Gr´ afok ´ es algoritmusok
Minim´alis k¨olts´eg˝u folyamok
2022. m´ajus 3.
Bevezet´ es
A mai ´or´an a kor´abban megismert folyammodellt gazdag´ıtjuk azzal, hogy ´ertelmezz¨uk a folyamok k¨olts´eg´et, majd egy algoritmus seg´ıts´eg´evel igazoljuk a a Ford-Fulkerson t´etelt ´altal´anos´ıt´o
minimax formul´at minim´alis k¨olts´eg˝u folyamokr´ol. ´Igy olyan probl´em´akat tudunk folyamokon t¨ort´en˝o k¨olts´egoptimaliz´al´asi probl´em´ara visszavezetni, amiken a kor´abbi eszk¨ozeink
hat´astalanok voltak. Az ´ora m´asodik r´esz´eben az Eg´Er lemma alkalmaz´asaira mutatunk p´eld´akat.
Megj: Hoffmann egy, a folyamokkal rokon ´aramokr´ol sz´ol´o rokon t´etel´et nem t´argyaljuk. Az ´arammodellben nincsenek a folyamokn´al megszokotts ´est termin´alok, ezzel szemben minden cs´ucsra megk¨ovetelj¨uk a Kirchhoff-felt´etelt, de az ´eleknek als´o- ´es fels˝o kapacit´asa is van. Ut´obbit f-fel ´esg-vel szok´as jel¨olni, az
´aramot vagy folyamot pedigf helyettx-szel vagyz-vel, utalva a line´aris programoz´assal t¨ort´en˝o kapcsolatra. Mi is ezt az utat k¨ovetj¨uk itt, teh´at a h´al´ozatot egy (D,s,t,g) n´egyes, a folyamot pedigz :A(D)→R+ f¨uggv´eny (avagy vektor) ´ırja le.
Bevezet´ es
A mai ´or´an a kor´abban megismert folyammodellt gazdag´ıtjuk azzal, hogy ´ertelmezz¨uk a folyamok k¨olts´eg´et, majd egy algoritmus seg´ıts´eg´evel igazoljuk a a Ford-Fulkerson t´etelt ´altal´anos´ıt´o
minimax formul´at minim´alis k¨olts´eg˝u folyamokr´ol. ´Igy olyan probl´em´akat tudunk folyamokon t¨ort´en˝o k¨olts´egoptimaliz´al´asi probl´em´ara visszavezetni, amiken a kor´abbi eszk¨ozeink
hat´astalanok voltak. Az ´ora m´asodik r´esz´eben az Eg´Er lemma alkalmaz´asaira mutatunk p´eld´akat.
Megj: Hoffmann egy, a folyamokkal rokon ´aramokr´ol sz´ol´o rokon t´etel´et nem t´argyaljuk. Az ´arammodellben nincsenek a folyamokn´al megszokotts ´est termin´alok, ezzel szemben minden cs´ucsra megk¨ovetelj¨uk a Kirchhoff-felt´etelt, de az ´eleknek als´o- ´es fels˝o kapacit´asa is van. Ut´obbit f-fel ´esg-vel szok´as jel¨olni, az
´aramot vagy folyamot pedigf helyettx-szel vagyz-vel, utalva a line´aris programoz´assal t¨ort´en˝o kapcsolatra. Mi is ezt az utat k¨ovetj¨uk itt, teh´at a h´al´ozatot egy (D,s,t,g) n´egyes, a folyamot pedigz :A(D)→R+ f¨uggv´eny (avagy vektor) ´ırja le.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok, potenci´ alok
Def: Legyen D= (V,A) digr´af. A (D,s,t,g) h´al´ozatban a z megengedett folyamminim´alis k¨olts´eg˝u ac :A→R+
k¨olts´egf¨uggv´enyre, ha az folyamc ·z =P
ec(e)z(e) k¨olts´ege a lehet˝o legkisebb az-vel megegyez˝o nagys´ag´u st-folyamok k¨oz¨ott.
Potenci´alnak az olyanπ:V →R+ hozz´arendel´est nevezz¨uk, amire 0 =π(s)≤π(v)≤π(t) teljes¨ul mindenv ∈V cs´ucsra.
Adottπ potenci´al eset´enc0(uv) :=c(uv) +π(u)−π(v) a m´odos´ıtott k¨olts´egf¨uggv´eny, aholis minden ´el k¨olts´eg´eb˝ol levonjuk az ´el ´altal v´egrehajtott potenci´alugr´ast.
Megj:
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok, potenci´ alok
Def: Legyen D= (V,A) digr´af. A (D,s,t,g) h´al´ozatban a z megengedett folyamminim´alis k¨olts´eg˝u ac :A→R+
k¨olts´egf¨uggv´enyre, ha az folyamc ·z =P
ec(e)z(e) k¨olts´ege a lehet˝o legkisebb az-vel megegyez˝o nagys´ag´u st-folyamok k¨oz¨ott.
Potenci´alnak az olyanπ:V →R+ hozz´arendel´est nevezz¨uk, amire 0 =π(s)≤π(v)≤π(t) teljes¨ul mindenv ∈V cs´ucsra.
Adottπ potenci´al eset´enc0(uv) :=c(uv) +π(u)−π(v) a m´odos´ıtott k¨olts´egf¨uggv´eny, aholis minden ´el k¨olts´eg´eb˝ol levonjuk az ´el ´altal v´egrehajtott potenci´alugr´ast.
Megj: (1) Az a´el c(a) k¨olts´ege azt ´ırja le, hogy mennyit kell fizetni egys´egnyi mennyis´eg˝u term´ek tov´abb´ıt´as´a´ert aza´elen. Egy z folyam k¨olts´ege pedig nem m´as, mint az egyes ´elekhez sz´am´ıtott k¨olts´egek ¨osszege.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok, potenci´ alok
Def: Legyen D= (V,A) digr´af. A (D,s,t,g) h´al´ozatban a z megengedett folyamminim´alis k¨olts´eg˝u ac :A→R+
k¨olts´egf¨uggv´enyre, ha az folyamc ·z =P
ec(e)z(e) k¨olts´ege a lehet˝o legkisebb az-vel megegyez˝o nagys´ag´u st-folyamok k¨oz¨ott.
Potenci´alnak az olyanπ:V →R+ hozz´arendel´est nevezz¨uk, amire 0 =π(s)≤π(v)≤π(t) teljes¨ul mindenv ∈V cs´ucsra.
