GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén
az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet
és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével
Készítette: Lovics Gábor Szakmai felel®s: Lovics Gábor
2010. június
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék
Gazdaságmatematika középhaladó szinten
6. hét
Lineáris leképezések
Lovics Gábor
Függvényekkel kapcsolatos fogalmak
Függvények
Korábban mindenki találkozottR→Rvalós fügvényekkel. Ezeket az egyértelm¶ hozzárendeléseket, leké- pezéseket azonban nem csak valós számok között érdemes használni. El®fordulnak többváltozós függvények, melyeket vektorváltozós függvényeknek is tekinthetünk (Rn →R). A leképezések fogalmát ennél általáno- sabban is érdemes használnunk. Gondoljunk például a deriválásra, amely olyan egyértelm¶ hozzárendelés, ami függvényekhez rendel függvényeket. Vagy mondjuk rajzoljunk egy tengelyt a síkra, és tükrözzük rá a vektorokat, akkor egy olyan egyértelm¶ hozzárendelést kapunk, ami vektorokhoz rendel vektorokat. Egyes függvények speciális tulajdonságokkal is rendelkeznek. El®ször a függvényekkel kapcsolatban néhány álta- lános fogalmat tisztázunk. Egy függvényt akkor deniáltunk, ha megadtuk az értelmezési tartományát, és a hozzárendelési szabályt. Ezért, amikor azt mondjuk, hogy adva van két halmaz Aés B és f : A →B függvény, akkorA-t a fügvény értelmezési tartományának tekintjük. AB halmaz azonban nem feltétlenül a függvény értékészlete, mert el®fordulhat, hogyB-nek van olyan eleme, ami nem elme a függvény értékkész- letének.
1. Deníció
LegyenA,B két tetsz®leges halmaz. Ekkor azt mondjuk, hogyf : A→B injektív leképezés, haa1, a2∈A, a16=a2 esetén f(a1)6=f(a2).
2. Deníció
Legyen A, B két tetsz®leges halmaz. Ekkor azt mondjuk, hogy f : A → B szürjektív leképezés, ha f értékkészlete B.
3. Deníció
Legyen A,B két tetsz®leges halmaz. Ekkor azt mondjuk, hogy f : A→B bijektív leképezés, ha injektív és szürjektív.
Bijekcióról szemléltetés
Ha két halmaz között találtunk egy bijekciót, az lényegében azt jelenti, hogy a két halmaz elemeit össze tudtuk párosítani.
Látni fogjuk, hogy ha két halmaz között létezik bijekció, az azt jelenti, hogy a két halmaz lényegében ugyan- úgy viselkedik. Azt is megmutatjuk, hogy az, hogy egy függvény bijekció-e, nem csak azf hozzárendelési szabálytól függ, hanem attól is, hogyan választjuk meg azAésB halmazt. Ha ismerjük egy valós függvény grakonját, akkor arról úgy tudjuk megállapítani, hogy bijektív-e, ha vízszintes vonalakat húzunk aB hal- maz elemei mentén. Ha azt tapasztaljuk, hogy az egyenes két helyen is elmetszi a függvényt, akkor ez azt jelenti, hogy a függvény nem injektív. Ha nem metszi el sehol, akkor a függvény nem szürjektív. Ha bárhol is húzom be az egyenest, és az mindenhol pontosan egy helyen metszi el a függvényt, akkor beszélhetünk bijekcióról. Vegyük például azf(x) =x2, R→Rfüggvényt. Ez nem is injektív és nem is bijektív függvény.
A nemnegatív számok között azonban már bijekció.
Lineáris leképezések fogalma
Lineáris leképezés 4. Deníció
Legyen T felett V és U vektortér, és φ:V →U leképezés közöttük. Aφ hozzárendelést (homogén) lineáris leképezésnek nevezzük, ha tetsz®legesv1,v2∈V ésλ∈T esetén
φ(v1+v2) =φ(v1) +φ(v2) φ(λv1) =λφ(v2).
Lineáris leképezések tulajdonságai 1. Tétel
Legyen T felett V ésU vektortér és φ:V →U lineáris leképezés. Jelölje 0V a V,0U az U tér nullelemét, és legyenv1,v2, . . . ,vn ∈V és λ1, λ2, . . . , λn∈T. Ekkor
φ(0V) =0U φ(−v1) =−φ(v1)
φ(λ1v1+λ2v2+· · ·+λnvn) =λ1φ(v1) +λ2φ(v2) +· · ·+λnφ(vn)
Példák lineáris leképezésre
1. LegyenA∈Rm×n mátrix. Ekkor aφ(x) =AxmintRm→Rn leképezés lineáris.
2. A sík vektorai között egy origón átmen® egyenesre való tükrözés, az origó körüli forgatás és az x tengelyre való levetítés mind lineáris leképezések.
3. Azf(x)→f0(x)hozzárendelés a folytonosan deriválható függvények terében.
4. Az hozzárendelés lineáris a sorozatok között.
5. Legyens=an sorozat, ekkor a rajtuk értelmezettφ(s) =an−1 leképezés lineáris.
6. LegyenV az[a, b] intervallumon integrálható függvények halmaza,U pedig R, ekkor a
φ(f) = Z b
a
|f|p
!1p
leképezés lináris.
