Determinációs együtthatók meghatározása nem lineáris függvénykapcsolat esetén

DETERMINÁCIÓS EGYUTTHATÓK MEGHATÁROZÁSA NEM LINEÁRIS FUGGVENYKAPCSOLAT ESETEN

VlNCZE MÁRIA

Számos probléma vizsgálata során. amikor több különböző fajta jelenség együttesen változik. szükségessé válik annak eldöntése, hogy az egyes tényezők milyen mértékben befolyásolják az eredmény átlagos változását. Több különféle módszer ismert e feladat megoldására. Abban a speciális esetben, amikor az e- redményváltozó az egyes meghatározó tényezők szorzataként vagy hányadosaként írható fel. és két időpont, illetve térbeli pont adatainak összehasonlítása alapján kell meghatároznunk, hogy az egyes tényezők változásai milyen mértékben befo—

lyásolják az eredmény változását, akkor az abszolút vagy viszonyszámokxból

számitott statisztikai indexekkel dolgozhatunk. Lényegében minden indexszám

több jelenség együttes. átlagos változását kifejező mutató. lgy például valamely termék vagy termékcsoport árának és volumenének együttesen történő változása a termelési érték változását idézi elő. Bármely elemzésben azonnal adódó kér—

dés.'hogy az érték változását milyen mértékben határozza meg az ár és a volu—

men egyedi különálló változása.

Ha több adatból. esetleg egész idősorból kiindulva végezzük az elemzést,

és ha elegendő az adatok páronkénti összehasonlítása, akkor indexsorokkal dol—

—gozunk. ha viszont az összadatsor átlagos jellemzése a cél, akkor a statisz-

tikai indexek nem alkalmasak a feladat megoldására.

A variancia—an-alízis során egy (adathalmaz tel—jes variancióját bontjuk kom- ponensekre abból a célból, hogy megálla'pithassuk: az adatok va—rianciáját mi—

lyen arányban okozták az egyes hatások és kölcsönhatások, illetve milyen jelentő—

ségű a véletlen hiba.

A regressziós analizisben a parciális regressziós és korrelációs együtthatók

meghatározásával nyílik lehetőség az egyes tényezők hatásának mérésére.

Nyilvánvaló, hogy a tényezőkre bontás módszere nem lehet minden terü- leten, minden elemzésben azonos. a módszernek meg kell felelnie a vizsgált je- lenség természetének és a fennálló kapcsolatok jellegének.

A feladat körülhatárolása

Az alábbiakban ismertetett módszer -— mely lehetővé teszi a determinációs

együtthatók kiszámítását - csak egy jól meghatározott problémakörre érvényes.

tehát elsősorban azokat a feltételeket kell tisztáznunk. melyek fennállása ese- tén a bemutatásra kerülő módszer alkalmazható. A feltételeket (a következőkben foglalhatjuk össze.

7 Statisztikai Szemle

332 VINCZE MÁRIA

1. A vizsgált jelenség változása n számú tényező segítségével leírható, va—

gyis az xo eredményváltozó az xi, xz, . . ., x,, tényezők egyértelmű függvényeként adható meg, ahol a függvénykapcsolat analitikus formája:

xozf(xl,x2,...,xi,...,x") /'l/

Az /1/ összefüggés a független változók valamely (xii, x2i' .... xnj) értékhel- mazához hozzárendeli az xoj függő változó jól meghatározott értékét, vagyis az x,;

értékek számítási képleteként fogható fel. Más szavakkal kifejezve az /1/ képlet nem regressziós egyenlet, nem sztochasztikus kapcsolatot fejez ki. hanem deter—

minisztikus függvény.

2. A változók értékei csak véges számú pontban ismertek, a ható tényezők gyakorlatilag ismert értékei

le,x2j-'"',xij'""9xrzj (jzl,2,...,N)

egy N elemű minta adatai. Ezek ismeretében, az /i/ függvénykapcsolat alapján az Xci értékek is meghatározhatók.

Az elemzés kiinduló adatai a következők:

xl xz . . . xi . . . xn xO

xu xm xil xnl xm

xm xzz xi2 xn2 xoz

xlN sz xiN an xozv

3. Minden x,— változó külön-külön mennyiségi sort alkot, melyet jellemez az átlag és a szórásnégyzet, azaz az x; és az síi értékek 021, 2, . . ., n).

