GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével

Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten

8. hét

Analízis

Lovics Gábor

Halmazok

Alapfogalmak

Nevezetes halmazok

• Természetes számok halmaza: N.

• Természetes számok halmaza nullával kiegészülve: N0.

• Egész számok halmaza: Z.

• Racionális számok halmaza: Q.

• Valós számok halmaza: R.

• Pozitív, negatív valós számok halmaza: R+,R−.

• Nem negatív, illetve nem pozitív valós számok halmaza: R⊕,R .

• Üres halmaz: ∅. Jelölések

• Eleme: ∈. Például: 3∈Z.

• Nem eleme: ∈/. Például: π /∈Q.

• Valódi része, valódi részhalmaza: ⊂vagy(. Része, részhalmaza:⊆. Például: Z⊆R.

• Létezik: ∃. Tagadása: nem létezik,@; vagy mindegyikre hamis.

Állítás: Létezik lila fa.

Tagadás: Nem létezik lila fa.

Tagadás: Mindegyik fára igaz, hogy nem lila.

• Minden: ∀. Tagadása: létezik, hogy nem igaz.

Állítás: Minden fa zöld.

Tagadás: Létezik olyan fa, amelyik nem zöld.

Halmazok formális deníciói

• Halmazokat { }zárójelekkel adunk meg, és általában nagybet¶vel jelöljük.

• Elemek felsorolásával: S ={6; 22; 47}.

• Legtöbbször a következ® formát használjuk: S={általános elem: deniáló tulajdonságok}. Például páros számok halmaza: P ={n:n= 2k, k∈Z}.

Irracionális számok halmaza: Q^∗={x:x∈R, x /∈Q}.

Egy origó középpontú, 5 egység sugarú körön lév® pontok halmaza: K={(x, y) :x²+y²= 25}.

• Intervallumok megadása. Legyeneka, b∈R, a < b. Ekkor (a, b) ={x:x∈R, a < x < b},

[a, b) ={x:x∈R, a≤x < b}, (a, b] ={x:x∈R, a < x≤b}, [a, b] ={x:x∈R, a≤x≤b}.

Az inmum és a szuprémum

Alsó és fels® határ 1. Deníció

Egészítsük ki a valós számok halmazát a minusz és plusz végtelennel. Az így kapott halmazt nevezzük kib®vített valós számok halmazának.

R¯ =R∪ {−∞; +∞}

2. Deníció

Legyen H ⊆ R tetsz®leges halmaz. A H halmazt felülr®l korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan f ∈ R, amire teljesül, hogy h≤f, mindenh∈H-ra. Az ilyen tulajdonággal bíróf ∈ R¯ értéket a H halmaz fels®

korlátjának nevezzük. Hasonlóan a H halmazt alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan a ∈ R, hogy a≤h, minden h∈H-ra. Az ilyen tulajdonággal bíró a∈R¯ értéket aH halmaz alsó korlátjának nevezzük.

AH halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülr®l is korlátos.

A valós számokon deniált részhalmazakról általában nem mondható el, hogy létezik legnagyobb, illetve legkisebb elemük. A következ® egyszer¶ állítás mégis igaz.

1. Tétel

Legyen H ⊆R tetsz®leges halmaz, és jelölje A⊆R¯ aH halmaz alsó korlátainak halmazát, F ⊆R¯ pedig a fels® korlátainak halmazát. Ekkor azAhalmaznak létezik legnagyobb, az F halmaznak pedig létezik legkisebb eleme.

A tétel alapján pedig értelmes a következ® deníció.

3. Deníció

LegyenH ⊆Rtetsz®leges halmaz, és jel®lje megintA az alsó,F pedig a fels® korlátok halmazát. Ekkor aH halmaz alsó határán vagy inmumán azA halmaz legnagyobb elemét értjük. Jele: infH. AH halmaz fels®

határán vagy szuprémumán pedig azF halmaz legkisebb elemét értjük. Jele supH.

