Gr´ afok ´ es algoritmusok
Gr´af´elek leemel´ese
2022. ´aprilis 26.
Szolg´ alati k¨ ozlem´ enyek
I Sz´obeli vizsg´ak: m´ajus 30, j´unius 13, j´unius 20
I KDDM 04.28. 16-1830, IB025,www.cs.bme.hu/konig
Szolg´ alati k¨ ozlem´ enyek
I Sz´obeli vizsg´ak: m´ajus 30, j´unius 13, j´unius 20
I KDDM 04.28. 16-1830, IB025,www.cs.bme.hu/konig
Mir˝ ol lesz sz´ o?
I 2-(´el)¨osszef¨ugg˝o gr´afok el˝o´all´ıt´asi t´etel´et vizsg´aljuk
I Er˝osen ¨osszef¨ugg˝o ir´any´ıt´as l´etez´ese
I Az ´el¨osszef¨ugg˝os´eget meg˝orz˝o ´elleemel´es lehet˝os´ege ´es k¨ovetkezm´enyei
I k-´el¨of ir´any´ıt´as l´etez´ese
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
v u
u0 =v0
Biz: TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz:
TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz: TfhG-nek van f¨ulfelbont´asa. Mivel a kiindul´asi egypont´u gr´af 2-´el¨of, ´es egyetlen f¨ul hozz´aad´asakor sem keletkezik elv´ag´o ´el, ez´ert a fel´ep´ıtettG 2-´el¨of lesz.
TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨ukG-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´esG-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz:
TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz: TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz: TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
v u
u0 =v0
Biz: Tfh G 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-nek u nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz:
Tfh G 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-nek u nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz: TfhG-nek van f¨ulfelbont´asa. Mivel a kiindul´asi k¨or gr´af 2-¨of, ´es egyetlen f¨ul hozz´aad´asakor sem keletkezik elv´ag´o pont, ez´ert a fel´ep´ıtettG 2-¨of lesz.
TfhG 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´esG-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-nek u nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz:
TfhG 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-neku nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz: TfhG 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-neku nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz: TfhG 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el.
MivelG-neku nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz.
Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
Er˝ osen ¨ osszef¨ ugg˝ o gr´ afok jellemz´ ese
Robbins t´etele: Tetsz˝oleges G ir´any´ıtatlan gr´af ´eleit pontosan akkor lehet er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıtani, ha G 2-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: TfhG nem 2-´el¨of, azazG az e ´el elhagy´as´at´ol sz´etesik egy K1 ´es egy K2 komponensre. Legyenu ´esv rendre aK1 ill. a K2
egy-egy cs´ucsa. Ha e-t aK1-b˝ol a K2-be ir´any´ıtjuk, akkor nem lesz ir´any´ıtottvu-´ut, haK2-b˝olK1-be, akkor nem lesz ir´any´ıtott uv-´ut. Ez´ert a 2-´el¨osszef¨ugg˝os´eg sz¨uks´eges az e¨of ir´any´ıt´as l´etez´es´ehez. El´egs´egess´eg. HaG 2-´el¨of, akkor vanG-nek f¨ulfelbont´asa az el˝oz˝o t´etel szerint. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ugy kaphatjuk meg G e¨of
ir´any´ıt´as´at, hogy minden hozz´aadott f¨ul ´eleit a f¨ul ment´en egy ir´anyba ir´any´ıtjuk. A fel´ep´ıt´es b´armely k¨oztes ´allapot´aban a f´elk´esz gr´af e¨of lesz, u.i. b´armely u,v cs´ucsaihoz l´etezik benne ir´any´ıtott uv-´ut. (4 eset van aszerint, hogy u ´esv az utols´o f¨ul¨on vannak-e.) Ez´ert a f¨ulek megir´any´ıt´as´aval fel´ep´ıtett gr´af az eredetiG gr´af egy e¨of ir´any´ıt´asa.
