GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén
az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet
és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével
Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor
2010. június
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék
Gazdaságmatematika középhaladó szinten
1. hét
Másodfokú egyenletek és egyenl®tlenségek
Lovics Gábor
Másodfokú függvények
A kvadratikus függvény
A függvény általános alakja: f(x) =ax2+bx+c (a6= 0). Ekkor a függvény gyökei:
x1,2=−b±√
b2−4ac
2a ,
feltéve, hogy a kifejezés értelmes. A másodfokú polinom diszkriminánsán aD =b2−4ac kifejezést értjük.
Teljes négyzetté alakítással a kifejezésf(x) =a(x−α)2+β formára hozható. Ekkor a függvény széls®érték helyeα, értéke pedigβ. A függvény gyöktényez®s alakja: f(x) =a(x−x1)(x−x2)feltéve, ha a kifejezésnek léteznek gyökei. (El®fordulhat, hogyx1=x2.)
Grakus alakok
1. eseta >0,D >0.
2. eseta >0,D= 0.
3. eseta >0,D <0.
4. eseta <0,D >0,
5. eseta <0,D= 0.
6. eseta <0,D <0.
Másodfokú egyenletek
Feladatok
Adott az f(x) = 3x2+ 3x−6alakú függvény.
1. Mi a függvény legb®vebb értelmezési tartománya?
2. Mik a függvény gyökei (zérushelyei)?
3. Van-e a függvénynek minimuma és/vagy maximuma? Ha van, akkor mi a minimum, illetve maximum helye és értéke? Alakítsd át a függvényt olyan formára, hogy ez leolvasható legyen!
4. Hol monoton fogyó, illetve hol monoton növeked® a függvény?
5. Mi a függvény értékkészlete?
Megoldás 1. Df =R.
2. A feladat lényegében egy másodfokú egyenlet megoldása:
3x2+ 3x−6 = 0 x2+x−2 = 0
x1,2=−1±√ 1 + 8
2 = −1±3
2 =
( 1
−2.
3. A széls®értékek deriválással is megkereshet®k, de ha azt nem alkalmazhatjuk, akkor a teljes négyzetté alakítással kaphatunk olyan formát, amelyr®l leolvashatók ezek az értékek.
3x2+ 3x−6 = 3[x2+x−2] = 3[(x+ 0,5)2−0,25−2] =
=3(x+ 0,5)2−6,75
A függvény tehát felfelé néz® parabola két gyökkel, minimum helye a−0,5, a hozzá tatozó függvényérték pedig a−6,75.
4. Az el®z® pont megoldásából következik, hogy a függvény a (−∞;−0,5]inervallumon monoton fogyó,
Másodfokú egyenl®tlenségek
Ábrák
ax2+bx+c≥0 1. eseta >0,D >0.
ax2+bx+c≥0 2. eseta >0,D= 0.
ax2+bx+c≥0 3. eseta >0,D <0.
ax2+bx+c≥0 4. eseta <0,D >0.
ax2+bx+c≥0 5. eseta <0,D= 0.
ax2+bx+c≥0 6. eseta <0,D <0.
Feladat
Keressük meg a következ® egyenl®tlenség összes megoldását:
x2+ 2x−15≥0!
A feladat megoldása:
Írjuk át az egyenl®tlenséget egyenl®séggé:
x2−2x+ 15 = 0!
Vizsgáljuk meg, hogy a fenti 6 esetb®l, melyikkel van dolgunk. 1. eseta= 1>0,D= 64>0.
Tehát a megoldás: (−∞;−5]∪[3;∞). Feladat
Keressük meg a következ® egyenl®tlenség összes megoldását:
−x2+ 3x−10 x2−5x+ 4 ≥0.
A feladat megoldásának alapötlete, hogy egy tört pontosan akkor pozitív, ha a számlalója és a nevez®je azonos el®jel¶. Ebben az esetben ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy két egyenl®tlenséget kell megoldanunk, és ezek eredményeit összevetve kell eldöntenünk a tört el®jelét. A számláló:
x1,2= −3±√ 9 + 40
2 = −3±7
2 =
( 2
−5. Ezúttal ez a 4. ese:ta=−1<0,D= 49>0.
Tehát a számláló a[−5; 2]intervallumon nem negatív, ezen kívül negatív. A nevez® (ne felejtsük el, hogy a nevez® nem lehet 0):
x1,2=5±√ 25−16
2 =5±3
2 (4
1. Ez megint az els® eset.
Tehát a nevez® a (−∞; 1) és a (4;∞)intervallumokon nem negatív, ezen kívül negatív. Az eredményeket érdemes egy újabb ábrán összesíteni:
Ez alapján a feladat megoldása a[−5; 1)és[2; 4)intervallumok.