Példák inmumra és szuprémumra

Legyen H ⊆ R nemüres, korlátos halmaz. Ha a halmaz korlátos, akkor mind a szuprémuma mind az inmuma valós szám. Ha a halmaz nem üres, és felür®l nem korlátos, akkor a szuprémuma ∞. Hasonlóan, ha nem üres, és aluról nem korlátos, akkor az inmuma −∞. Els® ránézésre logikusnak látszik, hogy egy halmaz szuprémuma sosem kisebb, mint az inmuma. Azonban gondoljuk végig mit mond a deníció, ha a halmaz üres. Az üres halmaz esetén minden számra teljesül, hogy nagyobb vagy egyenl®, mint a halmaz összes eleme, vagyis az üres halmaznak minden szám fels® korlátja. A fels® korlátok közül a legkisebb pedig a −∞ lesz. Vagyis az üres halmaz szuprémuma −∞. Hasonlóan az is teljesül minden valós számra, hogy kisebb vagy egyenl®, mint a halmazban lév® elemek. Így a az üres halamaz inmuma∞. Ezt a speciális esetet leszámítva az inmum és a szuprémum valójában nem más, mint a halmaz minimumának és maximumának általánosítása, utóbbiak ugyanis nem mindig léteznek. Vizsgáljuk meg, a korlátos intervallum esetét. Legyen A= (a, b]. Ekkor a halmaznak maximumab, minimuma viszont nem létezik. Azanem a halmaz minimuma, mert azanem eleme a halmaznak. Ezzel szemben azainmuma azAhalmaznak.

Sorozatok

Részsorozat 4. Deníció

Legyen (an)egy valós sorozat. Ekkor a(bn)-t az(an)részsorozatának tekintjük, ha létezik olyanf :N→N szigorúan monoton növ® függvény, melyre

bn=af(n).

Legyen példáulan= ¹_n, ekkor abn=_2n¹ azanrészsorozata, azf(n) = 2nválasztással. Hasonlóan részsorozat acn= _n¹2, azf(n) =n² választással.

2. Tétel

Legyen(an)olyan valós sorozat, melyre limn→∞an=a, ahola∈R. Tegyük fel továbbá, hogy¯ (bn)részsoro- zata (a_n)-nek. Ekkorlim_n→∞b_n=a.

Alkalmazás

Ismeretes, hogy az Euler-féleeszám nem más, mint az 1 + ¹_nⁿ

sorozat határértéke, hantart végtelenbe.

Az el®z® tétel alapján tudjuk, hogy az 1 + _2n^{1 2n} sorozat határértéke is e. Mindezek alapján, ha például _n+1

3

n

ⁿ

sorozat határértékére vagyunk kiváncsiak, akkor a következ® átalakításokat végezzük:

n+¹₃ n

ⁿ

=

1 + 1 3n

ⁿ

=

"

1 + 1

3n ³ⁿ#¹₃

→e¹³.

Részsorozatok határértéke

Korábban láttuk, hogy nem minden sorozatnak létezik határértéke. Nézzük például a következ® sorozatot:

an=





 1 + 1

n ha n= 2k k∈N 6 + 1

n ha n= 2k+ 1 k∈N .

Ennek a sorozatnak nincs határértétéke. Egyértelm¶ az is azonban, hogy van olyan részsorozata, amelyik 1-hez és olyan is, amelyik6-hoz tart.

5. Deníció

3. Tétel

Legyen an tetsz®leges számsorozat. Ekkor a sorozatnak egyértelm¶en létezik a limesz inferiorja és a limesz szuperiorja. Egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke, ha a sorozat limesz inferiorja és a limesz szuperiorja megyegyzik, és ekkor

liman = lim infan = lim supan.

A limesz inferior és szuperior fogalma inkább elméleti, mint gyakorlati jelent®ség¶. Egyes tételek általáno- sabban is megfogalmazhatók ezekkel a fogalmakkal, hiszen ekkor tetsz®leges sorozatra igaz lehet az állítás, és nem kell megkövetelni, hogy létezzen a a sorozatnak határértéke. A gyakorlatban általában ezeket a té- teleket olyan sorozatokra alkalmazzuk, amelyeknek létezik határétéke, és az utolsó tételünk alapján ilyenkor elegend® ezt a határértéket megkereseni.

Deriválás és integrálás

Deriválási szabályok

Ahhoz, hogy az összes deriválási szabályt áttekinthessük, el®ször is be kell vezetnünk néhány új függvényt.