Er˝ osen ¨ osszef¨ ugg˝ o gr´ afok jellemz´ ese
Robbins t´etele: Tetsz˝oleges G ir´any´ıtatlan gr´af ´eleit pontosan akkor lehet er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıtani, ha G 2-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: TfhG nem 2-´el¨of, azaz G az e ´el elhagy´as´at´ol sz´etesik egy K1 ´es egy K2 komponensre. Legyenu ´esv rendre aK1 ill. a K2
egy-egy cs´ucsa. Ha e-t aK1-b˝ol a K2-be ir´any´ıtjuk, akkor nem lesz ir´any´ıtottvu-´ut, haK2-b˝olK1-be, akkor nem lesz ir´any´ıtottuv-´ut.
Ez´ert a 2-´el¨osszef¨ugg˝os´eg sz¨uks´eges az e¨of ir´any´ıt´as l´etez´es´ehez.
u v
K1
K2 e
El´egs´egess´eg. HaG 2-´el¨of, akkor vanG-nek f¨ulfelbont´asa az el˝oz˝o t´etel szerint. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ugy kaphatjuk meg G e¨of
ir´any´ıt´as´at, hogy minden hozz´aadott f¨ul ´eleit a f¨ul ment´en egy ir´anyba ir´any´ıtjuk. A fel´ep´ıt´es b´armely k¨oztes ´allapot´aban a f´elk´esz gr´af e¨of lesz, u.i. b´armely u,v cs´ucsaihoz l´etezik benne ir´any´ıtott uv-´ut. (4 eset van aszerint, hogy u ´esv az utols´o f¨ul¨on vannak-e.) Ez´ert a f¨ulek megir´any´ıt´as´aval fel´ep´ıtett gr´af az eredetiG gr´af egy e¨of ir´any´ıt´asa.
Er˝ osen ¨ osszef¨ ugg˝ o gr´ afok jellemz´ ese
Robbins t´etele: Tetsz˝oleges G ir´any´ıtatlan gr´af ´eleit pontosan akkor lehet er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıtani, ha G 2-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: TfhG nem 2-´el¨of, azaz G az e ´el elhagy´as´at´ol sz´etesik egy K1 ´es egy K2 komponensre. Legyenu ´esv rendre aK1 ill. a K2
egy-egy cs´ucsa. Ha e-t aK1-b˝ol a K2-be ir´any´ıtjuk, akkor nem lesz ir´any´ıtottvu-´ut, haK2-b˝olK1-be, akkor nem lesz ir´any´ıtottuv-´ut.
Ez´ert a 2-´el¨osszef¨ugg˝os´eg sz¨uks´eges az e¨of ir´any´ıt´as l´etez´es´ehez.
El´egs´egess´eg. HaG 2-´el¨of, akkor vanG-nek f¨ulfelbont´asa az el˝oz˝o t´etel szerint. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ugy kaphatjuk meg G e¨of
ir´any´ıt´as´at, hogy minden hozz´aadott f¨ul ´eleit a f¨ul ment´en egy ir´anyba ir´any´ıtjuk. A fel´ep´ıt´es b´armely k¨oztes ´allapot´aban a f´elk´esz gr´af e¨of lesz, u.i. b´armely u,v cs´ucsaihoz l´etezik benne ir´any´ıtott uv-´ut. (4 eset van aszerint, hogy u ´esv az utols´o f¨ul¨on vannak-e.) Ez´ert a f¨ulek megir´any´ıt´as´aval fel´ep´ıtett gr´af az eredetiG gr´af egy e¨of ir´any´ıt´asa.
Er˝ osen ¨ osszef¨ ugg˝ o gr´ afok jellemz´ ese
Robbins t´etele: Tetsz˝oleges G ir´any´ıtatlan gr´af ´eleit pontosan akkor lehet er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıtani, ha G 2-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: TfhG nem 2-´el¨of, azaz G az e ´el elhagy´as´at´ol sz´etesik egy K1 ´es egy K2 komponensre. Legyenu ´esv rendre aK1 ill. a K2
egy-egy cs´ucsa. Ha e-t aK1-b˝ol a K2-be ir´any´ıtjuk, akkor nem lesz ir´any´ıtottvu-´ut, haK2-b˝olK1-be, akkor nem lesz ir´any´ıtottuv-´ut.
Ez´ert a 2-´el¨osszef¨ugg˝os´eg sz¨uks´eges az e¨of ir´any´ıt´as l´etez´es´ehez.