A feladat az, hogy adott N elemszámú minta adatai alapján értékelést ad—

junk az egyes tényezőknek az eredményre gyakorolt hatásáról, a hatás mérté- kéről. lgy például, ha egy termelési ág szintjén — N számú üzem adataiból ki- indulva — elemezni kívánjuk, hogy valamely aggregált mutató üzemegységen- kénti változását (melyet az xo szórósnégyzetével mérünk) milyen mértékben ha- tározzák meg az adott mutató további felbontásából kapott tényezők, illetve azok változásai külön—külön, akkor a determinációs együtthatók kiszámításához folya- modunk. Ilyen típusú összefüggés van például az önköltség és a költségelemek között vagy több termék együttes termelési értéke mint eredményváltozó és az egyes termékek egységára, valamint termelt mennyisége mint meghatározó té—

nyezők között.

Az évi bérköltség (B). a lekötött eszközök értéke (E) és a nyereségmutató (R) között (a az előírt bérszorzó) az alábbi összefüggés áll fent:1

Ha N számú azonos termékeket gyártó üzemegység viszonylatában a fenti adatok ismertek, akkor mennyiségileg kifejezhető. hogy a nyereségmutató átlagos

1Részletes kifejtését lásd Kónya István tanulmányában (2).

DETERMI NÁCIÓS EGYUTTHATÓK 883

változását adott statisztikai sokaság esetén milyen mértékben határozza meg az évi bérköltség. illetve a lekötött eszközök értékének változása.

Az eredményváltozó és a meghatározó tényezők közötti kapcsolat természete

A mennyiségi jellemzést megelőzően az adott jelenség lényegi összefüggései—

nek ismeretében elméletileg tisztázni kell a jelenségek közötti kapcsolatok termé—

szetét. Ha'az xi, X2, ..., x,, tényezők közvetlenül befolyásolják az xo változását, akkor a hatások szemléltetésére a következő ábrázolási módot alkalmazzuk:

/ ZZ)

XX"

A ható tényezők egymás közötti korrelációs kapcsolata nincs kizárva. adott eset- ben ezt kétirányú nyíllal jelöljük.

Ha egyes változók hatásukat közvetve fejtik ki. akkor —— a nyilak minden eset—

ben a függő változó, illetve változók irányába mutatnak — a következő típusú hálódiagram jellemzi a kapcsolatokat:

A

4—————— Xm 4————— XDWZ

. u , .

XP."—

b /

XZ *—

Xa :

X/m

Ál

xhe—É— x; xm : x,,

Azokat a változókat, melyek más ható változók függvényében kifejezhetők, a modell endogén változóinak nevezzük. Ábrázolásunkiban ezek xo, X], .... xm. Az xm Jr 1, ..., xu pedig exogén változók. melyek nem függne-k további, más ténye- zők változásától. Attól függően. hogy milyen úton érvényesül a tényezőknek az , eredményváltozóra gyakorolt hatása, az alkalmazott módszer is eltérő. Az ábrán feltüntetett esetben mint az ábrázolás módjá—ból is szemléletesen kitűnik -— az xo eredményváltozó csak közvetetten, többszörös áttételeken keresztül függ az -m JA, x," ez, ..., x,, exogén változóktól. s közvetlenül csak az xi. xz, ..., xhvál—

tozólktól függ. (Továbbiakban az ábrán alkalmazott jelölésektől eltekintünk.)

7—

884 VINCZE MAMA

A függő változó varianciáiának felbontása

A felvetett probléma megoldása lényegében az 57250 szórásnégyzet összete—

vőkre bontásán alapszik. mégpedig az egyes közvetlenül ható tényezők varian—

ciájának függvényében. A felbontási képlet levezetése arra a feltételezésre épül.

hogy az xo : f (xj, ..., xm) függvény az M :: (xi. ..., xi . ..., xm) pont. kör—

nyezetében folytonos és folytonos parciális deriváltakkal rendelkezik. Ezek a hi—

potézisek nem szűkítik le a módszer alkalmazhatósági területét. a gazdasági

problémákban felmerülő összefüggések ugyanis általában kielégítik ezeket __a fel—

tételeket.

Kiindulv—a az m számú változót tartal—mazó függvény Taylor-formulájából.

és ezt alkalmazva az eredményváltozó varianciájának kiszámításánál. az alábbi közelítő összefüggés vezethető le (lásd a Függelékben):

NZ m _) 2

__ Él s..

s , —— LJ f (M) 3 —l—

0 is 1 xi xi h 2 fix (Mm (M) ex x /2/

,k:1 h k h k

h % k

ahol:

fác,(M)— az xv :Hxí, ..., xm) függvény xíszerinti parciális deriváltjának helyettesítési

! ,,,,, ,, ,,

értéke az M (xi, x2, ..., xm) pontban,

2 , , , , ,

3in — az xi valtozo szorasnegyzete.

sthk - az x,! és xk változók közötti kovariancia.

