A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS ELMÉLETE ÉS MÓDSZERTANA MATEMATIKAI STATISZTIKA
BERGSTRÖM, A.—CASSEL, P. G.:
TERMELÉSI FUGGVÉNYEK BECSLÉSÉRE ALKALMAZOTT LINEÁRIS És
NEM LINEÁRIS REGRESSZIÓS ELJÁRÁSOK
(Linear and non-linear regression techniuues applied on estimation of production functions.) —- Szalma]:
Tidslcrm. 1968. 2. sz. 102—108; p. ' ' '
A termelési függvények valamely gazdasági tevékenység output—jának a termelőtényezők input—jával való összefüggését vizsgálják.
Bizonyos esetekben egyszerűen a gazdasági tevékenység leírására használják őket esz- közül, máskor egy komplex gazdasági modell részét képezik. A szerzők, főleg abban látják alkalmazási lehetőségüknek újabb szféráját, hogy a statisztikai hivatalokban, ahol a válla-
latokra " és az egyes iparágakra vonatkozó adatok, valamint nagykapacitasú számoló- gépek is rendelkezésre állnak, az iparstatisz- tikai adatközlés integráns részét képezhetik.
A szerzők kétféle termelési függvény para- méterbecslésére szolgáló eljárást vizsgálnak.
Az egyik a Cobb—Douglas—féle függvény, a masik a CES (Constant Elasticity of Substi- tntion) függvény. Hangsúlyozzák, hogy bár a
termelés a vállalaton kívülálló, sok exogén
tényezőtől is függ a hagyományos termelő- tényezőkön kívül, s ennek figyelembevételére komplex modellekben meg is van a lehetőség, itt és most azonban, ezektől a szempontoktól _ eltekintenek. így a termelés keresleti ténye- zőktől való függőségének vagy a piaci hatá- sok befolyásának vizsgálatára nem kerül sor.
A szerzők vizsgálatának anyagát az elektro—
technikai iparágba tartozó 60 vállalat 1964.
évi termelése (a hozzáadott érték) képezte.
Hallgatólagos feltételezés, hogy valamennyi vállalat termelése ugyanolyan termelési függ- vénnyel írható le.
A következőkben a cikk a többszörös linearis regressziós becslés technikáját tekinti át.
A regresszióegyenletben a függő változó (11) bizonyos számú aal, %,- . .,x függő változótól
és ugyanannyi bl, bg, . . . , b", paramétertől függ.
A sztochasztikus hatásokat az ml, mg,. . .xn—től független a változó juttatja kifejezésre, mely-
nek átlaga zérus és standard eltérése o'. A pa- raméter-becsléshez y változó n számú megfigye—
lésére van szükség. A regresszióegyenlet mat- rix formában történő felírásara és a független változó paraméterének becslésére az ismert formulákat alkalmazzák a szerzők. *
A Cobb — Douglas-függvény általános alakja:
velem"; x%,
A CES függvénye pedig:
1
y:)![öwf'z * (l—öwm 9 .
'Mihdkét függvényben az y függő változó jelenti a termelést, 371 a termelésbe fektetett tőkét és a:, az élő munkát. Ugyanakkor az állandó termékgörbe (constant product curve)
alakja *
aholgg ——-1.._
f(xvrcz) : állandó.
A kifejezés differenciálása a következő alakot adja:
f'xldm, 4-f'x2dx, : 0, s így az állandó termékgörbe deriváltja:
dx, f'acl
da;1 f'w,
A derivált függvény abszolút értékét neve—
zik helyettesítési határhányadnak (marginal rate
of substitution). így tehát:
dara _ f'm,
T:—
dwl fara
ahol r azt mutatja, hogy xz-ből milyen mennyi- ségre van szükség ahhoz, hogy a termelés változatlan maradjon ml termelőtényező egyA ségnyi csökkenése esetén.
Az r növekedése a helyettesítési elaszticitás fogalmával mérhető, melynek formulája:
d 5.2 x) % ist:l mi
__ dr/r
STATISZTIKAI IRODALMI FIGYELÓ
95
A következőkben a szerzők a nem lineáris kapcsolat becslésével foglalkoznak. Míg a line- áris függvény paraméterei a normálegyenletek megoldása révén könnyen nyerhetők, a nem lineáris összefüggéseket kifejezésre juttató paraméterek becslése nehezebb feladat, mely ezeknek egyenként történő vizsgálatát teszi szükségessé.
Ha f(x, p) kifejezés akár a Cobb—Douglas, akár a CES függvénytjelölí, akkor a: : (271, meg);
és p : (lc, a, ff), illetve CES függvény esetén p : (y, 6, g) vektorok. A paraméterek megha- tározására a szerzők kétféle lehetőséget látnak.