El´egs´egess´eg. HaG 2-´el¨of, akkor vanG-nek f¨ulfelbont´asa az el˝oz˝o t´etel szerint. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ugy kaphatjuk meg G e¨of
ir´any´ıt´as´at, hogy minden hozz´aadott f¨ul ´eleit a f¨ul ment´en egy ir´anyba ir´any´ıtjuk. A fel´ep´ıt´es b´armely k¨oztes ´allapot´aban a f´elk´esz gr´af e¨of lesz, u.i. b´armely u,v cs´ucsaihoz l´etezik benne ir´any´ıtott uv-´ut. (4 eset van aszerint, hogy u ´esv az utols´o f¨ul¨on vannak-e.) Ez´ert a f¨ulek megir´any´ıt´as´aval fel´ep´ıtett gr´af az eredetiG gr´af egy e¨of ir´any´ıt´asa.
Elek felemel´ ´ ese
A tov´abbiakban egy speci´alis gr´afoper´aci´ot ´es annak alkalmaz´asait fogjuk vizsg´alni. Egye ´el felemel´eseaze feloszt´asa ´es a keletkez˝o oszt´opont egy kor´abbi cs´ucsba olvaszt´as´at jelenti. Az ´ıgy keletkez˝o
´elp´ar leemel´ese pedig egy ´el felemel´es´enek megford´ıt´asa. Mivel ´el felemel´es´evel a gr´af egyetlen v´ag´as´anak m´erete sem cs¨okken, ´ıgy leemel´eskor egyetlen v´ag´as m´erete sem n¨ovekszik. Most a c´el olyan leemel´est tal´alni, amire bizonyos v´ag´asok m´erete nem cs¨okken.
´Erdemes megfigyelni, hogy tetsz˝oleges G gr´afG Gomory-Hu f´aja felfoghat´o ´ugy is, hogy mindaddig v´egz¨unk ´elfelemel´eseket, am´ıt ezt ´ugy lehet megtenni, hogy λ(u,v) ne n¨ovekedj´ek G semelyik k´et cs´ucs´ara sem. Ugyanezt m´as szavakkal ´ugy mondhatjuk, hogy tetsz˝oleges G gr´af el˝o´all´ıthat´o a Gomory-Hu f´aj´ab´ol ´elp´arok lemel´es´enek egym´as ut´anj´aval.
A Lov´asz ´altal igazolt f˝o eredm´eny bizony´ıt´as´ahoz rendk´ıv¨ul hasznos a szubmodul´aris egyenl˝otlens´eg h´arom halmazra t¨ort´en˝o
´altal´anost´asa.
Elek felemel´ ´ ese
A tov´abbiakban egy speci´alis gr´afoper´aci´ot ´es annak alkalmaz´asait fogjuk vizsg´alni. Egye ´el felemel´eseaze feloszt´asa ´es a keletkez˝o oszt´opont egy kor´abbi cs´ucsba olvaszt´as´at jelenti. Az ´ıgy keletkez˝o
´elp´ar leemel´ese pedig egy ´el felemel´es´enek megford´ıt´asa. Mivel ´el felemel´es´evel a gr´af egyetlen v´ag´as´anak m´erete sem cs¨okken, ´ıgy leemel´eskor egyetlen v´ag´as m´erete sem n¨ovekszik. Most a c´el olyan leemel´est tal´alni, amire bizonyos v´ag´asok m´erete nem cs¨okken.
´Erdemes megfigyelni, hogy tetsz˝oleges G gr´afG Gomory-Hu f´aja felfoghat´o ´ugy is, hogy mindaddig v´egz¨unk ´elfelemel´eseket, am´ıt ezt ´ugy lehet megtenni, hogy λ(u,v) ne n¨ovekedj´ek G semelyik k´et cs´ucs´ara sem. Ugyanezt m´as szavakkal ´ugy mondhatjuk, hogy tetsz˝oleges G gr´af el˝o´all´ıthat´o a Gomory-Hu f´aj´ab´ol ´elp´arok lemel´es´enek egym´as ut´anj´aval.
A Lov´asz ´altal igazolt f˝o eredm´eny bizony´ıt´as´ahoz rendk´ıv¨ul hasznos a szubmodul´aris egyenl˝otlens´eg h´arom halmazra t¨ort´en˝o
´altal´anost´asa.
