alsó korlátainak halmazát, F ⊆R¯ pedig a fels® korlátainak halmazát. Ekkor az A halmaznak létezik legnagyobb, az F halmaznak pedig létezik legkisebb eleme.

A tétel alapján pedig értelmes a következ® deníció.

Deníció

Legyen H⊆Rtetsz®leges halmaz, és jel®lje megint A az alsó, F pedig a fels® korlátok halmazát. Ekkor a H halmaz alsó határán vagy inmumán az A halmaz legnagyobb elemét értjük. Jele:

inf H.

A H halmaz fels® határán vagy szuprémumán pedig az F halmaz legkisebb elemét értjük. Jele sup H.

(11)

8. hét Lovics

Példák inmumra és szuprémumra

Legyen H⊆Rnemüres, korlátos halmaz. Ha a halmaz korlátos, akkor mind a szuprémuma mind az inmuma valós szám. Ha a halmaz nem üres, és felür®l nem korlátos, akkor a szuprémuma∞. Hasonlóan, ha nem üres, és aluról nem korlátos, akkor az

inmuma−∞. Els® ránézésre logikusnak látszik, hogy egy halmaz szuprémuma sosem kisebb, mint az inmuma. Azonban gondoljuk végig mit mond a deníció, ha a halmaz üres. Az üres halmaz esetén minden számra teljesül, hogy nagyobb vagy egyenl®, mint a halmaz összes eleme, vagyis az üres halmaznak minden szám fels®

korlátja. A fels® korlátok közül a legkisebb pedig a −∞lesz.

Vagyis az üres halmaz szuprémuma−∞. Hasonlóan az is teljesül minden valós számra, hogy kisebb vagy egyenl®, mint a halmazban lév® elemek. Így a az üres halamaz inmuma∞.

(12)

8. hét Lovics

Példák inmumra és szuprémumra (folyt.)

Ezt a speciális esetet leszámítva az inmum és a szuprémum valójában nem más, mint a halmaz minimumának és maximumának általánosítása, utóbbiak ugyanis nem mindig léteznek. Vizsgáljuk meg, a korlátos intervallum esetét. Legyen A= (a,b]. Ekkor a halmaznak maximuma b, minimuma viszont nem létezik. Az a nem a halmaz minimuma, mert az a nem eleme a halmaznak. Ezzel szemben az a inmuma az A halmaznak.

(13)

8. hét Lovics

Részsorozat

Deníció

Legyen(a_n)egy valós sorozat. Ekkor a(b_n)-t az(a_n)

részsorozatának tekintjük, ha létezik olyan f :N→Nszigorúan monoton növ® függvény, melyre

b_n=a_f(n).

Legyen például an= ¹_n, ekkor a bn =_2n¹ az an részsorozata, az f(n) =2n választással. Hasonlóan részsorozat a cn=_n¹₂, az f(n) =n²választással.

Tétel

Legyen(a_n)olyan valós sorozat, melyre lim_n→∞a_n=a, ahol a∈R. Tegyük fel továbbá, hogy¯ (b_n)részsorozata(a_n)-nek.

Ekkor lim_n→∞b_n=a.

(14)

8. hét Lovics

Alkalmazás

Ismeretes, hogy az Euler-féle e szám nem más, mint az 1+_n¹n

sorozat határértéke, ha n tart végtelenbe. Az el®z® tétel alapján tudjuk, hogy az 1+_2n¹2n sorozat határértéke is e. Mindezek alapján, ha például_n₊1

n3

n

sorozat határértékére vagyunk kiváncsiak, akkor a következ® átalakításokat végezzük:

n+¹₃ n

!n

=

1+ 1 3n

n

=

"

1+ 1 3n

3n#¹₃

→e¹³.

(15)

8. hét Lovics

Részsorozatok határértéke

Korábban láttuk, hogy nem minden sorozatnak létezik határértéke.

Nézzük például a következ® sorozatot:

an=





 1+1

n ha n=2k k ∈N 6+1

n ha n=2k+1 k∈N .

Ennek a sorozatnak nincs határértétéke. Egyértelm¶ az is azonban, hogy van olyan részsorozata, amelyik 1-hez és olyan is, amelyik 6-hoz tart.

Deníció

Legyen a_n tetsz®leges sorozat, és vegyük ennek a sorozatnak az összes részsorozatát. A részsorozatok határérétékei közül a legkisebbet a sorozat limesz inferiorjának, a legnagyobbat pedig a limesz szuperiorjának nevezzük. A fenti fogalmak jelölése rendre:

lim inf an; lim sup an.

(16)

8. hét Lovics

Részsorozatok határértéke (folyt.)

Tétel

Legyen a_n tetsz®leges számsorozat. Ekkor a sorozatnak egyértelm¶en létezik a limesz inferiorja és a limesz szuperiorja.

Egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke, ha a sorozat limesz inferiorja és a limesz szuperiorja megyegyzik, és ekkor

lim a_n=lim inf a_n=lim sup a_n.

A limesz inferior és szuperior fogalma inkább elméleti, mint gyakorlati jelent®ség¶. Egyes tételek általánosabban is

megfogalmazhatók ezekkel a fogalmakkal, hiszen ekkor tetsz®leges sorozatra igaz lehet az állítás, és nem kell megkövetelni, hogy létezzen a a sorozatnak határértéke. A gyakorlatban általában ezeket a tételeket olyan sorozatokra alkalmazzuk, amelyeknek létezik határétéke, és az utolsó tételünk alapján ilyenkor elegend®

ezt a határértéket megkereseni.

