GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével

Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten

3. hét

Trigonometria

Lovics Gábor

Szögek

A szögek értelmezése 1. Deníció

A sík egy pontjából (szög csúcsa) induló két félegyenest (szárak) szögnek hívunk. A szög jelentheti a fél- egyenesek által határolt síkszeletet (szögtartomány), illetve a félegyeneseket is (szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikr®l van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. Amennyiben a szög forgást jelöl, forgásszögekr®l beszélünk. Ebben az esetben értelmes el®jeles szögr®l beszélni, a pozitív el®jel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.

Mértékegységek

A θszög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedigr. Ekkor a szög radiánban való mértékét az ^s_r hányados mutatja meg. A teljes kör mértéke 2π. A radián szög mértékegysége a rad, amit általában nem írunk ki. A szög fokokban való méréséhez a radián szögünket ¹⁸⁰_π -vel kell szoroznunk. Így a teljes kör mértéke360^◦ lesz.

2. Deníció

Vegyük egy koordináta-rendszerben az (1,0) vektort, és forgassuk el α szöggel. Az így kapott vektor els®

koordinátáját nevezzükcosα-nak, a második koordinátáját pedig sinα-nak. Legyen αolyan, melyre teljesül, hogycosα6= 0. Ekkor:

tanα=tgα= sinα cosα. Legyenαolyan, melyre teljesül, hogy sinα6= 0. Ekkor:

cotα=ctgα= cosα sinα.

Hegyes szögek szögfüggvényei

Legyen adott egy derékszög¶ háromszög, melyben az egyik befogó és az átfogó által bezárt szög α. Az α-val szemközti oldal legyen a, a másik befogó b, az átfogó pedig c. Ekkor a következ® összefüggések teljesülnek:

sinα= a c cosα= b c tgα= a b ctgα= b a.

Nevezetes szögek szögfüggvényei

α sin cos tg ctg

0^◦ 0 1 0 -

30^{◦ 1}₂

√3 2

√3 3

√3 45^◦

√ 2 2

√ 2

2 1 1

60^◦

√3 2

1 2

√3

√3 3

90^◦ 1 0 - 0

Példa trigonometrikus összefüggések alkalmazására

Mekkorák annak az egyenl®szárú háromszögnek az oldalai, melynek az alapja 30,4 cm-rel hosszabb a száraknál, és amelyiknek az alapon fekv® szögei29,4^◦-ak?

Megoldás

A feladat felrajzolásakor érdemes berajzolni az alaphoz tartozó magasságot. Ekkor ez a magasság, az eredeti háromszög egyik szára(b)és az alapjának a fele ^a₂

egy derékszög¶ háromszöget alkot. Err®l a háromszögr®l a feladat szövege és az ábra alapján tudható, hogy

a−b= 30,4 cos29,4^◦= a

2b.

Meghatározva a29,4^◦ koszinuszát a második egyenletb®l kapjuk, hogy 0,87 = a

2b a= 1,74b.

Ezt az els® egyenletbe visszahelyettesítve kapjuk, hogy

1,74b−b= 0,74b= 30,4 b= 41.

Ebb®l kapjuk hogy

a= 41 + 30,4 = 71,4.

cosx

tgx

ctgx

Trigonometrikus függvények inverze

Emlékezzünk vissza, hogy az f(x) = x² függvénynek sem volt inverze a valós számok halmazán. Vis- zont, ha az értelmezési tartományát megszorítjuk a nemnegatív számok halmazára, akkor már invertálható függvényt kapunk, amelynek így az értékkészlete lett a nemnegatív számok halmaza. A trigonometrikus függvények inverze is hasonló trükkel értelmezhet®. Mivel periódikus függvényekr®l van szó, ezért el®ször is azt kell eldöntenünk, hogy melyik periódusra szorítjuk meg az értelmezési tartományt. Mivel a szinusz és a koszinusz függvények egy perióduson belül sem kölcsönösen egyértelm¶ hozzárendelések, ezért a perióduson belül is meg kell szorítsuk a függvényt. A szinusz függvényt a

−^π₂;^π₂

intervallumra megszorítva kapunk in- vertálható függvényt. Az így kapott függvényt árkusz szinusz függvénynek hívjuk, jele: arcsinx, értelmezési tartománya a[−1; 1], értékészlete pedig a

−^π₂;^π₂ .

Ha a függvényt a π

2;^3π₂ intervallumra szorítjuk meg, és úgy invertáljuk, akkor −arcsinx függvényhez jutunk. A koszinusz függvényt a [0;π] intervallumra megszorítva kapunk invertálható függvényt. Az így kapott függvényt árkusz koszinusz függvénynek hívjuk, jele: arccosx, értelmezési tartománya a [−1; 1], értékkészlete pedig a[0;π].

A tangens függvényt a −^π₂;^π₂

intervallumra megszorítva kapunk invertálható függvényt. Az így kapott függvényt árkusz tangens függvénynek hívjuk, jele: arctgx, értelmezési tartománya a(−∞;∞), értékkészlete pedig a

−^π₂;^π₂ .

A kotangens függvényt a(0;π)intervallumra megszorítva kapunk invertálható függvényt. Az így kapott füg- gvényt árkusz kotangens függvénynek hívjuk, jele: arcctg , értelmezési tartománya a , értékkészlete

Deriválási szabályok

sin⁰x= cosx x∈R cos⁰x=−sinx x∈R

tg⁰x= 1

cos²x kπ+π

2 6=x∈R k∈Z ctg⁰x=− 1

sin²x kπ6=x∈R k∈Z arcsin⁰x= 1

√1−x² x∈[−1; 1]

arccos⁰x=− 1

√

1−x² x∈[−1; 1]

arctg⁰x= 1

1 +x² x∈R arcctg⁰x=− 1

1 +x² x∈R

Polárkoordinátás alak

Vektorok polárkoordinátás alakja

Legyen adva egy(x₁;x₂)∈R²vektor. Ez a vektor kölcsönösen egyértelm¶en megfeleltethet® egy(r;φ)∈ R⊕×[0; 2π]úgynevezett polárkoordinátákkal adott vektornak. A megfeleltetést a következ® szabályok írják le. Ha(x₁;x₂)-t ismerem, akkor

r= q

x²₁+x²₂, φ= arccos x₁

px²₁+x²₂, φ= arcsin x2

px²₁+x²₂,

ahol a második két egyenletre azért van szükség, mert a [0,2π] intervallumban a két egyenlet együttesen hatátozza megφ-t. Visszafelé, ha(r, φ)ismert, akkor

x₁=rcosφ, x2=rsinφ.

Polárkoordináták kiszámítása a gyakorlatban

Határozzuk meg a (2,3) vektor polárkoordínátás alakját! Ehhez el®ször is ki kell számoljuk a vektor hosszát

r=p

2²+ 3²=√ 13.

Ezután határozzuk meg a vektorhoz tartozó hajlásszöget. Ezt a gyakorlatban kicsit máshogy érdemes kiszá-