Day, Richard H.: A termelési lineáris programozási modellek aggregálása

212 !, ,

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYÉLD'

_; iPAxRSTATlSZTI KA

DAY, RICHARD H.:

A TERMELÉSI LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI MODELLEK AGGREGÁLÁSA

(On aggregating linear programming models of production.) —- Journal of Farm Economics.

1963. 4. sz. 797—813.9.

A cikk azonos népgazdasági ágazatba

tartozó vállalatok lineáris programozási

modelljeinek aggregálásával foglalkozik.

, Az aggregálás legelső előfeltétele, hogy

a vállalat termelésre irányuló döntései

lineáris programozási modellbe' foglal-

hatók legyenek. Figyelembe kell venni a lineáris programozás ún. duális ter—

mészete't, ami azt jelenti, hogy minden

maximÉm—feladathoz egy ,,duális" mini—

mum—feladat tartozik és viszont A _cikk azt kívánja bebizonyítani, hogy az agg-

regátum' alapján készített lineáris prog—

ramozási modell bizonyos feltételek mel—

lett egyenértékű az egyes vállalatok kü- lön elkészített egyéni lineáris programo—

zási modelljeinek aggregációjával. Ezt az egyenértékű eredményt a következő .fel—

tételek biztosítják: szükséges,

forrásai, valamint meghatározott visel- kedésük, termelési döntésük alakulása egymással arányos legyen; ugyanez áll az aggregátumban szereplő vállalatok várható jövedelmei tekintetében "is; to—

vábbá Szükségesek közös technikai koef—

ficiensek, melyek a vállalatok döntését

befolyásolják.

A kutatónak, aki az aggregátum rá—

fordításait vagy kibocsátásait, a várható ' árakat kívánja felbecsülni, választania kell az elemzés makro- és mikroanali—

tikus módszere között. Az előbbi köny—

nyebben valósítható meg, de nem ad v'i—

lágos képet külön-külön a modell dön- tési egységeiről. A mikroanalízis" mód-

szere sokkal inkább képes, hogy kifeje-

zésre juttassa azokat a technológiai, gaz- dasági és társadalmi erőket, amelyek a gazdasági egyseg (a modell komponense) viselkedését meghatározzák. "A' kompo—

nensek,, mikromodellek nagy száma vi— ' szont lehetetlenné teszi a részletekbe menő mikroanalízis alkalmazását. 7A

mikroanali'zis egyik módszere az, hogy a vállalatok lineáris programozási mo-

delljei segitségével igyekszik akár re- gionális, akár nemzeti szintű aggregáció

elérésre. Ebben az esetben a vállalatok aggregátumát egyetlen lineáris progra—

mozási modellel lehet reprezentálni.

Ez felveti a kérdést: mekkora hason—

lóság szükséges a modell't'alkotó ;kom—

ponensek között ahhoz, hogy egyetlen

§ hogy az

aggregátumban szereplő vállalatok erő-

:

aggregált modellel lehessen kifejezni az

_egyes komponensek döntési problémáit is, torzítás nélkül. Figyelembe véve *a lineáris programozás duális természetét, ,.

szerző azon az állásponton van, hogy az

aggregátum komponensei a nagyságrend—*

és a várható tiszta jövedelem tekinte-_

tében igen széles körűen változhatnak.

feltéve, hogy a változások egymással.

Adott esetben a vállalat duális line-

áris programja a következőképpen írható, ,

fel:

a célfüggvény: n* : max szr lla]

aminek feltétele: Ba: § c; [lb]

a duális probléma: 9* ::min cTr, /2a/

aminek feltétele: BTr ; z; , [%f

A duális program akkor oldható meg ' ac*—re és r*—re, ha x* megfelel a fenti

/1b/ és r a /2b/ alatti feltételnek, tehát:

ne : szu: : cTr* ___ 9* ' [3/

Az alkalmazott jelölések a következő

fogalmakat jelentik: B olyan matrixot

jelent, amelynek oszlopai az egyes vál-

lalatok tevékenységét és termelési eljá-

rásait reprezentálják, sorai a gazdasági

ráfordításokat az oszlopok koeffiéienseia termelés egységéhez szükséges ráfordí—

tásokat. A ,,c" vektor komponensei erő- forrás—kapacitást jelölnek, míg a ,,z"

vektor komponensei a várható tiszta ho- zamot a különféle eljárások változó költ- ségtényezőinek megfelelően. A vállalat

technológiai lehetőségeit és korlátozott-

ságait az /lb/ alatti kifejezés tünteti fel,

_míg az eljárásoknak maximális jövede—

lemre irányuló törekvéseit az lla/ alatti kifejezés foglalja magában. Fel kell tenni továbbá, hogya kibocsátás árai függetlenek az egyéni vállalatok terme—

lési döntéseitől. A T jelölés a matrix

transzponáltját jelenti.

A megoldás vektorai: ac* és r* képvi—

selik a duális program optimális meg—

oldását, mely tehát a maximális tiszta

jövedelem mellett a minimális erőforrás- felhasználást biztosítja.

A dualitás elméletéből következik, hogy

ha például két vállalatról van szó, amennyiben a két vállalat korlátozó fel—

tételei valamilyen arányban álllnak egy—

mással, továbbá a várható tiszta iöve- delmük is arányos, akkor a második

vállalat primális és duális optimumprog—

ramja is proporcionális része az első

vállalat programjának.

A probléma az, hogy kimutassuk, mi- lyen feltételek mellett egyenlő az agg—

arányosak *

ili _

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYELÓ

213

regátum programja az egyes vállalatok optimális programjáygl: milyen feltéte—

lek mellett egyenlő M; Ez,-*.