Elek felemel´ ´ ese
A tov´abbiakban egy speci´alis gr´afoper´aci´ot ´es annak alkalmaz´asait fogjuk vizsg´alni. Egye ´el felemel´eseaze feloszt´asa ´es a keletkez˝o oszt´opont egy kor´abbi cs´ucsba olvaszt´as´at jelenti. Az ´ıgy keletkez˝o
´elp´ar leemel´ese pedig egy ´el felemel´es´enek megford´ıt´asa. Mivel ´el felemel´es´evel a gr´af egyetlen v´ag´as´anak m´erete sem cs¨okken, ´ıgy leemel´eskor egyetlen v´ag´as m´erete sem n¨ovekszik. Most a c´el olyan leemel´est tal´alni, amire bizonyos v´ag´asok m´erete nem cs¨okken.
´Erdemes megfigyelni, hogy tetsz˝oleges G gr´afG Gomory-Hu f´aja felfoghat´o ´ugy is, hogy mindaddig v´egz¨unk ´elfelemel´eseket, am´ıt ezt ´ugy lehet megtenni, hogy λ(u,v) ne n¨ovekedj´ek G semelyik k´et cs´ucs´ara sem. Ugyanezt m´as szavakkal ´ugy mondhatjuk, hogy tetsz˝oleges G gr´af el˝o´all´ıthat´o a Gomory-Hu f´aj´ab´ol ´elp´arok lemel´es´enek egym´as ut´anj´aval.
A Lov´asz ´altal igazolt f˝o eredm´eny bizony´ıt´as´ahoz rendk´ıv¨ul hasznos a szubmodul´aris egyenl˝otlens´eg h´arom halmazra t¨ort´en˝o
´altal´anost´asa.
Elek felemel´ ´ ese
A tov´abbiakban egy speci´alis gr´afoper´aci´ot ´es annak alkalmaz´asait fogjuk vizsg´alni. Egye ´el felemel´eseaze feloszt´asa ´es a keletkez˝o oszt´opont egy kor´abbi cs´ucsba olvaszt´as´at jelenti. Az ´ıgy keletkez˝o
´elp´ar leemel´ese pedig egy ´el felemel´es´enek megford´ıt´asa. Mivel ´el felemel´es´evel a gr´af egyetlen v´ag´as´anak m´erete sem cs¨okken, ´ıgy leemel´eskor egyetlen v´ag´as m´erete sem n¨ovekszik. Most a c´el olyan leemel´est tal´alni, amire bizonyos v´ag´asok m´erete nem cs¨okken.
´Erdemes megfigyelni, hogy tetsz˝olegesG gr´afG Gomory-Hu f´aja felfoghat´o ´ugy is, hogy mindaddig v´egz¨unk ´elfelemel´eseket, am´ıt ezt ´ugy lehet megtenni, hogy λ(u,v) ne n¨ovekedj´ek G semelyik k´et cs´ucs´ara sem. Ugyanezt m´as szavakkal ´ugy mondhatjuk, hogy tetsz˝oleges G gr´af el˝o´all´ıthat´o a Gomory-Hu f´aj´ab´ol ´elp´arok lemel´es´enek egym´as ut´anj´aval.
A Lov´asz ´altal igazolt f˝o eredm´eny bizony´ıt´as´ahoz rendk´ıv¨ul hasznos a szubmodul´aris egyenl˝otlens´eg h´arom halmazra t¨ort´en˝o
´altal´anost´asa.
A h´ armas egyenl˝ otlens´ eg
Def: X ⊆V eset´end(X) :=|E(X)|az X ´esV \X k¨oz¨ott fut´o
´elek sz´ama, X, Y ⊆V eset´en pedigd(X,Y) :=|E(X,Y)|az X\Y ´esY \X k¨oz¨ott fut´o ´elek sz´ama.
T´etel: Tetsz. ir.tatlanG = (V,E) gr´af ´esA,B,C ⊆V eset´en d(A) +d(B) +d(C)≥d(A∩B∩C) +d(A−(B∪C)) +d(B− (A∪C)) +d(C −(B∪A)) + 2d(A∩B∩C,V −(A∪B∪C)) .