A felbontási képletben az első m tag az egyes tényezők különálló változását

jelzi, azután pedig a tényezők páronkénti kovariáns változásait kifejező

tagok szerepelnek. Ha a feladat természete szükségessé teszi az egyedi és páros hatások mellett a többszörös és magasabb rendű hatások mérését is.

akkor a /2/ képlet kiegészíthető ezen momentumokat tartalmazó tagokkal is, a

kívánt pontosságig.

A determinációs együtthatók értelmezése

A determinációs együtthatók olyan viszonyszámok. melyek az egyes tényezők eredményre gyakorolt relatív. közvetlen hatását mérik, mennyiségileg jellemzik. mi—

lyen átlagos arányban oszlik meg az összhatás a tényezők között. Ebben a sza- kaszban csak azt az esetet tárgyaljuk, amikor a vizsgált modellben csak közvet- lenül ható exogén tényezők szerepelnek. A több endogén változót is tartalmazó, általánosabb esetre csak a következő szakaszban térünk ki.

A változók együttes hatásának felbontása. szétosztása az egyes változók kö—

zött, azaz a de'terminációs együtthatók értelmezése többféleképpen — lásd a kö- vetkezőkben — is lehetséges.

1. Ha a teljes hatást a tényezők egyedi hatásainak összegeként fogjuk fel, tehát a közvetett hatásokat is az egyes változóknak tulajdonítjuk, és a determi- nációs együtthatókat úgy tekintjük, mint a változók közvetlen és közvetett -- e- gyüttes -— hatásainak mértékszámát. akkor az így értelmezett determinációs együtt— '

hatók között az alábbi összefüggés áll fenn:

)? dm. .——- 1 /3/

DETERMINACIOS EGYUTTHATÓK 885

2. Ha a tényezők páronkénti korrelatív hatását elhatároljuk ezek egyedi. köz-

vetlen hatásaitől. akkor o determinácíós együtthatók a következő összefüggést

elégítik ki:

"L (2 m (2)

3. A .,hatósfelbontős" tovább is finomítható. a tényezők hármankénti, né—

gyenkénti, közös hatása is elkülöníthető. és a teljes hatás a következőkép- pen bontható fel:

m m m

d d , _ :; 5

131 %d%%—aga **O'xixkl "li1.Z..im_1:1dx0'*iíxlz-"xím—1 1 //

Ezen értelmezés a legexplicitebb, de gyakorlati problémáknál az elemzés ilyen mélysége általában nem szükséges, sőt nehezen ínterpretólható eredmények- re vezet. Ha a feladat megköveteli ezt a részletezést, akkor az eredményvóltoző variancia—felbontósóbwan is tekintetbe kellvennünkatöbbszöröskorrelatív kapcso- latokat is. és ennek alapján számítjuk a megfelelő determinációs együtthatókat.

A következőkben a /3/ és a /4/ összefüggések alapján értelmezett determi—

nácíós együtthatók számítási képleteit adjuk meg:

72 2

du-n ___ ,1923

"90 1'i m 2 :; /61/

2 2 m '

fxi 92351 * kz: lfxi 92ka (M) sxixk

da . 2) : , k;áí MMM /62]'

xo xi Nz

Six)

és

(2 _ 1) ff; (M) si

dxo xi : ,315 V /71/

Sxo

f:..(le; (MM..

. 4, k 3" xk . .

dfo xilgk: 3,_3,;5331_,_ (;, k: 1, 2, m; mh) ,72/

sw

ahol:

m _ --

dle-D — lényegében azt mutatja meg. hogyan oszlik meg ( Z f*íh (M) sík) osszes ' hatás az egyes tényezők között; " ; 1

(12 a:?) —— az összes közvetlen és korrelatív hatáshoz viszonyítja a tényezők egyedi köz- 0 ' vetlen és korrelatív hatását;

dí? a?) — az egyedi közvetlen hatásnak a hányadát méri az összes közvetlen és korre-

0 ! latív hatásból;

dízo inLk — a két tényező (xi , xk) együttes hatásának relatív mértéke.