Adottπ potenci´al eset´enc0(uv) :=c(uv) +π(u)−π(v) a m´odos´ıtott k¨olts´egf¨uggv´eny, aholis minden ´el k¨olts´eg´eb˝ol levonjuk az ´el ´altal v´egrehajtott potenci´alugr´ast.
Megj:
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok, potenci´ alok
Def: Legyen D= (V,A) digr´af. A (D,s,t,g) h´al´ozatban a z megengedett folyamminim´alis k¨olts´eg˝u ac :A→R+
k¨olts´egf¨uggv´enyre, ha az folyamc ·z =P
ec(e)z(e) k¨olts´ege a lehet˝o legkisebb az-vel megegyez˝o nagys´ag´u st-folyamok k¨oz¨ott.
Potenci´alnak az olyanπ:V →R+ hozz´arendel´est nevezz¨uk, amire 0 =π(s)≤π(v)≤π(t) teljes¨ul mindenv ∈V cs´ucsra.
Adottπ potenci´al eset´enc0(uv) :=c(uv) +π(u)−π(v) a m´odos´ıtott k¨olts´egf¨uggv´eny, aholis minden ´el k¨olts´eg´eb˝ol levonjuk az ´el ´altal v´egrehajtott potenci´alugr´ast.
Megj: (2) Ha az ´elk¨olts´egekre t´avols´agk´ent gondolunk, akkor az l´atszik, hogy egys´egnyi nagys´ag´u folyam k¨olt´ege legal´abb az s
´est t´avols´aga. Ez´ert ha az el˝o´ırtm folyamnagys´ag legfeljebb akkora, mint egy legr¨ovidebb st-´uton a legkisebb kapacit´as, akkor minim´alis k¨olts´eg˝u st-folyamot ´ugy kaphatunk, hogy a teljesm folyamot ezen a legr¨ovidebb ´uton k¨uldj¨uk.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok, potenci´ alok
Def: Legyen D= (V,A) digr´af. A (D,s,t,g) h´al´ozatban a z megengedett folyamminim´alis k¨olts´eg˝u ac :A→R+
k¨olts´egf¨uggv´enyre, ha az folyamc ·z =P
ec(e)z(e) k¨olts´ege a lehet˝o legkisebb az-vel megegyez˝o nagys´ag´u st-folyamok k¨oz¨ott.
Potenci´alnak az olyanπ:V →R+ hozz´arendel´est nevezz¨uk, amire 0 =π(s)≤π(v)≤π(t) teljes¨ul mindenv ∈V cs´ucsra.
Adottπ potenci´al eset´enc0(uv) :=c(uv) +π(u)−π(v) a m´odos´ıtott k¨olts´egf¨uggv´eny, aholis minden ´el k¨olts´eg´eb˝ol levonjuk az ´el ´altal v´egrehajtott potenci´alugr´ast.
Megj:
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok, potenci´ alok
Def: Legyen D= (V,A) digr´af. A (D,s,t,g) h´al´ozatban a z megengedett folyamminim´alis k¨olts´eg˝u ac :A→R+
k¨olts´egf¨uggv´enyre, ha az folyamc ·z =P
ec(e)z(e) k¨olts´ege a lehet˝o legkisebb az-vel megegyez˝o nagys´ag´u st-folyamok k¨oz¨ott.
Potenci´alnak az olyanπ:V →R+ hozz´arendel´est nevezz¨uk, amire 0 =π(s)≤π(v)≤π(t) teljes¨ul mindenv ∈V cs´ucsra.
Adottπ potenci´al eset´enc0(uv) :=c(uv) +π(u)−π(v) a m´odos´ıtott k¨olts´egf¨uggv´eny, aholis minden ´el k¨olts´eg´eb˝ol levonjuk az ´el ´altal v´egrehajtott potenci´alugr´ast.
Megj: (3) Hac ≡0, akkor minden megengedett folyam minim´alis k¨olts´eg˝u.
(4) A tov´abbiakban a c´el egy el˝o´ırt nagys´ag´u minim´alis k¨olts´eg˝u folyam keres´es´ere szolg´al´o algoritmus.
Optimalit´ asi felt´ etelek
All´ıt´´ as: Tegy¨uk fel, hogyz a (D,s,t,g) h´al´ozatban megengedett folyam,π pedig tetsz˝oleges potenci´al. Ekkor
(1)z pontosan akkor minim´alis k¨olts´eg˝u folyam a c ktgfv-re, ha z minim´alis k¨olts´eg˝u a m´odos´ıtott c0 ktgfv-re. Tov´abb´a
(2) haz(a) = 0 minden olyana´elre, amirec0(a)>0, ´es z(a) =g(a) minden olyan a´elre, amirec0(a)<0, akkorz minim´alis k¨olts´eg˝u.
K¨ov: Az megengedett st-folyam minim´alis k¨olts´eg˝u, ha valamelyπ potenci´alra teljes¨ulnek az alabbi optimalit´asi felt´etelek:
olcs´o: π(v)−π(u)>c(uv)⇒z(uv) =g(uv) dr´aga: π(v)−π(u)<c(uv)⇒z(uv) = 0
A tov´abbiakban a Ford-Fulkerson-algoritmushoz hasonl´oan, utak menti jav´ıt´asokkal fogunk maxim´alis nagys´ag´u folyamot ´ep´ıteni a 0-folyamb´ol kiindulva. A folyam jav´ıt´asa mellett egy olyan potenci´alt is karbantartunk, amivel a folyam mindv´egig teljes´ıti a fenti optimalit´asi krit´eriumot.
Optimalit´ asi felt´ etelek
All´ıt´´ as: Tegy¨uk fel, hogyz a (D,s,t,g) h´al´ozatban megengedett folyam,π pedig tetsz˝oleges potenci´al. Ekkor
(1)z pontosan akkor minim´alis k¨olts´eg˝u folyam a c ktgfv-re, ha z minim´alis k¨olts´eg˝u a m´odos´ıtott c0 ktgfv-re. Tov´abb´a
(2) haz(a) = 0 minden olyana´elre, amirec0(a)>0, ´es z(a) =g(a) minden olyan a´elre, amirec0(a)<0, akkorz minim´alis k¨olts´eg˝u.
Biz: Legyen z nagys´agamz =k. Ekkor P
uv∈Ac(uv)z(uv) =P
c0(uv)z(uv) +P
(π(v)−π(u))z(uv) = Pc0(uv)z(uv) +kπ(t) =P
{c0(uv)z(uv) :c0(uv)>0}+
+P
{c0(uv)z(uv) :c0(uv)<0}+kπ(t)≥P
{c0(uv)g(uv) : c0(uv)<0}+kπ(t).