Biz: A szubmod. egyenl˝otlens´eg igazol´as´ahoz hasonl´oan itt is az egyes
´elt´ıpusok hozz´aj´arul´as´at kell vizsg´alni a k´et oldalhoz. Az ´abra (szimmetria erej´eig) tartalmazza az ¨osszes ´erdekes
´elt´ıpust. A folytonos ´elek hozz´aj´arul´asa mindk´et oldalhoz ugyanannyi, a
V A
C B
szaggatottak a bal oldalba besz´am´ıtanak, a jobb oldalba nem.
A h´ armas egyenl˝ otlens´ eg
Def: X ⊆V eset´end(X) :=|E(X)|az X ´esV \X k¨oz¨ott fut´o
´elek sz´ama, X, Y ⊆V eset´en pedigd(X,Y) :=|E(X,Y)|az X\Y ´esY \X k¨oz¨ott fut´o ´elek sz´ama.
T´etel: Tetsz. ir.tatlanG = (V,E) gr´af ´esA,B,C ⊆V eset´en d(A) +d(B) +d(C)≥d(A∩B∩C) +d(A−(B∪C)) +d(B− (A∪C)) +d(C −(B∪A)) + 2d(A∩B∩C,V −(A∪B∪C)) .
Biz: A szubmod. egyenl˝otlens´eg igazol´as´ahoz hasonl´oan itt is az egyes
´elt´ıpusok hozz´aj´arul´as´at kell vizsg´alni a k´et oldalhoz. Az ´abra (szimmetria erej´eig) tartalmazza az ¨osszes ´erdekes
´elt´ıpust. A folytonos ´elek hozz´aj´arul´asa mindk´et oldalhoz ugyanannyi, a
V A
C B
szaggatottak a bal oldalba besz´am´ıtanak, a jobb oldalba nem.
A h´ armas egyenl˝ otlens´ eg
Def: X ⊆V eset´end(X) :=|E(X)|az X ´esV \X k¨oz¨ott fut´o
´elek sz´ama, X, Y ⊆V eset´en pedigd(X,Y) :=|E(X,Y)|az X\Y ´esY \X k¨oz¨ott fut´o ´elek sz´ama.
T´etel: Tetsz. ir.tatlanG = (V,E) gr´af ´esA,B,C ⊆V eset´en d(A) +d(B) +d(C)≥d(A∩B∩C) +d(A−(B∪C)) +d(B− (A∪C)) +d(C −(B∪A)) + 2d(A∩B∩C,V −(A∪B∪C)) .
Biz: A szubmod. egyenl˝otlens´eg igazol´as´ahoz hasonl´oan itt is az egyes
´elt´ıpusok hozz´aj´arul´as´at kell vizsg´alni a k´et oldalhoz. Az ´abra (szimmetria erej´eig) tartalmazza az ¨osszes ´erdekes
´elt´ıpust. A folytonos ´elek hozz´aj´arul´asa mindk´et oldalhoz ugyanannyi, a
V A
C B
szaggatottak a bal oldalba besz´am´ıtanak, a jobb oldalba nem.
Lov´ asz leemel´ esi t´ etele
Def: Ha e =zu,f =zv aG gr´af ´elei, akkor
Gef :=G−e−f +uv aze,f leemel´eseut´an kapott gr´af.
T´etel: Ha G = (V +z,E), 2|d(z),λG(x,y)≥k ≥2 ∀x,y ∈V, akkor∀e =zu∈E ∃f =zv ∈E : λGef(x,y)≥k ∀x, y ∈V.
Biz: Az X (V halmazvesz´elyes, ha u∈X ´esd(X)≤k+ 1. f =zv-re (e,f) nem leemelhet˝o ⇐⇒ ∃X 3v vesz´elyes halmaz.
Lov´ asz leemel´ esi t´ etele
Def: Ha e =zu,f =zv aG gr´af ´elei, akkor
Gef :=G−e−f +uv aze,f leemel´eseut´an kapott gr´af.