886 VINCZE MÁRIA

Ha a determinációs együtthatók kiszámításánál viszonyítási alapul az ered—

ményváltozó tényleges szórásnégyzetének értékét vesszük, és nem a /2/ képlettel

számított közelítő értéket. akkor szükség van a magasabb rendű tagok elhanya—

golásávai létrehozott relatív hiba előzetes becslésére:

e : N.,—_." ,,

sz /8/

to

Ha ez az érték elhanyagolhatóan kicsi az egyedi és páros hatások összegé—

hez viszonyítva, akkor az alábbi képletek szerint számított determinációs együtt-

hatókra is teljesülnek közelítőleg a /3/. illetve /4/ feltételek:

.2 2 "i . , ,

fxi (Misxi t 152; 1fxiíM) kaíM) stim

di! - 3) * hec—i

M

m Xi , _, 2

8—70

92 2 a

de - 2) : f*t(M)s*

_{*0 ffi}

2

/loi/

Sxo

_ .fj—.(M).f' (MN . .v

( És) 8237: :: ———x—l— f Hm—xkz'f —— ",xlftlt, (i, k : 1, 2, . . . , m :i ?!: k) 1/102/

sx0

Közös és jellegzetes vonása ezen együtthatóknak, hogy az eredményváltozó teljes variancíáját bontják fel a tényezők között.

Megjegyezzük, hogy (: díjakba dagi) képletekben a kovariáns hatást mérő

tagoknak egyenlő módon való elosztása a két változó (x,- és xk) között hibalehe—

tőséget rejt magában. Az xi-nek az xk-n keresztül az eredményváltozóra kifejtett hatása ugyanis általában nem egyenlő az xk-nak az x,-n keresztül az xo-ra gya-

korolt hatásával. viszont a képletben ezesket egyenlőknek tekintettük.

Ha az xi, xz, ..., xm változók páronkénti kovariancia értéke zéró. akkor:

l'] l'? 2-1 1—5 2'2

tilto-ti) : dío Xi ) : dá'oxi) es díox'ii) : (Ig/0 l'," ) /11/

Minden esetben a konkrét elemzési feladat természete dönti el, hogy melyik összefüggés alapján számítsuk a determinációs együtthatót. A hatásmechanizmus tisztázása szempontjából előnyös a /4/ képlet alapján értelmezett együtthatók ki—

számítása.

Az indirekt hatás mennyiségi jellemzése

A bemutatott képletek csak abban az esetben fejezik ki az eredmény válto—

zását meghatározó tényezők befolyási arányát, ha a tényezők hatásukat közvet- lenül fejtik ki. Ha a változók kauzális kapcsolatait leiró modellben több endogén Változó fordul elő, abból a célból, hogy az exogén és általában mindazon válto- zók, melyek hatásuk—at közvetetten, áttételek útján fejtik 1ki, hatásainak mértékét megbe'csülhessük, bevezetjük az ún. általánosított útegyütthatót.

DETERMINÁCIÓS EGYUTTHATÓK 887

A Wright által bevezetett .,path" analízis (6) (7) — mely a többváltozós elem- zésnek a többszörös regresszióra alapozott módszere — lineáris függvénykapcsolat esetén megoldást ad a tanulmányban felvetett kérdésre.

A determinációs és az útegyüt'chatók közötti alapösszefüggések -—lineáris eset- ben —— a következők:

__ Z dxg xi _ Pm xi

dxo xi xk : 2 PA'O xi pxo Xk rxixk /12/

7"

"'

igldxoxi—l— 2 (l :1

í,k:l '*'Oxixk

ahol:

pxo mi —- az xo és Xi változókat összekötő nyilhoz tartozó útegyüttható értéke,

rmixk — az x,- és xk változók közötti közönséges korrelációs együttható.

Az általánosított útegyütthatót úgy definiáljuk. hogy a /12/ összefüggéseket kielégítse, de — a lineáris esettel ellentétben — a determinációs együtthatók is- meretéből indulunk ki. és ennek alapján számítjuk az útegyütthatót:

"(21 1

Ha a tényezők közötti kapcsolatok iránya ismert. akkor a megfelelő előjellel dolgozunk, ha viszont nincs lehetőségünk eldönteni, hogy pozitív vagy negatív-e a két változó közötti hatás iránya, az útegyütthatók abszolút értékeivel számolunk.

Ily módon viszont csak a hatás erősségét jellemezhetjük, irányát nem.

