Algoritmuselm´elet 2019 7. gyakorlat NP teljess´eg
1. Bizony´ıtsa be, hogy az al´abbi nyelvek co NP-beliek!
(a) Az olyan p´aros gr´afok nyelve, amelyekben van teljes p´aros´ıt´as.
(b) Az olyan gr´afok nyelve, amelyekben van teljes p´aros´ıt´as.
(c) A s´ıkbarajzolhat´o gr´afok nyelve.
(d) Az olyan gr´afok nyelve, amelyekben ak´arhogyan sz´ınezz¨uk ki az ´eleket 2 sz´ınnel, mindig keletkezik egysz´ın˝u h´aromsz¨og.
2. ´Alljon a nyelv az olyan (G, t) p´arokb´ol, aholGegy s´ulyozott, ir´any´ıtatlan gr´af,t >0 eg´esz, ´esG-ben minden, t darab ´elb˝ol ´all´o p´aros´ıt´as s´ulya legal´abb t2. Igazolja, hogy ez a nyelv co NP-ben van!
3. Legyen f :{0,1}∗ → {0,1}∗ olyan polinom id˝oben kisz´amolhat´o, bijekt´ıv f¨uggv´eny, amin´el minden
x ∈ {0,1}∗ sz´ora teljes¨ul, hogy |f(x)|=|x|. LegyenL={y: van olyan 1-gyel kezd˝od˝ox amire f(x) =y}.
Igaz-e, hogy L∈NP∩co NP? (Az inverz nem felt´etlen¨ul polinomi´alis!)
4. s-t-HAM ´UTjel¨oli az olyan (G, s, t) h´armasokb´ol ´all´o nyelvet, ahol aGir´any´ıtatlan gr´afs´estcs´ucsa k¨oz¨ott van Hamilton-´ut. Igazolja, hogy az al´abbi nyelvekre azs-t-HAM ´UT nyelvr˝ol van Karp-redukci´o!
(a) HAM ´UT: a Hamilton-´uttal rendelkez˝o gr´afok nyelve (b) HAM: a Hamilton-k¨orrel rendelkez˝o gr´afok nyelve 5. Adjon meg egy HAM≺s-t-HAM ´UTKarp-redukci´ot!
6. Adjon meg egy HAM≺HAM ´UT Karp-redukci´ot!
7. Adjon meg egy HAM ´UT≺HAM Karp-redukci´ot!P
8. Igazolja, hogy az a nyelv, ami az ¨osszes olyan M determinisztikus v´eges automata le´ır´as´ab´ol ´all, melyre L(M)6=∅teljes¨ul, NP-ben van.
9. Igazolja, hogy 2SZ´IN ≺3SZ´IN ´es hogy 3SZ´IN ≺ 100SZ´IN ! Mit mondanak ezek a Karp-redukci´ok a 3 nyelv bonyolults´ag´ar´ol?
10. AzLnyelv az olyanGegyszer˝u gr´afokb´ol ´all, melyekn´el a cs´ucsok sz´ınez´es´ehez kell legal´abb 4 sz´ın. Igazolja, hogy a pr´ım≺LKarp-redukci´o l´etezik!
11. Tegy¨uk fel, hogy P6= NP ´esL1∈P. Lehets´eges-e, hogy (a) egy NP-teljesL2 nyelvreL1 Karp-reduk´alhat´o?
(b) egy NP-teljesL2 nyelv Karp-reduk´alhat´o L1-re?
(c) az L1 nyelv NP-beli?