T´etel: Ha G = (V +z,E), 2|d(z), λG(x,y)≥k ≥2 ∀x,y ∈V, akkor∀e =zu∈E ∃f =zv ∈E : λGef(x,y)≥k ∀x, y ∈V. A fenti t´etel Lov´asz L´aszl´o nev´ehez f˝uz˝odik. Azt mondja ki, hogy haz foksz´ama p´aros, ´es nincs a gr´afban elv´ag´o ´el, akkor b´armely z-b˝ol indul´oe ´elhez tal´alhat´o olyan z-b˝ol indul´o f ´el, amivele-t leemelve az-n k´ıv¨uli ponthalmaz minim´alis v´ag´as´anak ´elsz´ama nem cs¨okken.
Biz: Az X (V halmazvesz´elyes, ha u∈X ´esd(X)≤k+ 1. f =zv-re (e,f) nem leemelhet˝o ⇐⇒ ∃X 3v vesz´elyes halmaz.
Lov´ asz leemel´ esi t´ etele
Def: Ha e =zu,f =zv aG gr´af ´elei, akkor
Gef :=G−e−f +uv aze,f leemel´eseut´an kapott gr´af.
T´etel: Ha G = (V +z,E), 2|d(z), λG(x,y)≥k ≥2 ∀x,y ∈V, akkor∀e =zu∈E ∃f =zv ∈E : λGef(x,y)≥k ∀x, y ∈V.
Biz: Az X (V halmazvesz´elyes, ha u∈X ´esd(X)≤k+ 1.
f =zv-re (e,f) nem leemelhet˝o ⇐⇒ ∃X 3v vesz´elyes halmaz.
z V
u e X
v f
Lov´ asz leemel´ esi t´ etele
Def: Ha e =zu,f =zv aG gr´af ´elei, akkor
Gef :=G−e−f +uv aze,f leemel´eseut´an kapott gr´af.
T´etel: Ha G = (V +z,E), 2|d(z), λG(x,y)≥k ≥2 ∀x,y ∈V, akkor∀e =zu∈E ∃f =zv ∈E : λGef(x,y)≥k ∀x, y ∈V.
Biz: Az X (V halmazvesz´elyes, ha u∈X ´esd(X)≤k+ 1.
f =zv-re (e,f) nem leemelhet˝o ⇐⇒ ∃X 3v vesz´elyes halmaz.
I. Ha van olyan f = zv ´el, amire v-t nem tartalmazza vesz´elyes halmaz, akkoref leemelhet˝o.
v f z
V
u e X
Lov´ asz leemel´ esi t´ etele
Def: Ha e =zu,f =zv aG gr´af ´elei, akkor
Gef :=G−e−f +uv aze,f leemel´eseut´an kapott gr´af.
T´etel: Ha G = (V +z,E), 2|d(z), λG(x,y)≥k ≥2 ∀x,y ∈V, akkor∀e =zu∈E ∃f =zv ∈E : λGef(x,y)≥k ∀x, y ∈V.
Biz: Az X (V halmazvesz´elyes, ha u∈X ´esd(X)≤k+ 1.
f =zv-re (e,f) nem leemelhet˝o ⇐⇒ ∃X 3v vesz´elyes halmaz.
II. TfhN(z)⊆S
1≤i≤`Xi, ahol minden Xi vesz´elyes ´es` minim´alis.
a Ha ` = 1, akkor k + 1 ≥ d(X1) = d(V−X1) +d(z)≥k+ 2, ellentmond´as.
X1 z
V
u e X
Lov´ asz leemel´ esi t´ etele
Def: Ha e =zu,f =zv aG gr´af ´elei, akkor
Gef :=G−e−f +uv aze,f leemel´eseut´an kapott gr´af.
T´etel: Ha G = (V +z,E), 2|d(z), λG(x,y)≥k ≥2 ∀x,y ∈V, akkor∀e =zu∈E ∃f =zv ∈E : λGef(x,y)≥k ∀x, y ∈V.
Biz: Az X (V halmazvesz´elyes, ha u∈X ´esd(X)≤k+ 1.
f =zv-re (e,f) nem leemelhet˝o ⇐⇒ ∃X 3v vesz´elyes halmaz.
