BME VIK - Valószínűségszámítás B 2022. március
Gyakorló feladatok zárthelyi dolgozatra készüléshez
1. Legyenek azA és B független események, C pedig mindkettőjüket kizáró esemény. Tegyük fel, hogy P(A) =P(B) =P(C) =13. P
A∩B∪C=?
2. Egy tesztelés alatt lévő gyártóeszközről kiderül, hogy a vizsgált gyártmány 0,15 valószínűséggel anyag- hibás, 0,3 valószínűséggel mérethibás, és 0,2 valószínűséggel felületi hibás. A hibák páronként függet- lenek, de együttesen nem: 0,02 valószínűséggel egyszerre következik be mindhárom hibatípus. Mennyi a valószínűsége, hogy egy termék hibátlan?
3. Egy vizsgán a vizsgázók 75%-a A szakos, 15%-aB szakos, és 10%-aC szakos. Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy egy hallgató ötöst kap, azAszakosok esetében 0,4, a B szakosoknál 0,7, és aC szakosoknál 0,6. Ha egy személyről tudjuk, hogy ötösre vizsgázott, akkor milyen valószínűséggel lehet
a)A, b) B, c)C szakos?
4. Egy programozó munkaidejének 13-át kollégákkal való egyeztetéssel, 35-ét az új kódok írásával, a fenn- maradó időt régi kódokban való hibakereséssel tölti. Új kódok írása közben 50% valószínűséggel, a régi kódokkal való foglalkozás közben pedig 25% valószínűséggel hallgat zenét. Egyeztetés közben ter- mészetesen nem hallgat zenét. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy ehhez a programozóhoz véletlenszerűen bekopogva nem hallja meg a kopogást, mivel épp zenét hallgat. (A programozót csak munkaidőben próbáljuk felkeresni, és tudjuk, hogy zenehallgatás közben sosem hallja meg a kopogást.) 5. Két urna közül az egyikben 5 zöld és 7 kék, a másikban 3 zöld és 8 kék golyó van. Az elsőből találomra átrakunk egyet a másodikba, majd onnan átteszünk egyet az elsőbe. Mi az esélyünk kék golyó húzására, ha a) az első b) a második urnából húzunk?
6. Egy urnában van egy piros és egy kék golyó. Kétszer húzunk, és minden húzás után visszarakjuk a kihúzott golyót és még egy vele megegyező színű golyót. Mi a valószínűsége, hogy két húzás után két piros és két kék golyó lesz az urnában?
7. A [−1; 1]×[−1; 1] négyzeten választunk egymás után (egymástól függetlenül, egyenletesen) véletlen- szerűen 14 pontot. JelöljeX az origó középpontú egységkörbe eső pontok számát. Mi az X eloszlása és várható értéke?
8. Egy kosárba próbálunk bedobni egy papírgalacsint. A találat valószínűsége minden próbálkozásnál 0,2 (a többi próbálkozástól függetlenül). Mennyi a szükséges próbálkozások átlagos száma? Ha az első találat után tovább próbálkozunk, várhatóan hányadik dobásra találunk be másodszor?
9. Béla egy 52 lapos kártyapakliban (amiben eredetileg nincs joker) néhány lapot jokerre cserélt. Amikor valaki felhívja telefonon, húz két lapot ebből a pakliból, és ha mindkettő joker, akkor 12 eséllyel felveszi a telefont (minden egyéb körülménytől függetlenül). Ha más lap-párt húz, akkor biztosan nem veszi fel.
Ezt minden hívásnál végrehajtja, a paklit minden alkalommal (a húzott lapokkal együtt) újrakeverve, a jokerek számát és a pakli méretét közben nem változtatva. Hány lapot cserélt jokerre Béla, ha átlagosan 34-szer kell felhívni, mire először felveszi?
10. Válasszunk ki egy pontot véletlenszerűen az egységnégyzetben. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a pont közelebb van a négyzet egy oldalához, mint egy átlójához?
11. Tekintsük azt azf valós függvényt, amiref(t) =α·t4, hat∈(2; 3), és 0 egyébként. Milyenαparamé- terérték mellett lesz ez sűrűségfüggvény? Adjuk meg ebben az esetben a megfelelő eloszlásfüggvényt.
JelöljeX a sűrűségfüggvényhez tartozó valószínűségi változót. MennyiP(X >12) illetveE(2X)?
12. Legyen X olyan folytonos valószínűségi változó, melynek eloszlásfüggvénye egy α ∈ (−1; 1) valós számra:
FX(t) =
0 ha t≤ −1
1
2(t+ 1)2 ha −1< t≤α 1−12(t−1)2 ha α < t≤1
1 egyébként
Határozzuk meg a) X sűrűségfüggvényét, b) azα paramétert, c)E(X) értékét.