(17)

8. hét Lovics

Deriválási szabályok

Ahhoz, hogy az összes deriválási szabályt áttekinthessük, el®ször is be kell vezetnünk néhány új függvényt. Ezeket a függvényeket hiperbólikus függvényeknek nevezzük.

shx =e^x−e⁻^x 2 chx =e^x+e⁻^x

2 thx = shx

chx cthx =chx shx

A hiperbólikus függvények sok szempontból hasonlítanak a trigonometrikus függvényekre. Ahogy a trigonometrikus függvények esetében, úgy ezen függvényekneknél is érdemes deniálni az inverzet, amik rendre:

arshx R→R; archx [1;∞)→R; arthx (−1;1)→Rfüggvények.

(18)

8. hét Lovics

Deriválási szabályok (folyt.)

A shx

(19)

8. hét Lovics

Deriválási szabályok (folyt.)

A chx

(20)

8. hét Lovics

Deriválási szabályok (folyt.)

A thx

(21)

8. hét Lovics

Deriválási szabályok (folyt.)

Függvények deriváltjai:

[x^a]⁰ =ax^a⁻¹, x∈R, a∈R [e^x]⁰ =e^x, x ∈R

[a^x]⁰=a^xln a x ∈R, 16=a∈R+

[log_ax]⁰= _{ln a}¹ ¹_x, x∈R+, 16=a∈R+

[ln x]⁰= ¹_x, x∈R+

[sin x]⁰=cos x, x∈R [cos x]⁰ =−sin x, x∈R

[tgx]⁰= _cos¹₂_x, kπ6=x∈R, k ∈Z [ctgx]⁰=−_sin¹₂_x, ^π₂kπ6=x∈R, k ∈Z [arcsin x]⁰= ^√¹

1−x², x∈(−1;1) [arccos x]⁰=−^√ ¹

1−x², x ∈(−1;1) [arctgx]⁰ =₁₊¹_x₂, x ∈R

[arcctgx]⁰=−₁₊¹_x₂, x∈R [shx]⁰ =chx, x∈R

(22)

8. hét Lovics

Deriválási szabályok (folyt.)

[chx]⁰ =shx, x∈R [thx]⁰=1−th²x, x∈R [cthx]⁰=1−cth²x, 06=x∈R [arshx]⁰ =^√ ¹

x²−1, x∈R [arthx]⁰= ₁₋¹_x₂, x∈(−1;1)

(23)

8. hét Lovics

Deriválási szabályok (folyt.)

Deriválás és m¶veletek:

[cf(x)]⁰ =cf⁰(x)

[f(x)±g(x)]⁰=f⁰(x)±g⁰(x) [f(x)·g(x)]⁰ =f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x) h_f₍_x₎

g(x)

i0

= ^f⁰⁽^x⁾^g⁽^x_g⁾⁻₂₍_x^f₎⁽^x⁾^g⁰⁽^x⁾ [f(g(x))]⁰ =f⁰(g(x))g⁰(x) Speciális esetben:

[(g(x))^a]⁰=ag(x)^a⁻¹g⁰(x);a∈R [e^g⁽^x⁾]⁰=e^g⁽^x⁾g⁰(x)

[ln g(x)]⁰= ^g_g(x)⁰^(x);g(x)>0

(24)

8. hét Lovics

Integrálási szabályok

R x^αdx =^x_α+^α+1₁ +c (x>0, −16=α∈R) R e^xdx=e^x+c (x∈R)

R x^xdx= _{ln a}^a^x +c (x∈R,16=a>0) R ₁

xdx =ln|x|+c (x>0 vagy x<0) R sin xdx=−cos x+c (x∈R) R cos xdx=sin x+c (x ∈R) R ₁

cos²xdx =tgx+c (kπ−^π₂ <x <kπ+^π₂ k ∈Z) R ₁

sin²xdx=−ctgx+c (kπ6=x∈R,k ∈Z) R ₁

√1−x²dx=arcsinx+c (−1<x<1) R ₁

√1+x²dx=arshx+c (x∈R) R ₁

√x²−1dx=ln x+√

x²−1 +c=

=

( archx+c (1<x∈R)

−arch(−x) +c (1>x ∈R) R ₁

1+x²dx =arctgx+c (x∈R)

(25)

8. hét Lovics

Integrálási szabályok (folyt.)

R ₁

1−x²dx= ¹₂ln

x+1 x−1

+c=

( arcthx+c (1>|x| ∈R) arccthx+c (1>|x| ∈R) R shxdx=chx+c (x ∈R)

R chxdx=shx+c (x ∈R) R ₁

sh²xdx =−cthx+c (06=x ∈R) R ₁

ch²xdx=thx+c (x∈R)

(26)

8. hét Lovics

Integrálási szabályok (folyt.)

Integrálás és m¶veletek:

R (f(x) +g(x))dx=Rf(x)dx+R g(x)dx R cf(x)dx=cR f(x)dx

R f⁰(x)g(x)dx=f(x)g(x)−R

f(x)g⁰(x)dx R f(g(x))g⁰(x)dx=R

f(u)du; u=g(x)