A kapcsolati modell minden endogén változójára nézve meghatározzuk a köz—

vetlenül ható tényezők determinációs együtthatóit és az általánosított útegyüttható- kat. azaz minden egyirányú nyilhoz (vö. az előző két ábrával) hozzárendelünk egy pxg xhértéket. a kétirányú nyil—okhoz pedig a megfelelő korrelációs együtthatók ér- tékeit. Ezek ismeretében rátérhetünk a ,,path" láncok és a hozzátartozó értékek

kiszámítására. a

A ,,path" láncok — két változót összekötő nyilak bizonyos sorozata — meghatá- rozásához a következő szabályok írhatók fel (1):

—— ha korrelálatlan közös okok két vagy több hatást határoznak meg. akkor csak azok a nyilak érvényesek, melyek a hatásnál kezdődően először szembe. majd a nyíl irányába vezetnek;

—- az okok láncolatánál először a nyíllal ellenkező irányba haladunk, mégpedig any- nyi nyil mentén, amennyi csak lehetséges az irány változtatása nélkül, majd a további lé—

péseket fordított irányba tehetjük;

-- a korrelációkat két irányban érvényes nyilaknak tekintjük a ,,path" l'ánc azonban nem vezethet két vagy több egymás mögött előforduló korrelációs nyilon keresztül,

Az egyes láncok értékeit a megfelelő jellemzők — az út- és a korrelációs együtt-

hatók - összeszorzásával kapjuk meg.

Ahhoz, hogy valamely tényezőnek (oknak) az eredményre gyakorolt hatását mennyiségileg jellemezhessük, képezzük a két változót összekötő láncokat. és ezek értékeit összeadva nyerjük a keresett mennyiséget.

888 , ViNCZE MÁRIA '

A bemutatott módszereik lehetővé teszik az együttesen hatá tényezők szétvá—

lasztását, hatásuk mennyiségi jelelremzésé—t abban az esetben, amikor az ered—

ményváltozó a ható tényezők egyértelmű függvényeként fejezhető ki. Nagy számú tagból álló statisztikai sokaság esetén az eredmény átlagos változásának okait,

arányait elemezve a fenti képletek általános, viszonylag egyszerű módszert ad—

nak a kérdés eldöntésére.

Példák

A leírt módszer jobb megértése céljából bemutatunk két egyszerű. könnyen

áttekinthető feladatot.

1. Valamely üzemegységben csonkakúp alakú tárgyat esztergálnak. N számú mintadarab térfogati (xo) eltéréseit vizsgálva felvetődik a kérdés, hogy ezen elté—

réseket milyen mértékben okozzák a kisalap sugarának (xz). a nagyalap sugará—

nak (X3). illetve a magasságnak (x;) az átlagos eltérései. Ha az N számú minta—

darab mindegyikére meghatározzuk — részben méréssel, részben számítással - a

fenti jellemzőket. akkor négy statisztikai sort kapunk:

Xol xm, xm. X03. .... xoj, . . ., on Xti Xu- Xn: Xw- ---v th- — - - : XtN

Xg; Xn, ng, ng, . . . . Xglj, . . . , XgN Xg; XSlv X32, ng, . . . . Xgí, . . . , X3N

Ezeket az átlag (ki) és a szórásnégyzet. sír értékeivel jellemezzük. ahol i 3

: 0, l. 2. 3. l

A térmértanból ismert térfogatképlet:

xozkxlwg-txg-l—xzxa) (karnál)

írja le a változók közötti kapcsolatot.

Ebben az esetben az alábbi diagrammal ábrázolható az okozati összefüggés:

/ X1

/ )

Xp bmw" X2

NNN'XXS

xx

Xxxx

tehát csak közvetlen és közvetett hatásokkal van dolgunk.

A determinációs együtthatók kiszámítása a következő lépésekben történik:

— az egyes sorok átlagának és szórásnégyzetének, valamint az összes lehetséges sor- pár közötti kovarianciának a meghatározása.

-— a parciális deriváltak meghatározása,

— behelyettesítés a /2/ képletbe.

— a megfelelő képlet alkalmazása (: determinációs együtthatók kiszámítására.