Teh´atc ·z =c0·z+kπ(t), ez´ert
(z min.ktg-˝u c-re)⇐⇒(z min.ktg-˝u c0-re).
Tov´abb´a, ha v´egig egyenl˝os´eg ´all, akkorz minim´alis k¨olts´eg˝u.
K¨ov: Az megengedett st-folyam minim´alis k¨olts´eg˝u, ha valamelyπ potenci´alra teljes¨ulnek az alabbi optimalit´asi felt´etelek:
olcs´o: π(v)−π(u)>c(uv)⇒z(uv) =g(uv) dr´aga: π(v)−π(u)<c(uv)⇒z(uv) = 0
A tov´abbiakban a Ford-Fulkerson-algoritmushoz hasonl´oan, utak menti jav´ıt´asokkal fogunk maxim´alis nagys´ag´u folyamot ´ep´ıteni a 0-folyamb´ol kiindulva. A folyam jav´ıt´asa mellett egy olyan potenci´alt is karbantartunk, amivel a folyam mindv´egig teljes´ıti a fenti optimalit´asi krit´eriumot.
Optimalit´ asi felt´ etelek
All´ıt´´ as: Tegy¨uk fel, hogyz a (D,s,t,g) h´al´ozatban megengedett folyam,π pedig tetsz˝oleges potenci´al. Ekkor
(1)z pontosan akkor minim´alis k¨olts´eg˝u folyam a c ktgfv-re, ha z minim´alis k¨olts´eg˝u a m´odos´ıtott c0 ktgfv-re. Tov´abb´a
(2) haz(a) = 0 minden olyana´elre, amirec0(a)>0, ´es z(a) =g(a) minden olyan a´elre, amirec0(a)<0, akkorz minim´alis k¨olts´eg˝u.
K¨ov: Az megengedett st-folyam minim´alis k¨olts´eg˝u, ha valamelyπ potenci´alra teljes¨ulnek az alabbi optimalit´asi felt´etelek:
olcs´o: π(v)−π(u)>c(uv)⇒z(uv) =g(uv) dr´aga: π(v)−π(u)<c(uv)⇒z(uv) = 0
A tov´abbiakban a Ford-Fulkerson-algoritmushoz hasonl´oan, utak menti jav´ıt´asokkal fogunk maxim´alis nagys´ag´u folyamot ´ep´ıteni a 0-folyamb´ol kiindulva. A folyam jav´ıt´asa mellett egy olyan potenci´alt is karbantartunk, amivel a folyam mindv´egig teljes´ıti a fenti optimalit´asi krit´eriumot.
Optimalit´ asi felt´ etelek
All´ıt´´ as: Tegy¨uk fel, hogyz a (D,s,t,g) h´al´ozatban megengedett folyam,π pedig tetsz˝oleges potenci´al. Ekkor
(1)z pontosan akkor minim´alis k¨olts´eg˝u folyam a c ktgfv-re, ha z minim´alis k¨olts´eg˝u a m´odos´ıtott c0 ktgfv-re. Tov´abb´a
(2) haz(a) = 0 minden olyana´elre, amirec0(a)>0, ´es z(a) =g(a) minden olyan a´elre, amirec0(a)<0, akkorz minim´alis k¨olts´eg˝u.
K¨ov: Az megengedett st-folyam minim´alis k¨olts´eg˝u, ha valamelyπ potenci´alra teljes¨ulnek az alabbi optimalit´asi felt´etelek:
olcs´o: π(v)−π(u)>c(uv)⇒z(uv) =g(uv) dr´aga: π(v)−π(u)<c(uv)⇒z(uv) = 0
A tov´abbiakban a Ford-Fulkerson-algoritmushoz hasonl´oan, utak menti jav´ıt´asokkal fogunk maxim´alis nagys´ag´u folyamot ´ep´ıteni a 0-folyamb´ol kiindulva. A folyam jav´ıt´asa mellett egy olyan potenci´alt is karbantartunk, amivel a folyam mindv´egig teljes´ıti a fenti optimalit´asi krit´eriumot.
Optimalit´ asi felt´ etelek
All´ıt´´ as: Tegy¨uk fel, hogyz a (D,s,t,g) h´al´ozatban megengedett folyam,π pedig tetsz˝oleges potenci´al. Ekkor
(1)z pontosan akkor minim´alis k¨olts´eg˝u folyam a c ktgfv-re, ha z minim´alis k¨olts´eg˝u a m´odos´ıtott c0 ktgfv-re. Tov´abb´a
(2) haz(a) = 0 minden olyana´elre, amirec0(a)>0, ´es z(a) =g(a) minden olyan a´elre, amirec0(a)<0, akkorz minim´alis k¨olts´eg˝u.
K¨ov: Az megengedett st-folyam minim´alis k¨olts´eg˝u, ha valamelyπ potenci´alra teljes¨ulnek az alabbi optimalit´asi felt´etelek:
olcs´o: π(v)−π(u)>c(uv)⇒z(uv) =g(uv) dr´aga: π(v)−π(u)<c(uv)⇒z(uv) = 0
A tov´abbiakban a Ford-Fulkerson-algoritmushoz hasonl´oan, utak menti jav´ıt´asokkal fogunk maxim´alis nagys´ag´u folyamot ´ep´ıteni a 0-folyamb´ol kiindulva. A folyam jav´ıt´asa mellett egy olyan potenci´alt is karbantartunk, amivel a folyam mindv´egig teljes´ıti a fenti optimalit´asi krit´eriumot.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyam algoritmus
Input: (D,s,t,g) h´al´ozat,c,g :A(D)→Z+ eg´esz k¨olts´eg- ´es kapacit´asfv. k ∈Z+.
Output: Min. ktg-˝u k nagys´ag´u z folyam ´es az optimalit´ast bizony´ıt´o π:V →Z+ eg´esz potenci´al vagyk-n´al kisebbst-v´ag´as.
M˝uk¨od´es: Kezdetbenz ≡0 ´esπ≡0. Az algoritmus sor´an az optimalit´asi krit´eriumok v´egig teljes¨ulni fognak. Adottz, π mellett uv el˝ore´el, ha c0(uv) = 0 ´esz(uv)<g(uv). Az uv h´atra´el, ha c0(uv) = 0 ´esz(vu)>0.
I. eset Van el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. Ekkor ezen tudunks-b˝ol t-be folyamot k¨uldeni a maxim´alis rezidu´alis kapacit´assal. Ha ek¨ozben el´erj¨uk ak folyamnagys´agot, meg´allunk, v´egezt¨unk. Ha nem, tov´abb keres¨unk jav´ıt´o utat.