II. TfhN(z)⊆S
1≤i≤`Xi, ahol minden Xi vesz´elyes ´es` minim´alis.
a `= 1 X
b Ha `= 2, akkor 2(k+ 1)≥d(X1) + d(X2) =d(X1\X2)+d(X2\X1)+2d(X1∩ X2,(V +z)\(X1∪X2))≥k+k+ 2.
X2 X1
z V
u e X
V´egig egyenl˝os´eg ´all, ´ıgy E(X1∩X2,(V +z)\(X1∪X2)) ={zu}
´esd(X1) =d(X2) =k+ 1. Miveld(z) p´aros, ez´ert feltehet˝o, hogy d(z,X1\X2)>d(z,X2\X1), ahonnan
d(V \X1) =d(X1)−d(z,X1) +d(z,X2\X1)≤
k+ 1−d(z,X1\X2)−1 +d(z,X2\X1)<k, ellentmond´as.
Lov´ asz leemel´ esi t´ etele
Def: Ha e =zu,f =zv aG gr´af ´elei, akkor
Gef :=G−e−f +uv aze,f leemel´eseut´an kapott gr´af.
T´etel: Ha G = (V +z,E), 2|d(z), λG(x,y)≥k ≥2 ∀x,y ∈V, akkor∀e =zu∈E ∃f =zv ∈E : λGef(x,y)≥k ∀x, y ∈V.
Biz: Az X (V halmazvesz´elyes, ha u∈X ´esd(X)≤k+ 1.
f =zv-re (e,f) nem leemelhet˝o ⇐⇒ ∃X 3v vesz´elyes halmaz.
II. TfhN(z)⊆S
1≤i≤`Xi, ahol minden Xi vesz´elyes ´es` minim´alis.
a `= 1 X
b `= 2 X
c Ha`≥3, akkor
X3
X2 X1
z V
u e X
3(k+ 1)≥d(X1) +d(X2) +d(X3)≥
d(X1∩X2∩X3) +d(X1−(X2∪X3)) +d(X2−(X1∪X3)) +d(X3− (X1∪X2)) + 2d(X1∩X2∩X3,(V +z)\(X1∪X2∪X3))≥4k+ 2, ahonnank ≤1 ad´odik, ami ellentmond´as. Ezek szerint
mindenk´epp az I. eset val´osul meg, lehets´eges a leemel´es.
Teljes leemel´ es
Def: AG gr´af z cs´ucs´anak teljes leemel´eseolyan z-re illeszked˝o ´elp´arok egym´as ut´ani leemel´ese, ami ut´an z izol´alt pontt´a v´alik. Ezut´an z-t t¨or¨olj¨uk.
T´etel: Tfh aG = (V +z,E) gr´afband(z) p´aros ´es λG(x,y)≥k ≥2 ∀x, y∈V . Ekkor vanz-nek olyan teljes leemel´ese, amire a kapott gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o marad.
Biz: Lov´asz leemel´esi t´etele miattz-r˝ol ´ugy emelhet˝o le egy
´elp´ar, hogy a t´etel felt´etelei a leemel´es ut´an is teljes¨ulnek. Ez´ert eg´eszen addig emelhet¨unk le ´elp´arokatz-r˝ol a V-beli cs´ucsok k¨oz¨otti lok´alis k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval, m´ıg z izol´altt´a nem v´alik. Ekkor z-t t¨or¨olhetj¨uk.
Teljes leemel´ es
Def: AG gr´af z cs´ucs´anak teljes leemel´eseolyan z-re illeszked˝o ´elp´arok egym´as ut´ani leemel´ese, ami ut´an z izol´alt pontt´a v´alik. Ezut´an z-t t¨or¨olj¨uk.
T´etel: Tfh aG = (V +z,E) gr´afband(z) p´aros ´es λG(x,y)≥k ≥2 ∀x, y∈V . Ekkor vanz-nek olyan teljes leemel´ese, amire a kapott gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o marad.
Biz: Lov´asz leemel´esi t´etele miattz-r˝ol ´ugy emelhet˝o le egy
´elp´ar, hogy a t´etel felt´etelei a leemel´es ut´an is teljes¨ulnek. Ez´ert eg´eszen addig emelhet¨unk le ´elp´arokatz-r˝ol a V-beli cs´ucsok k¨oz¨otti lok´alis k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval, m´ıg z izol´altt´a nem v´alik. Ekkor z-t t¨or¨olhetj¨uk.