DETERMINÁCIÓS EGYUTTHATOK

889

csak az egyedi és a páros hatásokkal dolgoznunk, akkor a következő felbontósi képletet kapjuk:

—2 — ——-* 2 *22 22.— "2

Síozkzücz -i— x% -i— x2x3)2sf_1i- !: xíux2 Jr xg) sIz % k x1(2x3 % xg) sás—i-

-i- 21? (Jég 'l— Écí 4— Éz §3)§1(2íc2 4- 353) sx 4— ZkÉGÉ % 36§ 4— 322 §3)§1(27c3 -i— 322) s Jr

152

X1$3

% 21;2 %% (2322 % 323) (z;3 —l— 322) sm %

Az adott feladatban a ág) ;? kiszámításával nyerjük a gyakorlatilag legjobban használható információt. Ezen determinációs együtthatók ismerete lehetővé teszi annak eldöntését. hogy melyik az a tényező mely döntő módon befolyásolja a tér- fogat átlagos változását. és így megállapítható, hogy a gépet milyen irányban

kell szabályozni ahhoz. hogy minimálisra csökkentsék az egyes munkadarabok tér-

fogati eltéréseit.

2. Nagyszámú tehenészeti telep (vagy esetleg több év) viszonylatában vizs—

gáljuk az évi tejtermelés (xg) átlagos változását, és a feladat annak eldöntése.

hogy milyen mértékben tulajdonítható ez a változás a tehénállomány (xi). illetve

a tehenenkénti átlagos tejhozam (X2) átlagos eltéréseinek. A változók közötti függ- vénykapcsolat az adott esetben:

270 : xl 562

Az egyes lépéseket végigkövetve eljutunk az 530 felbontási képletéhez:

2 __"2 2 ""2 2 ._M

sm —— xZle -l— xl sxz —l— 2 xlxz 83"le

Mivel lényeges a hatásmechanizmus tisztázása is, a determinációs együttha—

tókat a /7/ képletek segítségével számítjuk ki. Ezek ismerete lehetővé teszi annak az elméleti kérdésnek az eldöntését is. hogy az adott sokaság esetén jellemezhe-

tő-e az üzemméret a tehénállomány nagyságával, vagy szükség van a termelt tej mennyisége szerinti csoportosításr—a ahhoz. hogy valóságos képet kaphassunk az

üzemméretről.

FUGGELÉK

Adott az

xO mf(x1,x2,..,xm)

m változós függvény és

xoj:f(x1j,x2j,...,xmi) (j'—*].,2,...,N).

Bevezetjük a következő jelöléseket:

X :: (x1,x2,...,xm)

Xj : (xlj , xzj , . . . , xmj)

azaz az előbbi összefüggések

xy, : f(x) és xoj ; f(Xj)

890 VINCZE MARJA

egyszerűsített alakban is írhatók. Kiszótmítjuk az egyes változók középértékeit az

1, 2. . . . , N diszkrét pontokban felvett értékeik alapján:

N

_ § 1 x,]

xl """—NM" (; : 1, 2, ,m)

N N

xo " Warm _ __ N __z, Legyen M : (ki, Xg, ...,;m).

Az xo : f (X) függvény Taylor-formulója az M pont környezetében (mely kör-

nyezet tartalmazza az Xj diszkrét pontokat) általános formában a következőkép- pen írható:

1 m 1

xo:.f(X) :f(M) Jr *iTl-Z- fgtxi — xi F )f(M) Jr

: — 1

'l— ... —l—

1 m 3— (") M R X

"l"? iglaxiin—xi) fl )"l' n()

Az xo : f (X) függvény ezen felbontósó'ból kiindulva kiszámítjuk az

N )

_2, f (Xj)

;, : J : 1 __

0 N

N ( ^{x - — x} ' )2

82 : J,'í,1,,,,0,1,_,,e_0_

%O N

értékeket, melyeket az egyes xi, Xg, . . . , xm változók statisztikai jellemzőinek függ—

vényében kapunk meg. Ha csak a tényezők variancia és páronkénti kovariancia

értékeit vesszük tekintetbe, és a magasabb rendű kapcsolatokat mérő tagoktól el—

tekintünk. első megközelítésben az alábbi egyszerű összefüggéshez jutunk:

!"

m2 ._—

sxo — iszlf

! E

2 "! ; /

i (M) sxi 'l— h. Az: 1th (!"ka (M) sxh % h % k

Könnyebb érthetőség kedvéért az m : 2 esetben vezetjük le részletesen az eredményvóltozó varianciójónak felbontósi képletét.

A levezetés menete a következő:

— az [1/ függvény Taylor-sorba lejtése az M pont körül,

—- az xowkúözelítő értékének meghatározása a Taylor-sor alapján.

-— az xo—xo különbség képzése a Taylor—sor alapján,

— az eredményva'ltozó varianciójónak előállítása.