II. eset Nincs el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. LegyenS az s-b˝ol el´erhet˝o cs´ucsok halmaza, t 6∈S.
A eset: Ha minden S-b˝ol kil´ep˝o ´el tel´ıtett, ´es mindenS-be bel´ep˝o
´elen 0 a folyam, akkorz maxim´alis nagys´ag´u, ´es v´eget ´er az algoritmus. Hamz <k akkor nincsk nagys´ag´u st-folyam.
B eset: Ha vanS-b˝ol kil´ep˝o tel´ıtetlen ´el vagy S-be bel´ep˝o pozit´ıv folyamot hordoz´o ´el, akkor legyenεezen ´elek m´odos´ıtott k¨olts´egei abszol´ut ´ert´ek´enek minimuma. Pozit´ıv sz´amok v´eges, nem¨ures halmaz´anak minimumak´entε >0. Ha mostV −S-en minden potenci´altε-nal n¨ovel¨unk, akkor az optimalit´asi felt´etelek tov´abbra is teljes¨ulnek, azonban a II.B esetben defini´altS halmaz b˝ov¨ul. Mindig eg´esszel n¨ovekszik a folyamnagys´ag, ´ıgy el˝obb-ut´obb az I. vagy a II.A esetbe ker¨ul¨unk.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyam algoritmus
Input: (D,s,t,g) h´al´ozat,c,g :A(D)→Z+ eg´esz k¨olts´eg- ´es kapacit´asfv. k ∈Z+.
Output: Min. ktg-˝u k nagys´ag´u z folyam ´es az optimalit´ast bizony´ıt´o π:V →Z+ eg´esz potenci´al vagyk-n´al kisebbst-v´ag´as.
M˝uk¨od´es: Kezdetben z ≡0 ´esπ≡0. Az algoritmus sor´an az optimalit´asi krit´eriumok v´egig teljes¨ulni fognak. Adottz, π mellett uv el˝ore´el, ha c0(uv) = 0 ´esz(uv)<g(uv). Azuv h´atra´el, ha c0(uv) = 0 ´esz(vu)>0.
I. eset Van el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. Ekkor ezen tudunks-b˝ol t-be folyamot k¨uldeni a maxim´alis rezidu´alis kapacit´assal. Ha ek¨ozben el´erj¨uk ak folyamnagys´agot, meg´allunk, v´egezt¨unk. Ha nem, tov´abb keres¨unk jav´ıt´o utat.
II. eset Nincs el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. LegyenS az s-b˝ol el´erhet˝o cs´ucsok halmaza, t 6∈S.
A eset: Ha minden S-b˝ol kil´ep˝o ´el tel´ıtett, ´es mindenS-be bel´ep˝o
´elen 0 a folyam, akkorz maxim´alis nagys´ag´u, ´es v´eget ´er az algoritmus. Hamz <k akkor nincsk nagys´ag´u st-folyam.
B eset: Ha vanS-b˝ol kil´ep˝o tel´ıtetlen ´el vagy S-be bel´ep˝o pozit´ıv folyamot hordoz´o ´el, akkor legyenεezen ´elek m´odos´ıtott k¨olts´egei abszol´ut ´ert´ek´enek minimuma. Pozit´ıv sz´amok v´eges, nem¨ures halmaz´anak minimumak´entε >0. Ha mostV −S-en minden potenci´altε-nal n¨ovel¨unk, akkor az optimalit´asi felt´etelek tov´abbra is teljes¨ulnek, azonban a II.B esetben defini´altS halmaz b˝ov¨ul. Mindig eg´esszel n¨ovekszik a folyamnagys´ag, ´ıgy el˝obb-ut´obb az I. vagy a II.A esetbe ker¨ul¨unk.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyam algoritmus
M˝uk¨od´es: Kezdetben z ≡0 ´esπ≡0. Az algoritmus sor´an az optimalit´asi krit´eriumok v´egig teljes¨ulni fognak. Adottz, π mellett uv el˝ore´el, ha c0(uv) = 0 ´esz(uv)<g(uv). Azuv h´atra´el, ha c0(uv) = 0 ´esz(vu)>0.
I. eset Van el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. Ekkor ezen tudunks-b˝ol t-be folyamot k¨uldeni a maxim´alis rezidu´alis kapacit´assal. Ha ek¨ozben el´erj¨uk ak folyamnagys´agot, meg´allunk, v´egezt¨unk. Ha nem, tov´abb keres¨unk jav´ıt´o utat.
II. eset Nincs el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. LegyenS az s-b˝ol el´erhet˝o cs´ucsok halmaza, t 6∈S.
A eset: Ha minden S-b˝ol kil´ep˝o ´el tel´ıtett, ´es mindenS-be bel´ep˝o
´elen 0 a folyam, akkorz maxim´alis nagys´ag´u, ´es v´eget ´er az algoritmus. Hamz <k akkor nincsk nagys´ag´u st-folyam.
B eset: Ha vanS-b˝ol kil´ep˝o tel´ıtetlen ´el vagy S-be bel´ep˝o pozit´ıv folyamot hordoz´o ´el, akkor legyenεezen ´elek m´odos´ıtott k¨olts´egei abszol´ut ´ert´ek´enek minimuma. Pozit´ıv sz´amok v´eges, nem¨ures halmaz´anak minimumak´entε >0. Ha mostV −S-en minden potenci´altε-nal n¨ovel¨unk, akkor az optimalit´asi felt´etelek tov´abbra is teljes¨ulnek, azonban a II.B esetben defini´altS halmaz b˝ov¨ul. Mindig eg´esszel n¨ovekszik a folyamnagys´ag, ´ıgy el˝obb-ut´obb az I. vagy a II.A esetbe ker¨ul¨unk.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyam algoritmus
M˝uk¨od´es: Kezdetben z ≡0 ´esπ≡0. Az algoritmus sor´an az optimalit´asi krit´eriumok v´egig teljes¨ulni fognak. Adottz, π mellett uv el˝ore´el, ha c0(uv) = 0 ´esz(uv)<g(uv). Azuv h´atra´el, ha c0(uv) = 0 ´esz(vu)>0.
I. eset Van el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. Ekkor ezen tudunks-b˝ol t-be folyamot k¨uldeni a maxim´alis rezidu´alis kapacit´assal. Ha ek¨ozben el´erj¨uk ak folyamnagys´agot, meg´allunk, v´egezt¨unk. Ha nem, tov´abb keres¨unk jav´ıt´o utat.