A következőkben a' szerző erre tekin-

tettel a homogeneitás néhány esetét

veszi szemügyre: a homogeneitás lehet technológiai, intézményes és pénzügyi, a- szerint, amint a termelési eljárás mat- rixa, az erőforrások vektora vagy a vár-

ható tiszta hozadék vektora homogén.

Megállapítható, hogy az aggregátum fel—

építéséhez nem szükséges, hogy az agg- regátum kizárólag homogén elemekből

álljon. Elégséges lehet, ha az aggregá—

tum technológiailag homogén, de egyéb

tekintetben proporcionálís. Az aggregált

modell megoldásának előfeltétele, hogy

az aggregátumban szereplő vállalati mo—

dellek közül legalább egynek legyen op- timális megoldása, valamint hogy az aggregátum optimális programja az egyes vállalatok optimális programjának sum—

mája legyen. Az aggregátumban foglalt

célfüggvény mindamellett a komponens

Vállalatok várható nettó hozadéka vek- torainak igen széles körű variációit en—

gedi meg, feltéve, hogy arányban áll az egyéni vállalatok célfüggvényével.

Lényeg tehát az, hogy a lineáris prog- ramozás aggregálása nem követeli meg

a komponens vállalatok teljes homoge—

neitását; az erőforrások és a nettó jö—

vedelem vállalatonként igen különböző lehet; viszont arányosan heterogénnek kell lennie. Ez eléggé gyakran elő il

fordul: 'a várható árak, a hozam- és :;

ráfordítási együtthatók vállalatonként különbözők lehetnek, csak változásuk proporcionális legyen.

A technikai adottságok mellett további

; alapot szolgáltathatnak az egyes válla- latok aggregálása tekintetében a kor—

mányzat által a vállalatokra kirótt kü—

lönféle ' termelési feltételek (például

mezőgazdasági üzemegységeknél a vetés- terület _ nagysága tekintetében, vagy

* egyéb tekintetben); ezek bizonyos szem—

pontból korlátozó feltételként érvényesül- nek.

HangSúlyozni kell továbbá, hogy az aggregátumban szereplő vállalatok veze-

tőit nem kizárólag a fizikai adottságok figyelembevétele vezeti ,ter'melésre irá—

nyuló döntéseikben. Gyakran előfordul, hogy kisebb vállalatok ügvviteli dönté—

sei nagyobb vállalatok döntéseihez al—

kalmazkodnak vagy kifejezetten utá—

nozzák ezeket, vagyis a nagyobb válla—

lat a kisebb számára modellül szolgál,

Ilyen esetben nagyobb lehet az egyönte- tűség mintha a vállalatok kizárólag a

tevhinikai és egyéb adottságok alapján

döntenének.

Még egy szempontot figyelembe kell venni az aggregációnál: azt, hogy az agg—

regáció hatása nem okozhat torzulást _a

komponensekben, másrészt: az aggregált lineáris programozási modellt nem te—

kinthetjük töbMállalatból alkotott ,,nagy

cég" modelljének. Az itt érvényes alap—

vető feltevés az, hogy sok' önálló vál—

lalatról van szó, ahol az árak (és a

tiszta jövedelem) várható szintje függet- len az egyéni cég ráfordításaitóli és ki—

bocsátásaitól; egyetlen nagy monopolista

vállalatnál nem ez a helyzet: itt az árak és a kibocsátás szorosan összefüggnek

egymással. A kettő között a különbsé—

get nem a jövedelem maximálissá téte—

lének szándéka teszi; ez mindkettőre jellemző lehet, —— a különbség az, hogy a monopolista nagyvállalat termelési

döntései révén a Várható árakat jelen—

tékenyen befolyásolhatja.

A mondottakat a következőkben fog—

lalhatjuk össze: a lineáris programozási

modellek aggregálásának több előfelté—

tele van; ezek a komponensek és az agg—

regátum között bizonyos arányosságot követelnek meg; így egyes korlátozott

változók tekintetében, valamint a vár- ható tiszta jövedelem terén, ami

fordítás—kibocsátási matrix arányos va- rációját, akár a várható árak proporcio- nalitását jelentheti. Az aggregált mező- gazdasági modellek rétegezik a vállala- ,

tokat: ez különböző alapon végezhető.

Szerző azt ajánlja, hogy a rétegezés

széleskörű mintavétel alapján történjék.

Megállapítja, hogy a jövőben a mező—

gazdasági egységek nagyobbfokú aggre-

gációjára van szükség a termelési mo—

dellekben, mint eddig. Ezt a technikai

előfeltételek azonossága mellett az azo- nos vállalati döntések is elősegíthetik.

Leginkább a gyakorlat mutathatja meg, hogy esetenként mekkora szintű aggre—

gációra van szükség. Lehetőség van kü—

lönféle vizsgálatokra is, amelyek meg- határozzák, hogy az aggregácíóval meny—

nyire férnek össze a korlátozó tényezők

és a tiszta jövedelem nem arányos vál—

tozásai, a kompo—nensekben és az aggre- gátumban; így kikísérletezhető a pro—

porcionális ,,heterogeneitásnak" az a foka, amely egyes aggregátumok esetében még eltűrhető.

Végül szerző azt a következtetest vonja le, hogy az aggregáció szempontjából

az említetteknél kevesebb és kevésbé ,,korlátozó" feltételeket bajosan lehet—

ne felállítani; az általa ajánlott feltéte—

lek tehát ilyen szempontból minimális

programot jelentenek

(Ism.: Nyáry Zsigmond) arár'