DETERM lNAClÓS EGYUTTHATÓK

891

Az adott esetben

XzUi-Xz) _

Xj:(x1jlx2j) (121.2,...,N)

és a Taylor-képlet az M : (xy. XS) pontban a következő:

2 ; A_

xO :] (X) a ] (M) 4— ;,i lf,,,(M) (xi — x,.) %

2 ,, // ___ . ,,

"'r ] [? lfxi (M) (xi—."]i)2 4— 2fx1w2(M)(x1 -— x1)(x2 — xy] —l—

, 1 2 III _ , 2 _r/r _ __

"t ?! [ii ,fxl- (M)(xi_ 3593 _t- 3, kí: lfxáwk (M) (xi * xilzock "Xk) ]

% ;e k '

ahol a számítások egyszerűsítése céljából a háromnál magasabb rendű derivál—

takat tartalmazó tagoktól eltekintettünk. Megjegyezzük, hogy a konkrét gazdasági problémáknál általában (: harmadrendű. sőt egyes esetekben már a másodrendű deriváltak is zérussal egyenlők. ily módon nagymértékben leegyszerűsödnek a számítások. A fenti képlet alapján meghatározzuk az Ég középértékét:

W ] 2 !! n

% _l— )] 2

X,, f(M) * 2, [f:/x, (M) sm, 4—2fo 32014) 8951 962] 4—

1 2 VI/ .; 21 l', 21

jL§!" iglfxi (Mlswl 3;,k2;1fxíxk(ln)swixk ' igék

majd az x0—;0 különbséget:

_ 1 2 r ) __ l 3 ;; ( _ 2 2 _

xo—xo % íiglfwimlei—xi) 4— íiglfwi (M) miw-xi) —- sw, %-

1/ " ., 1 2 n/ _

4— 2me1 052 (M)[(:rl — xi) (x2— xg) -- sw, 002] -4— E,, glfx i (M) [($i"xí)3 —- salt

2 Il !

* *— 21

4— 3, Az: 11"ng xklM)[(xi—— xí)2(x,,—— xk) —swixk] —l—

i ;6

Fennáll ez az összefüggés az ij—íro különbségekre is (i : 1. 2, ..., N),

ugyanis ezek a pontok az M pont azon környezetébe tartoznak, melyre érvényes a Taylor-képlet.

Mielőtt rátérnénk az xoj—ío tagok négyzetre emelésére, majd összegezésére és végül az

% _.

(X . — X) 2 __i:1 0] o'

Szo—WN

szórásnégyzet kiszámítására. meg kell jegyeznünk. hogy a magasabb rendű de- riváltak tényezői — a zárójelben levő különbségek — viszonylag homogén sta'

892 vmczE MARJA

tisztikai sokosógok esetén elhanyagolhatóan kis mennyiségek, tehát első megköze— ' litésben elegendő csak az elsőrendű tagokkal dolgoznunk, s akkor a /2/ fel ban-

tósl képlethez jutunk

Abban az esetben, ha az adott feladat nagyobb pontosságot igényel, akkor

ezen tagokat is figyelembe vesszük az 320 variancio kiszámításánál.

A kapott eredmény rendszerezve. maximálisan (: negyedrendű kapcsolatokat jellemző tagokat figyelembe véve a következő:

*; 1 2 ., , ,

350 % —1—!i§1jw§(M)síi—l- 2fx1(£14)f,,,2(MH?!ll 22 Jr

2 ; : !!

4—2)"

ZfMM)!"(MM; 'l'"_ ;! fwiumfx (M)3x§x *fo-(M)fw-$(Mlsílx *"

2! ;:If k k : : lc k

ii;kl

.1 2

2

_;— (2) Li ); f; (M) [sw ——(sí.)2l:(2)2fx1x2(M)[8w1x2("401le 1 *

442? 2 fw: (M) fa a: (MHSÉÉW * Síi small "l'

ikxk1

1 2 , 1 1370

233_§1fxi(M)f;i (Mn;'l—2—3—í Z f::mfgmnm k*

l_ íjat—75161

Ha? 3:,-,:-—_-:-wi* É f' (M)f"' *ziwk (M) Mk '" HÉ— Mme: § :" (M)f'" 200822 xi Wk Műk *

:;ák ixk

ahol

N "

r __ iglvci] __XI)

sxl— h—l—V—Mu

és

,2 (xij—Bzillkajugc'kla

sm xiii—__w—

wiwk N

lRO DALOM

(1) Biometriai értelmező szótár. Mezőgazdasági Kiadó. Budapest 1966. 928 old.

(2) Kónya István: A fejlesztési alap és részesedési alap tervezésének matematikai módszerei. Szám- vitel és Úgyviteltechrgka. 1965. évi 4. sz. 160—165. old.