II. eset Nincs el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. LegyenS az s-b˝ol el´erhet˝o cs´ucsok halmaza, t 6∈S.
A eset: Ha minden S-b˝ol kil´ep˝o ´el tel´ıtett, ´es mindenS-be bel´ep˝o
´elen 0 a folyam, akkorz maxim´alis nagys´ag´u, ´es v´eget ´er az algoritmus. Hamz <k akkor nincsk nagys´ag´u st-folyam.
B eset: Ha vanS-b˝ol kil´ep˝o tel´ıtetlen ´el vagy S-be bel´ep˝o pozit´ıv folyamot hordoz´o ´el, akkor legyenεezen ´elek m´odos´ıtott k¨olts´egei abszol´ut ´ert´ek´enek minimuma. Pozit´ıv sz´amok v´eges, nem¨ures halmaz´anak minimumak´entε >0. Ha mostV −S-en minden potenci´altε-nal n¨ovel¨unk, akkor az optimalit´asi felt´etelek tov´abbra is teljes¨ulnek, azonban a II.B esetben defini´altS halmaz b˝ov¨ul. Mindig eg´esszel n¨ovekszik a folyamnagys´ag, ´ıgy el˝obb-ut´obb az I. vagy a II.A esetbe ker¨ul¨unk.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyam algoritmus
I. eset Van el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. Ekkor ezen tudunks-b˝ol t-be folyamot k¨uldeni a maxim´alis rezidu´alis kapacit´assal. Ha ek¨ozben el´erj¨uk ak folyamnagys´agot, meg´allunk, v´egezt¨unk. Ha nem, tov´abb keres¨unk jav´ıt´o utat.
II. eset Nincs el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. LegyenS az s-b˝ol el´erhet˝o cs´ucsok halmaza, t 6∈S.
A eset: Ha minden S-b˝ol kil´ep˝o ´el tel´ıtett, ´es mindenS-be bel´ep˝o
´elen 0 a folyam, akkorz maxim´alis nagys´ag´u, ´es v´eget ´er az algoritmus. Hamz <k akkor nincsk nagys´ag´u st-folyam.
B eset: Ha vanS-b˝ol kil´ep˝o tel´ıtetlen ´el vagyS-be bel´ep˝o pozit´ıv folyamot hordoz´o ´el, akkor legyenεezen ´elek m´odos´ıtott k¨olts´egei abszol´ut ´ert´ek´enek minimuma. Pozit´ıv sz´amok v´eges, nem¨ures halmaz´anak minimumak´entε >0. Ha mostV −S-en minden potenci´alt ε-nal n¨ovel¨unk, akkor az optimalit´asi felt´etelek tov´abbra is teljes¨ulnek, azonban a II.B esetben defini´altS halmaz b˝ov¨ul. Mindig eg´esszel n¨ovekszik a folyamnagys´ag, ´ıgy el˝obb-ut´obb az I. vagy a II.A esetbe ker¨ul¨unk.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyam algoritmus
I. eset Van el˝ore- ´es h´atra´elekenst-´ut. Ekkor ezen tudunks-b˝ol t-be folyamot k¨uldeni a maxim´alis rezidu´alis kapacit´assal. Ha ek¨ozben el´erj¨uk ak folyamnagys´agot, meg´allunk, v´egezt¨unk. Ha nem, tov´abb keres¨unk jav´ıt´o utat.
II. eset Nincs el˝ore- ´es h´atra´eleken st-´ut. Legyen S az s-b˝ol el´erhet˝o cs´ucsok halmaza, t 6∈S.
A eset: Ha mindenS-b˝ol kil´ep˝o ´el tel´ıtett, ´es mindenS-be bel´ep˝o
´elen 0 a folyam, akkorz maxim´alis nagys´ag´u, ´es v´eget ´er az algoritmus. Hamz <k akkor nincsk nagys´ag´u st-folyam.
B eset: Ha vanS-b˝ol kil´ep˝o tel´ıtetlen ´el vagyS-be bel´ep˝o pozit´ıv folyamot hordoz´o ´el, akkor legyenεezen ´elek m´odos´ıtott k¨olts´egei abszol´ut ´ert´ek´enek minimuma. Pozit´ıv sz´amok v´eges, nem¨ures halmaz´anak minimumak´entε >0. Ha most V −S-en minden potenci´alt ε-nal n¨ovel¨unk, akkor az optimalit´asi felt´etelek tov´abbra is teljes¨ulnek, azonban a II.B esetben defini´altS halmaz b˝ov¨ul.
Mindig eg´esszel n¨ovekszik a folyamnagys´ag, ´ıgy el˝obb-ut´obb az I.
vagy a II.A esetbe ker¨ul¨unk.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok optimalit´ asi t´ etele
A minim´alis k¨olts´eg˝u folyam fenti algoritmussal t¨ort´en˝o megkeres´ese igazolja az al´abbi t´etelt.
K¨ov: Tfh a (D,s,t,g) h´al´ozatban a g :A(D)→Z+ ´es a c :A(D)→Z+ k¨olts´egf¨uggv´eny eg´esz. Ekkor b´armely k ∈Z+
c´el´ert´ekhez vagy l´etezik egyk-n´al kisebb kapacit´as´u st-v´ag´as D-ben vagy tal´alhat´o egyk nagys´ag´u z :A(D)→Z+ eg´esz st-folyam ´es egyπ :V(D)→Z+ eg´esz potenci´al, amiz-vel egy¨utt teljes´ıti az optimalit´asi felt´eteleket.
Biz: A fenti algoritmus v´eges id˝o alatt lefut, hisz minden l´ep´esben vagy legal´abb 1-gyel jav´ıtja a folyamot, vagyS b˝ov¨ul. Az algoritmus sor´an z ´esπ v´egig eg´esz ´ert´eket vesz fel.
Megj: A minim´alis k¨olts´eg˝u folyamot keres˝o algoritmus ebben a form´aj´aban nem polinomidej˝u, ´es nem eg´esz k¨olts´egekre ill.
kapacit´asokra nem is m˝uk¨odik. Nem bizony´ıtjuk, de a jav´ıt´o ´ut alkalmas v´alaszt´as´aval polinomidej˝uv´e tehet˝o, ´es ez´altal a
k¨ovetkezm´eny eg´esz´ert´ek˝us´egi feltev´esek ´es k¨ovetkeztet´esek n´elk¨uli v´altozata is igazolhat´o.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok optimalit´ asi t´ etele
A minim´alis k¨olts´eg˝u folyam fenti algoritmussal t¨ort´en˝o megkeres´ese igazolja az al´abbi t´etelt.