Feladat
Állapítsuk meg a következ® függvényekr®l, hogy lineárisak-e.
1. Legyenφ: R2→R2 leképezés a következ®: φ x
y
= y
x
.
2. Legyenψ: R2→R2 leképezés a következ®: ψ x
y
=
x+ 1 y
. Megoldás
1. Ahhoz, hogy egy leképezésr®l azt bizonyítsuk, hogy lineáris-e, a denícióban szerepl® két tulajdonságot kell leellen®riznünk.
φ
λ x
y
=φ λx
λy
= λy
λx
=λφ x
y
φ x1
y1
+
x2
y2
=φ
x1+x2
y1+y2
=
y1+y2
x1+x2
=
=φ x1
y1
+φ
x2
y2
2. Ahhoz, hogy egy leképezésr®l megmutassuk, hogy nem lineáris, gyakran elegend® a lineáris leképezés tulajdonságait felhasználni. Ha ψ lineáris leképezés lenne, akkor nullvektor képe nullvektor lenne.
Azonban
ψ 0
0
= 1
0
.
Képtér és magtér 5. Deníció
LegyenV ésU vektorterekT felett és φ V →U lineáris leképezés. Ekkor a függvény képterén Imφ={u∈U|∃v∈V, φ(v) =u}
halmazt értjük. A függvény magterén pedig
Kerφ={v∈V|φ(v) =0U} halmazt értjük.
2. Tétel
Legyen V és U vektorterekT felett ésφ V →U lineáris leképezés. EkkorKerφaltere V-nek ésImφaltere U-nak. Ha még az is teljesül, hogyU és V véges dimenziós vektorterek, akkor
dim(Kerφ) +dim(Imφ) =dimV.
Feladat LegyenA=
1 1 −1 1 −1 1
mátrix, és vizsgájuk meg azAx: R3→R2 lineáris leképezést. Mi ennek a leképezésnek a magtere? Mit tudunk ez alapján mondani azAx=begyenlet megoldhatóságáról?
Megoldás
A magtér vizsgálathoz azAx=0egyenlet vizsgálata szükséges. Ez a következ® alakban írható fel:
x1+x2−x3= 0 x1−x2+x3= 0.
Ha a két egyenletet összeadjuk, azt kapjuk, hogyx1= 0. A két egyenletbe ezt visszahelyetesítve azt kapjuk, hogy x2 =x3 kell legyen. Vagyis az egyenletrendszert megoldó minden vektor el®áll
0 x x
alakban, ahol
xtetsz®leges valós szám. Az ilyen alakú vektorok egydimeziós vektorteret alkotnak, mert a
0 1 1
vektor nyilván generálja az összes ilyen vektort. Ez alapján|Im(φ)|= 2kell legyen. Ez azt jelenti, hogy a függvény képtere a teljesR2, tehát azAx=begyenletnek mindig lesz megoldása. Eredményeink alapján ez a leképezés tehát szürjektív, de nem injektív.
Izomorzmus 6. Deníció
Legyen V és U vektorterek T felett, φ : V → U lineáris leképezés közöttük. Ekkor φ-t izomorzmusnak nevezzük, ha egyben bijektív is. (Vagyis, ha kölcsönösen egyértelm¶ és ∀u ∈ U-ra létezik v ∈ V, hogy φ(v) =u.) Ha két vektortér között létezik izomorf leképezés, akkor a két teret izomorfnak hívjuk, és
U ∼=V −vel jelöljük.
3. Tétel
LegyenV ésU két végesdimenziós vektortér T felett. Ekkor
U ∼=V ⇔dim(U) =dim(V).
A tétel következménye, hogy mindenn-dimenziós vektortér izomorfRn-nel.
Leképezés jellemzése 4. Tétel
Legyen V és U véges dimenziós vektorterek T felett. Alkossanak továbbá a b1,b2, . . . ,bn vekotorok bázist V-ben, és legyenc1,c2, . . . ,cntetsz®leges elemeU-nak. Ekkor pontosan egy olyanφlineáris leképezés létezik, amelyre teljesül, hogy
φ(bi) =ci i= 1,2, . . . , n.
Legyen például V = R2 a szokásos bázissal, és U = R3. Kérdés, hogyan keressük meg azt a leképezést, amelyre teljesül, hogy
1 0
→
5 2
−1
; 0
1
→
1
−7 8
. Nem nehéz belátni, hogy a
5 1
2 −7
−1 8
Lineáris leképezések tere
Legyen V n-dimenziós, U m-dimenziós vektortér T felett, továbbá legyen φ V → U és ψ V → U li- neáris leképezések és λ ∈ T. Ekkor a szokásos függvénym¶veletekkel értelmezhet®ek φ+ψ, λφ, melyek eredménye újabb lineáris leképezésV ésU között. Mivel ezek a m¶veletek ráadásul rendelkeznek a szokásos azonoságokkal, ezért ezek maguk is vektorteret alkotnak. Megmutatható, hogy az ilyen lineáris leképezések n·m dimenziós vektorteret alkotnak. Ezek a terek ugyanúgy izomorfak Rn×m-es mátrixokkal, mint aho- gyan azn-dimenziós vektorterek izomorfak Rn-nel. A függvények invertálhatósága ekkor éppen a mátrixok invertálhatóságát jelenti, az összetett függvények pedig éppen a mátrixok szorzatát.