(3) Samochis,B .—V:'ncze Mária—Stegaroiu, D.: Utilizarea caeficientilor de drum in studierea facto—

riior unui fenomen economic. Cercetari de economie agrara. lnstitutul Agronomic ..Dr. Petru Groza" Cluj.

Kolozsvár 1970. 99—106. old.

(4) Vincze Mán'a—Samochis, IB.—Stegaloíu, D.—Tarau, Gh.: Procedee stotistlce de separare si mu- surare (: influentei factorílor. RevistBa de Statistica. 1969. évi 10. sz. 3-10. old.

(5) Vincze Mária—Samochis,B .—Stegaroiu. D: Procedeu pentru masurarea influentei factorilor in raw lati! de tip functional. Revista de Statistica. 1971. évi 1. sz. 7—13 old.

(6) Wright, S.: Correlation and causation. Journal of Agricultural Research. 1921. évi 7. sz

(7) Wright, S.: The method of path coefficients. The Anna/s ol Mathematical Statistics.1934. evi 5. sz. 161—215 old.

DETERMINÁCIOS EGYUTTHATÓK 893

PEBIOME

Ara-mp npnaonm cnocoő npnőm—rmeann zum onpeaeheuux gerepmnnaunonubrx mmm)!!- gnen'roa ); cnyuae neAuHer'inmx (pynxgnonannmx cnnseü. Paccma'rpnaae'r cnyuaii, Koma ucc- AenyeMoe annex-me Mbmuo akaaxrnmm oópasoM nsAomn'rb c nomorgbxo (pw-mmm onpezxe- numero 'mna. Murray ram a a Tam—xx czxynaxx momer aosnmu—ry'rb Bonpoc, B Kami—i mope- KerÖaHHe zanncnmoi'r nepemennoi'r canaauo c xoneőanuem coaepmarguxcn B aannoü ipyrm—

gun nesaaucnmmx nepemennmx. One-r Ha a'ro'r Bonpoc nam—r (napgnawbnme) ne'repmr—ma- guounme xoacpcpugueu'rm, zum KOTOple aBTop Aaer npuőAm—xennme BeAntmnbx nyrcm aakmo- vanm! cpymcgnn onncmnaemoro nonemu! a pult Tei'mopa.

B xone BBCACHHH uerepmnnagnounmx Koemcpuguen'ron aB'rop npnnnM'ae'r BO anumanue Taxme xapamep csxan Mlemzxy eaux—reuma?! nepememroiá u ueaaancum'oü nepemenuoi'r, HCHOAb-

aysr AM! a'roro pazpaőoraunuí'r C. Pafn'om Me'rozr. aHaAiusa ny'm (Path Analysis).

Hawomennmí'r B crarbe merci; Mmmm l'lvaMeHHTb B Tartom cxyuae, Koma naaecrna rpynx- gnonaAbHaa onnan memay saaucnmoi'r " Hesasucnmoü nepemennoi'r " geAbro HBAReTCH onpe- nemem—re 'roü HesaBncnmoü uepemennoü, HY'I'eMl nemeneuuu Koropoü nauőere yaoőno 303- .uei—ic'rBOBa—rb Ha ypoaenb aanncnumoi'r nepemennoüBaaav—m Taxor'o Tuna mory'r lraC'ro 303314-

Ka'l'b Bp?! ynpaBAeHnn HpOHBBOACTBCHHbXMH npogeccamu " OÖOCHOBGHHH SROHOMHHCCKHX pe—

u mennn.

SUMMARY

The paper gives an approximative method for defining the determination coeffi- cients in the case of non—linear functionality. The author discusses in her study the case when the investigated phenomenon can be perfectly described by a function of a deter—

mined" type. Even in this case the auestion might be raised in what measure the fluc- tuation. the variance of the dependent variable can be attributed to the fluctuation of the independent variables shown in the given function. This is answered by the partial determination coefficients for which the author gives approximative values through breaking the function describing the examined phenomenon into a Taylor-series.

When introducing the determination coefficients the outhor takes into consideration also the nature of the connection between the dependent variable and the independent varwbles. and to this end she applies the method of Path Analysis introduced by S. right.

The method described in the article can be used in cases where the functionality between the dependent and the independent variables is known and the aim is to find the independent variable by changing of which the level of the dependent variable can particularly be affected. Tasks of this type may very often occur in directing the manufacturing processes as well as laying the foundation of economic decisions.