K¨ov: Tfh a (D,s,t,g) h´al´ozatban a g :A(D)→Z+ ´es a c :A(D)→Z+ k¨olts´egf¨uggv´eny eg´esz. Ekkor b´armely k ∈Z+
c´el´ert´ekhez vagy l´etezik egyk-n´al kisebb kapacit´as´u st-v´ag´as D-ben vagy tal´alhat´o egyk nagys´ag´u z :A(D)→Z+ eg´esz st-folyam ´es egyπ :V(D)→Z+ eg´esz potenci´al, amiz-vel egy¨utt teljes´ıti az optimalit´asi felt´eteleket.
Biz: A fenti algoritmus v´eges id˝o alatt lefut, hisz minden l´ep´esben vagy legal´abb 1-gyel jav´ıtja a folyamot, vagyS b˝ov¨ul. Az algoritmus sor´an z ´esπ v´egig eg´esz ´ert´eket vesz fel.
Megj: A minim´alis k¨olts´eg˝u folyamot keres˝o algoritmus ebben a form´aj´aban nem polinomidej˝u, ´es nem eg´esz k¨olts´egekre ill.
kapacit´asokra nem is m˝uk¨odik. Nem bizony´ıtjuk, de a jav´ıt´o ´ut alkalmas v´alaszt´as´aval polinomidej˝uv´e tehet˝o, ´es ez´altal a
k¨ovetkezm´eny eg´esz´ert´ek˝us´egi feltev´esek ´es k¨ovetkeztet´esek n´elk¨uli v´altozata is igazolhat´o.
Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u folyamok optimalit´ asi t´ etele
A minim´alis k¨olts´eg˝u folyam fenti algoritmussal t¨ort´en˝o megkeres´ese igazolja az al´abbi t´etelt.
K¨ov: Tfh a (D,s,t,g) h´al´ozatban a g :A(D)→Z+ ´es a c :A(D)→Z+ k¨olts´egf¨uggv´eny eg´esz. Ekkor b´armely k ∈Z+
c´el´ert´ekhez vagy l´etezik egyk-n´al kisebb kapacit´as´u st-v´ag´as D-ben vagy tal´alhat´o egyk nagys´ag´u z :A(D)→Z+ eg´esz st-folyam ´es egyπ :V(D)→Z+ eg´esz potenci´al, amiz-vel egy¨utt teljes´ıti az optimalit´asi felt´eteleket.
Biz: A fenti algoritmus v´eges id˝o alatt lefut, hisz minden l´ep´esben vagy legal´abb 1-gyel jav´ıtja a folyamot, vagyS b˝ov¨ul. Az algoritmus sor´an z ´esπ v´egig eg´esz ´ert´eket vesz fel.
Megj: A minim´alis k¨olts´eg˝u folyamot keres˝o algoritmus ebben a form´aj´aban nem polinomidej˝u, ´es nem eg´esz k¨olts´egekre ill.
kapacit´asokra nem is m˝uk¨odik. Nem bizony´ıtjuk, de a jav´ıt´o ´ut alkalmas v´alaszt´as´aval polinomidej˝uv´e tehet˝o, ´es ez´altal a
k¨ovetkezm´eny eg´esz´ert´ek˝us´egi feltev´esek ´es k¨ovetkeztet´esek n´elk¨uli v´altozata is igazolhat´o.
Az Eg´ Er lemma rokona
Kerek´ıt´esi lemma folyamokra: Tfh a (D,s,t,g) h´al´ozatban a g(e) ´elkapacit´asok eg´eszek ´esz megengedett folyam. Ekkor van olyanz∗ megengedett folyam is, amelyrez∗(e)∈Z+ ´es
bz(e)c ≤z∗(e)≤ dz(e)e teljes¨ul D mindene ´el´ere.
Biz: Az al´abbi kerek´ıt´esi l´ep´eseket v´egezz¨uk. Egye ´el t¨ort´el, ha z(e)6∈Z, k¨ul¨onben e eg´esz ´el. Minden l´ep´es sor´an legal´abb egy t¨ort´el eg´esz ´ell´e v´alik, eg´esz ´elb˝ol pedig sosem lesz t¨ort´el. A folyammegmarad´as miatt nemtermin´alisra nem illeszkedhet pontosan egy t¨ort´el. Ez´ert am´ıg van t¨ort´el, addig van st-´ut vagy t¨ort´elekb˝ol ´all´o k¨or. Egy ilyen ment´en lehet ´ugy v´altoztatni a folyamot, hogy folyam ´altal felvett ´ert´ek egyetlen ´elen se ugorjon
´at eg´esz sz´amot, de legal´abb egy t¨ort´el elt˝unj¨on. V´eges sok ilyen l´ep´es ut´an minden ´el eg´essz´e v´alik, ´es gy˝ozt¨unk.
Megj: A fenti lemm´abanz ugy is kerek´ıthet˝´ o, hogy azmz
folyamnagys´ag is kerekedj´ek. Ehhez mind¨ossze egy ´ujs∗ cs´ucsot ´es egy kell˝oen nagy kapacit´as´u s∗s ´elt kell bevezetni valamint ezen
´elhezmz nagys´ag´u folyam´ert´eket rendelni.
Az Eg´ Er lemma rokona
Kerek´ıt´esi lemma folyamokra: Tfh a (D,s,t,g) h´al´ozatban a g(e) ´elkapacit´asok eg´eszek ´esz megengedett folyam. Ekkor van olyanz∗ megengedett folyam is, amelyrez∗(e)∈Z+ ´es
bz(e)c ≤z∗(e)≤ dz(e)e teljes¨ul D mindene ´el´ere.
Biz: Az al´abbi kerek´ıt´esi l´ep´eseket v´egezz¨uk. Egye ´el t¨ort´el, ha z(e)6∈Z, k¨ul¨onben e eg´esz ´el. Minden l´ep´es sor´an legal´abb egy t¨ort´el eg´esz ´ell´e v´alik, eg´esz ´elb˝ol pedig sosem lesz t¨ort´el.
A folyammegmarad´as miatt nemtermin´alisra nem illeszkedhet pontosan egy t¨ort´el. Ez´ert am´ıg van t¨ort´el, addig vanst-´ut vagy t¨ort´elekb˝ol ´all´o k¨or. Egy ilyen ment´en lehet ´ugy v´altoztatni a folyamot, hogy folyam ´altal felvett ´ert´ek egyetlen ´elen se ugorjon
´at eg´esz sz´amot, de legal´abb egy t¨ort´el elt˝unj¨on. V´eges sok ilyen l´ep´es ut´an minden ´el eg´essz´e v´alik, ´es gy˝ozt¨unk.
