KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(1)

GAZDASÁGMATEMATIKA

KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Gazdaságmatematika középhaladó szinten

1. hét

MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLTLENSÉGEK Készítette: Lovics Gábor

Szakmai felel®s: Lovics Gábor

(5)

1. hét Lovics

Másodfokú függvények Másodfokú egyenletek Másodfokú egyenl®tlenségek

Vázlat

1 Másodfokú függvények

2 Másodfokú egyenletek

3 Másodfokú egyenl®tlenségek

(6)

1. hét Lovics

A kvadratikus függvény

A függvény általános alakja: f(x) =ax²+bx+c (a6=0). Ekkor a függvény gyökei:

x₁,2= −b±√

b²−4ac

2a ,

feltéve, hogy a kifejezés értelmes.

A másodfokú polinom diszkriminánsán a D=b²−4ac kifejezést értjük.

Teljes négyzetté alakítással a kifejezés f(x) =a(x−α)²+β formára hozható.

Ekkor a függvény széls®érték helyeα, értéke pedigβ.

A függvény gyöktényez®s alakja: f(x) =a(x−x₁)(x−x₂)feltéve, ha a kifejezésnek léteznek gyökei. (El®fordulhat, hogy x₁=x₂.)

(7)

1. hét Lovics

Grakus alakok

1. eset a>0, D >0.

(8)

1. hét Lovics

Grakus alakok (folyt.)

2. eset a>0, D =0.

(9)

1. hét Lovics

Grakus alakok (folyt.)

3. eset a>0, D <0.

(10)

1. hét Lovics

Grakus alakok (folyt.)

4. eset a<0, D >0,

(11)

1. hét Lovics

Grakus alakok (folyt.)

5. eset a<0, D =0.

(12)

1. hét Lovics

Grakus alakok (folyt.)

6. eset a<0, D <0.

(13)

1. hét Lovics

Feladatok

Adott az f(x) =3x²+3x−6 alakú függvény.

1 Mi a függvény legb®vebb értelmezési tartománya?

2 Mik a függvény gyökei (zérushelyei)?

3 Van-e a függvénynek minimuma és/vagy maximuma? Ha van, akkor mi a minimum, illetve maximum helye és értéke?

Alakítsd át a függvényt olyan formára, hogy ez leolvasható legyen!

4 Hol monoton fogyó, illetve hol monoton növeked® a függvény?

5 Mi a függvény értékkészlete?

(14)

1. hét Lovics

Megoldás

1 D_f =R.

2 A feladat lényegében egy másodfokú egyenlet megoldása:

3x²+3x−6=0 x²+x−2=0

x1,2= −1±√ 1+8

2 =−1±3

2 =

( 1

−2.

3 A széls®értékek deriválással is megkereshet®k, de ha azt nem alkalmazhatjuk, akkor a teljes négyzetté alakítással kaphatunk olyan formát, amelyr®l leolvashatók ezek az értékek.

3x²+3x−6=3[x²+x−2] =3[(x+0,5)²−0,25−2] =

=3(x+0,5)²−6,75

A függvény tehát felfelé néz® parabola két gyökkel, minimum helye a−0,5, a hozzá tatozó függvényérték pedig a−6,75.

(15)

1. hét Lovics

Megoldás (folyt.)

4 Az el®z® pont megoldásából következik, hogy a függvény a (−∞;−0,5] inervallumon monoton fogyó, a(−0,5;∞) intervallumon pedig monoton növ®.

5 Rf ={y ∈R|y≥ −6,25}.

(16)

1. hét Lovics

Ábrák

ax²+bx+c≥0 1. eset a>0, D>0.

(17)

1. hét Lovics

Ábrák (folyt.)

ax²+bx+c≥0 2. eset a>0, D=0.

(18)

1. hét Lovics

Ábrák (folyt.)

ax²+bx+c≥0 3. eset a>0, D<0.

(19)

1. hét Lovics

Ábrák (folyt.)

ax²+bx+c≥0 4. eset a<0, D>0.

(20)

1. hét Lovics

Ábrák (folyt.)

ax²+bx+c≥0 5. eset a<0, D=0.

(21)

1. hét Lovics

Ábrák (folyt.)

ax²+bx+c≥0 6. eset a<0, D<0.

(22)

1. hét Lovics

Feladat

Keressük meg a következ® egyenl®tlenség összes megoldását:

x²+2x−15≥0! A feladat megoldása:

Írjuk át az egyenl®tlenséget egyenl®séggé:

x²−2x+15=0! Oldjuk megy az egyenl®séget:

x₁,2= −2±√ 4+60

2 = −2±8

2 =

( 3

−5. Vizsgáljuk meg, hogy a fenti 6 esetb®l, melyikkel van dolgunk.

(23)

1. hét Lovics

Feladat (folyt.)

1. eset a=1>0, D=64>0.

Tehát a megoldás: (−∞;−5]∪[3;∞).

(24)

1. hét Lovics

Feladat

Keressük meg a következ® egyenl®tlenség összes megoldását:

−x²+3x−10 x²−5x+4 ≥0.

A feladat megoldásának alapötlete, hogy egy tört pontosan akkor pozitív, ha a számlalója és a nevez®je azonos el®jel¶. Ebben az esetben ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy két egyenl®tlenséget kell megoldanunk, és ezek eredményeit összevetve kell eldöntenünk a tört el®jelét.

A számláló:

x₁,2= −3±√ 9+40

2 = −3±7

2 =

( 2

−5.

(25)

1. hét Lovics

Feladat (folyt.)

Ezúttal ez a 4. ese:t a=−1<0, D =49>0.

Tehát a számláló a[−5;2]intervallumon nem negatív, ezen kívül

(26)

1. hét Lovics

Feladat (folyt.)

A nevez® (ne felejtsük el, hogy a nevez® nem lehet 0):

x1,2= 5±√ 25−16

2 = 5±3

2 (4

1. Ez megint az els® eset.

Tehát a nevez® a(−∞;1)és a(4;∞)intervallumokon nem negatív, ezen kívül negatív.

Az eredményeket érdemes egy újabb ábrán összesíteni:

(27)

1. hét Lovics