Ezeket a függvényeket hiperbólikus függvényeknek nevezzük.

shx=e^x−e^−x 2 chx=e^x+e^−x

2 thx=shx

chx cthx=chx shx

A hiperbólikus függvények sok szempontból hasonlítanak a trigonometrikus függvényekre. Ahogy a trigo- nometrikus függvények esetében, úgy ezen függvényekneknél is érdemes deniálni az inverzet, amik rendre:

arshxR→R; archx[1;∞)→R; arthx(−1; 1)→Rfüggvények.

A shx

A chx

A thx

Függvények deriváltjai:

• [x^a]⁰ =ax^a−1,x∈R,a∈R

• [e^x]⁰=e^x,x∈R

• [a^x]⁰=a^xlna x∈R,16=a∈R+

• [log_ax]⁰ =_ln¹_ax¹,x∈R⁺, 16=a∈R⁺

• [lnx]⁰= ¹_x,x∈R+

• [sinx]⁰= cosx,x∈R

• [cosx]⁰=−sinx,x∈R

• [tgx]⁰ =_cos¹2x,kπ6=x∈R,k∈Z

• [ctgx]⁰=−_sin¹2x, ^π₂kπ6=x∈R,k∈Z

• [arcsinx]⁰= ^{√ 1}

1−x², x∈(−1; 1)

• [arccosx]⁰=−^{√ 1} ,x∈(−1; 1)

• [shx]⁰ =chx,x∈R

• [chx]⁰=shx,x∈R

• [thx]⁰ = 1−th²x,x∈R

• [cthx]⁰= 1−cth²x,06=x∈R

• [arshx]⁰= ^{√ 1}

x²−1,x∈R

• [arthx]⁰= _1−x¹2,x∈(−1; 1) Deriválás és m¶veletek:

• [cf(x)]⁰ =cf⁰(x)

• [f(x)±g(x)]⁰=f⁰(x)±g⁰(x)

• [f(x)·g(x)]⁰ =f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x)

• h_f(x)

g(x)

i0

=^f0(x)g(x)−f(x)g⁰(x) g²(x)

• [f(g(x))]⁰=f⁰(g(x))g⁰(x)Speciális esetben:

[(g(x))^a]⁰ =ag(x)^a−1g⁰(x);a∈R [e^g(x)]⁰=e^g(x)g⁰(x)

[lng(x)]⁰ =^g_g(x)^0(x); g(x)>0 Integrálási szabályok

• R

x^αdx= ^x_α+1^α+1+c (x >0, −16=α∈R)

• R

e^xdx=e^x+c (x∈R)

• R

x^xdx= _ln^ax_a +c (x∈R,16=a >0)

• R 1

xdx= ln|x|+c (x >0 vagyx <0)

• R

sinxdx=−cosx+c(x∈R)

• R

cosxdx= sinx+c(x∈R)

• R ₁

cos²xdx=tgx+c (kπ−^π₂ < x < kπ+^π₂ k∈Z)

• R 1

sin²xdx=−ctgx+c (kπ6=x∈R, k∈Z)

• R ₁

√1−x²dx=arcsinx+c (−1< x <1)

• R ₁

√1+x²dx=arshx+c(x∈R)

• R √1

x²−1dx= ln x+√

x²−1

+c= =

( archx+c (1< x∈R)

−arch(−x) +c(1> x∈R)

• R ₁

1+x²dx=arctgx+c (x∈R)

• R ₁

1−x²dx=¹₂ln

x+1 x−1

+c=

( arcthx+c (1>|x| ∈R) arccthx+c (1>|x| ∈R)

• R

shxdx=chx+c (x∈R)

• R

chxdx=shx+c (x∈R)

• R ₁

sh^2xdx=−cthx+c(06=x∈R)

• R 1

ch²xdx=thx+c(x∈R) Integrálás és m¶veletek:

• R

(f(x) +g(x))dx=R

f(x)dx+R g(x)dx

• R

cf(x)dx=cR f(x)dx

• R

f⁰(x)g(x)dx=f(x)g(x)−R

f(x)g⁰(x)dx

• R

f(g(x))g⁰(x)dx=R

f(u)du;u=g(x)