Megj: A fenti lemm´abanz ugy is kerek´ıthet˝´ o, hogy azmz
folyamnagys´ag is kerekedj´ek. Ehhez mind¨ossze egy ´ujs∗ cs´ucsot ´es egy kell˝oen nagy kapacit´as´u s∗s ´elt kell bevezetni valamint ezen
´elhezmz nagys´ag´u folyam´ert´eket rendelni.
Az Eg´ Er lemma rokona
Kerek´ıt´esi lemma folyamokra: Tfh a (D,s,t,g) h´al´ozatban a g(e) ´elkapacit´asok eg´eszek ´esz megengedett folyam. Ekkor van olyanz∗ megengedett folyam is, amelyrez∗(e)∈Z+ ´es
bz(e)c ≤z∗(e)≤ dz(e)e teljes¨ul D mindene ´el´ere.
Biz: Az al´abbi kerek´ıt´esi l´ep´eseket v´egezz¨uk. Egye ´el t¨ort´el, ha z(e)6∈Z, k¨ul¨onben e eg´esz ´el. Minden l´ep´es sor´an legal´abb egy t¨ort´el eg´esz ´ell´e v´alik, eg´esz ´elb˝ol pedig sosem lesz t¨ort´el.
A folyammegmarad´as miatt nemtermin´alisra nem illeszkedhet pontosan egy t¨ort´el. Ez´ert am´ıg van t¨ort´el, addig vanst-´ut vagy t¨ort´elekb˝ol ´all´o k¨or. Egy ilyen ment´en lehet ´ugy v´altoztatni a folyamot, hogy folyam ´altal felvett ´ert´ek egyetlen ´elen se ugorjon
´at eg´esz sz´amot, de legal´abb egy t¨ort´el elt˝unj¨on. V´eges sok ilyen l´ep´es ut´an minden ´el eg´essz´e v´alik, ´es gy˝ozt¨unk.
Megj: A fenti lemm´abanz ´ugy is kerek´ıthet˝o, hogy azmz
folyamnagys´ag is kerekedj´ek. Ehhez mind¨ossze egy ´ujs∗ cs´ucsot ´es egy kell˝oen nagy kapacit´as´u s∗s ´elt kell bevezetni valamint ezen
´elhezmz nagys´ag´u folyam´ert´eket rendelni.
A kerek´ıt´ esi lemma alkalmaz´ asa
K˝onig ´elsz´ınez´esi t´etele: Tetsz˝oleges G p´aros gr´af
´elkromatikus sz´am´araχ(G) = ∆(G) teljes¨ul.
Biz: Legyenek G sz´ınoszt´alyaiA´esB ´es defini´aljuk a (D,s,t,g) h´al´ozatot az al´abbiak szerint. Ir´any´ıtsunk minden ´elt A-b´olB-be, vezess¨uk be azs,t ´uj cs´ucsokat, h´uzzunk be egy-egy ir´any´ıtott ´elt s-b˝ol minden A-belibe ´es mindenB-belib˝olt-be, ´es adjunk minden
´elnekg ≡1 kapacit´ast. Legyen z(e) = 1/∆(G) aG mindene
´el´ere. Ez egy´ertelm˝uen kiterjeszthet˝o a h´al´ozat egyz folyam´av´a. Ekkorz(sa) = 1 ill.z(bt) = 1 minden ∆(G)-fok´ua ill. b cs´ucsra. Legyenz∗ a z-nek a kerek´ıt´esi lemma szerinti kerek´ıtettje. Mivel g ≡1, ez´ertz∗ bels˝oleg pontdiszjunktst-utak karakterisztikus vektora, ami minden maxfoksz´am´u cs´ucsot lefed. Az utak k¨oz´eps˝o
´elei ez´ert alkalmasak egy sz´ınoszt´alynak, hiszen egyr´eszt p´aros´ıt´ast alkotnak, m´asr´eszt pedig ∆ cs¨okken, ha ezeketG-b˝ol t¨or¨olj¨uk.
A kapott p´aros´ıt´as kisz´ınez´ese ut´an megmarad´o gr´afon ugyanezt
∆(G)-szer ism´etelve megkapjukG egy ∆(G)-´elsz´ınez´es´et.
A kerek´ıt´ esi lemma alkalmaz´ asa
K˝onig ´elsz´ınez´esi t´etele: Tetsz˝oleges G p´aros gr´af
´elkromatikus sz´am´araχ(G) = ∆(G) teljes¨ul.
Biz: LegyenekG sz´ınoszt´alyaiA´esB ´es defini´aljuk a (D,s,t,g) h´al´ozatot az al´abbiak szerint. Ir´any´ıtsunk minden ´elt A-b´olB-be, vezess¨uk be azs,t ´uj cs´ucsokat, h´uzzunk be egy-egy ir´any´ıtott ´elt s-b˝ol minden A-belibe ´es mindenB-belib˝olt-be, ´es adjunk minden
´elnekg ≡1 kapacit´ast. Legyen z(e) = 1/∆(G) aG mindene
´el´ere. Ez egy´ertelm˝uen kiterjeszthet˝o a h´al´ozat egyz folyam´av´a.
Ekkorz(sa) = 1 ill.z(bt) = 1 minden ∆(G)-fok´ua ill. b cs´ucsra.
Legyenz∗ a z-nek a kerek´ıt´esi lemma szerinti kerek´ıtettje. Mivel g ≡1, ez´ertz∗ bels˝oleg pontdiszjunktst-utak karakterisztikus vektora, ami minden maxfoksz´am´u cs´ucsot lefed. Az utak k¨oz´eps˝o
´elei ez´ert alkalmasak egy sz´ınoszt´alynak, hiszen egyr´eszt p´aros´ıt´ast alkotnak, m´asr´eszt pedig ∆ cs¨okken, ha ezeketG-b˝ol t¨or¨olj¨uk.
A kapott p´aros´ıt´as kisz´ınez´ese ut´an megmarad´o gr´afon ugyanezt
∆(G)-szer ism´etelve megkapjukG egy ∆(G)-´elsz´ınez´es´et.
A kerek´ıt´ esi lemma alkalmaz´ asa
K˝onig ´elsz´ınez´esi t´etele: Tetsz˝oleges G p´aros gr´af
´elkromatikus sz´am´araχ(G) = ∆(G) teljes¨ul.