Az első esetben szükséges feltétel. hogy ]. elő lehet állítani olyan po paraméter—
kombínáeiót, amely mellett a függvény értéke szorosan megközelíti az y megfigyelt értékeit;
2. apo-ra vonatkozó 79; becsült érték Taylor- sorral legyen leírható, azaz a szerzők jelölése szerint:
f(w, 10) am, pg) * gradp f(w, pa) - Azon,
amikor 4270 : (11101, Apz. . .) a normál egyen—
letek alapján nyerhető. A (pri-Apa) kifejezés- nek a Taylor-sorba való helyettesítése útján iteratív eljárás segítségével po kiszámítható.
Mindennek előfeltétele azonban, hogy 10; jó becslése legyen po—nak.
A másik esetben nincs szükség Po előzetes
becslésre, csak az 1. alatti feltétel teljesülésére.
Ez pedig a következő kibővített folyamatos függvény segítségével érhető el:
T(f) : T(yH-(f—y) TTE/HED
ahol R! a reziduumot jelenti. Ezt a következő képlet alapján határozzák meg:
;: (f—yF
R: T,[y "F G(I—y)]s
ahol 9 értéke 0 és 1 közt helyezkedik el. Ebben az esetben szükséges, hogy RB súlya a formulá—
ban szereplő egyéb értékekhez képest elhanya- golható legyen.
A T helyes megválasztása arra vezet, hogy az ismeretlen paraméterek nagyobbrészt line—
áris alakra hozhatók, értékük a normálegyen- letek megoldása alapján nyerhető. A nem lineáris paraméterek értékét egyenként kell meghatározni úgy, hogy a paraméter-tér leg- alább egy 710 pontjára nézve a reziduum mini—
mális legyen. A Cobb—Donglas-függvény ese—
tén T : logf. a CBS függvény esetén T :: f*G.
Ennek a transzformációnak a felhasználásával a Cobb— Douglas—függvény esetén a következő regressziós összefüggés írható fel:
legy :: log lc-l—oc log ra,-i-Blog TZ, ahol
__ __ —— (f — y)2
?ly ,L G(f— y)]2
A CES függvény transzformációja:
rear"? ával—gr y—GU —ö)w;9,
ahol
— (f—yfem 1)
* " 2[y*0(f—y)19*2
A 60 vállalat aggregátumára kidolgozott Cobb—Douglas-függvény esetében a szerzők a—l—B-l—B : 1,1 értéket, CES függvény eseté- ben 9 : O,8 értéket kaptak. Egyébként a többi paraméter értéke a két függvény esetén lénye- gesen eltért egymástól.
(Ism.: Nyár-y Zsigmond)
GAZDASÁGSTATISZTIKA
DAVIDOVICS, B.—NAZAROV, R.:
A FIZETÖKÉPES KERESLET ELÓREJELZÉSE És A STATISZTIKA
(Prognozirovanie platezseszposzobnogo szprosza i sizistatgaztika.) — Veezmik Sztalisztikz'. 1968. 6. sz. 23—-
A lakosság fogyasztási cikkekre irányuló keresletének összvolumenét a sokéves terve- zési gyakorlat a lakosság pénzj övedelmeinek és kiadásainak mérlegéhez kapcsolódóan hatá—
rozza meg. A kereslet és kínálat egészének egyensúlya azonban még nem biztosítja. egy- szersmind szerkezetük egyensúlyát. Szerzők szerint a feladat olyan módszerek kidolgozása, amelyekkel megfelelően meghatározható a lakossági kereslet szerkezetének változása a
folyó időszakra, valamint a közeli és távolabbi
tervidőszakra vonatkozóan is. A kereslet prog—
nózisa két szakaszból, passzivból és aktívból
áll: a ,,passziv" szakasz arra ad választ, hogy a múlt és a jelen fogyasztási és keresleti adatokból kiindulva milyen kereslet várható a jövőben a jelen időszak fejlődési tenden- ciáinak érvényesülését feltételezve. Az ,,aktiv"
prognóziskészítés szakaszának feladata a ke- reslet-változás alternatív változatainak kivá.- lasztása és kiszámítása, amelynek során meg- határozzák a tényleges fogyasztás és a racio- nális fogyasztás közötti átmenet lehetséges útjait és időpontjait, valamint az ilyen átme- net különböző útjainak hatékonyságára vonat—
kozó becsléseket.
Szerzők szerint a. kereslet szerkezetének
részleteiben való meghatározására létreho—
zandó mutatórendszernek tartalmaznia kell:
a) a lakosság árukereslete ősszvolumenére vonatkozó mutatókat,
b) a lakosság árukereslete szerkezetének mutatóit,