Biz: LegyenekG sz´ınoszt´alyaiA´esB ´es defini´aljuk a (D,s,t,g) h´al´ozatot az al´abbiak szerint. Ir´any´ıtsunk minden ´elt A-b´olB-be, vezess¨uk be azs,t ´uj cs´ucsokat, h´uzzunk be egy-egy ir´any´ıtott ´elt s-b˝ol minden A-belibe ´es mindenB-belib˝olt-be, ´es adjunk minden
´elnekg ≡1 kapacit´ast. Legyen z(e) = 1/∆(G) aG mindene
´el´ere. Ez egy´ertelm˝uen kiterjeszthet˝o a h´al´ozat egyz folyam´av´a.
Ekkorz(sa) = 1 ill.z(bt) = 1 minden ∆(G)-fok´ua ill. b cs´ucsra.
Legyenz∗ a z-nek a kerek´ıt´esi lemma szerinti kerek´ıtettje. Mivel g ≡1, ez´ertz∗ bels˝oleg pontdiszjunktst-utak karakterisztikus vektora, ami minden maxfoksz´am´u cs´ucsot lefed. Az utak k¨oz´eps˝o
´elei ez´ert alkalmasak egy sz´ınoszt´alynak, hiszen egyr´eszt p´aros´ıt´ast alkotnak, m´asr´eszt pedig ∆ cs¨okken, ha ezeketG-b˝ol t¨or¨olj¨uk.
A kapott p´aros´ıt´as kisz´ınez´ese ut´an megmarad´o gr´afon ugyanezt
∆(G)-szer ism´etelve megkapjukG egy ∆(G)-´elsz´ınez´es´et.
A kerek´ıt´ esi lemma alkalmaz´ asa II.
P´aros gr´afok egyenletes ´elsz´ınez´esi t´etele: LegyenG p´aros gr´af ´esk pozit´ıv eg´esz. EkkorG ´elei kisz´ınezhet˝ok k sz´ınnel
´
ugy, hogy a sz´ınez´es minden csillagon a lehet˝o legegyenletesebb legyen, azaz tetsz˝olegesv cs´ucsra ´esi sz´ınre a v-re illeszked˝o i sz´ın˝u ´elek sz´ama l(v) :=bd(v)/kc vagy u(v) :=dd(v)/ke legyen.
Megj: A fenti sz´ınez´est egyenletes sz´ınez´esnek h´ıvjuk.
Biz: Az el˝oz˝o bizony´ıt´asban szerepl˝o konstrukci´ot ´ugy m´odos´ıtjuk, hogyz(e)-t 1/k-nak v´alasztjukG minden ´el´en. A kerek´ıt´es ut´an tetsz. v cs´ucsb´ol l(v) vagy u(v) ´elt fogunk kiv´alasztani, tov´abb´a az ezen ´elek elhagy´as´aval kapott gr´afban d0(v)/(k−1) tov´abbra is l(v) ´esu(v) k¨oz´e esik. A marad´ek gr´afra ugyanezt az elj´ar´astk−1-re elv´egezve folytatjuk az ´elek sz´ınez´es´et, m´ıg v´eg¨ul megkapunk a k´ıv´ant egyenletes ´elsz´ınez´est.
Megj:
K˝onig ´elsz´ınez´esi t´etele a fenti t´etel speci´alis esete k = ∆(G)-re.
A kerek´ıt´ esi lemma alkalmaz´ asa II.
P´aros gr´afok egyenletes ´elsz´ınez´esi t´etele: LegyenG p´aros gr´af ´esk pozit´ıv eg´esz. EkkorG ´elei kisz´ınezhet˝ok k sz´ınnel
´
ugy, hogy a sz´ınez´es minden csillagon a lehet˝o legegyenletesebb legyen, azaz tetsz˝olegesv cs´ucsra ´esi sz´ınre a v-re illeszked˝o i sz´ın˝u ´elek sz´ama l(v) :=bd(v)/kc vagy u(v) :=dd(v)/ke legyen.
Megj: A fenti sz´ınez´est egyenletes sz´ınez´esnek h´ıvjuk.
Biz: Az el˝oz˝o bizony´ıt´asban szerepl˝o konstrukci´ot ´ugy m´odos´ıtjuk, hogyz(e)-t 1/k-nak v´alasztjukG minden ´el´en. A kerek´ıt´es ut´an tetsz. v cs´ucsb´ol l(v) vagy u(v) ´elt fogunk kiv´alasztani, tov´abb´a az ezen ´elek elhagy´as´aval kapott gr´afban d0(v)/(k−1) tov´abbra is l(v) ´esu(v) k¨oz´e esik. A marad´ek gr´afra ugyanezt az elj´ar´astk−1-re elv´egezve folytatjuk az ´elek sz´ınez´es´et, m´ıg v´eg¨ul megkapunk a k´ıv´ant egyenletes ´elsz´ınez´est.
Megj:
K˝onig ´elsz´ınez´esi t´etele a fenti t´etel speci´alis esete k = ∆(G)-re.
A kerek´ıt´ esi lemma alkalmaz´ asa II.
P´aros gr´afok egyenletes ´elsz´ınez´esi t´etele: LegyenG p´aros gr´af ´esk pozit´ıv eg´esz. EkkorG ´elei kisz´ınezhet˝ok k sz´ınnel
´
ugy, hogy a sz´ınez´es minden csillagon a lehet˝o legegyenletesebb legyen, azaz tetsz˝olegesv cs´ucsra ´esi sz´ınre a v-re illeszked˝o i sz´ın˝u ´elek sz´ama l(v) :=bd(v)/kc vagy u(v) :=dd(v)/ke legyen.
Megj: A fenti sz´ınez´est egyenletes sz´ınez´esnek h´ıvjuk.
Biz: Az el˝oz˝o bizony´ıt´asban szerepl˝o konstrukci´ot ´ugy m´odos´ıtjuk, hogyz(e)-t 1/k-nak v´alasztjukG minden ´el´en. A kerek´ıt´es ut´an tetsz. v cs´ucsb´ol l(v) vagy u(v) ´elt fogunk kiv´alasztani, tov´abb´a az ezen ´elek elhagy´as´aval kapott gr´afban d0(v)/(k−1) tov´abbra is l(v) ´esu(v) k¨oz´e esik. A marad´ek gr´afra ugyanezt az elj´ar´astk−1-re elv´egezve folytatjuk az ´elek sz´ınez´es´et, m´ıg v´eg¨ul megkapunk a k´ıv´ant egyenletes ´elsz´ınez´est.
Megj:
K˝onig ´elsz´ınez´esi t´etele a fenti t´etel speci´alis esete k = ∆(G)-re.