Teljes leemel´ es
Def: AG gr´af z cs´ucs´anak teljes leemel´eseolyan z-re illeszked˝o ´elp´arok egym´as ut´ani leemel´ese, ami ut´an z izol´alt pontt´a v´alik. Ezut´an z-t t¨or¨olj¨uk.
T´etel: Tfh aG = (V +z,E) gr´afband(z) p´aros ´es λG(x,y)≥k ≥2 ∀x, y∈V . Ekkor vanz-nek olyan teljes leemel´ese, amire a kapott gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o marad.
Biz: Lov´asz leemel´esi t´etele miattz-r˝ol ´ugy emelhet˝o le egy
´elp´ar, hogy a t´etel felt´etelei a leemel´es ut´an is teljes¨ulnek. Ez´ert eg´eszen addig emelhet¨unk le ´elp´arokatz-r˝ol a V-beli cs´ucsok k¨oz¨otti lok´alis k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval, m´ıg z izol´altt´a nem v´alik. Ekkor z-t t¨or¨olhetj¨uk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz. G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
A bizony´ıt´ashoz rendk´ıv¨ul hasznos az al´abbi lemma.
Lemma: Ha G minim´alisank-´el¨osszef¨ugg˝o gr´af (azazG−e nemk-´el¨osszef¨ugg˝oG egyetlene ´el´ere sem), akkor G-nek van k-adfok´u cs´ucsa.
Biz: Ezt m´ar igazoltuk a maxvissza sorrend kapcs´an. Eml´ekeztet˝o¨ul: haG k-szorosan ¨osszef¨ugg˝o, akkor ennek F1∪F2∪. . .∪Fk egy ritka tan´uja, aholFi aG egy r¨ogz´ıtett maxvissza sorrendj´ehez tartoz´o erd˝o. Ha G minim´alis k-´el¨of gr´af, akkor ez a ritka tan´u megegyezik E(G)-vel. Tov´abb´a a maxvissza sorrend utols´o cs´ucs´anak foksz´ama a ritka tan´uban pontosank.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese. A bizony´ıt´ashoz rendk´ıv¨ul hasznos az al´abbi lemma.
Lemma: Ha G minim´alisank-´el¨osszef¨ugg˝o gr´af (azazG−e nemk-´el¨osszef¨ugg˝oG egyetlene ´el´ere sem), akkor G-nek van k-adfok´u cs´ucsa.
Biz: Ezt m´ar igazoltuk a maxvissza sorrend kapcs´an. Eml´ekeztet˝o¨ul: haG k-szorosan ¨osszef¨ugg˝o, akkor ennek F1∪F2∪. . .∪Fk egy ritka tan´uja, aholFi aG egy r¨ogz´ıtett maxvissza sorrendj´ehez tartoz´o erd˝o. Ha G minim´alis k-´el¨of gr´af, akkor ez a ritka tan´u megegyezik E(G)-vel. Tov´abb´a a maxvissza sorrend utols´o cs´ucs´anak foksz´ama a ritka tan´uban pontosank.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
A bizony´ıt´ashoz rendk´ıv¨ul hasznos az al´abbi lemma.
Lemma: Ha G minim´alisank-´el¨osszef¨ugg˝o gr´af (azazG−e nemk-´el¨osszef¨ugg˝oG egyetlene ´el´ere sem), akkor G-nek van k-adfok´u cs´ucsa.
Biz: Ezt m´ar igazoltuk a maxvissza sorrend kapcs´an. Eml´ekeztet˝o¨ul: haG k-szorosan ¨osszef¨ugg˝o, akkor ennek F1∪F2∪. . .∪Fk egy ritka tan´uja, aholFi aG egy r¨ogz´ıtett maxvissza sorrendj´ehez tartoz´o erd˝o. Ha G minim´alis k-´el¨of gr´af, akkor ez a ritka tan´u megegyezik E(G)-vel. Tov´abb´a a maxvissza sorrend utols´o cs´ucs´anak foksz´ama a ritka tan´uban pontosank.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
A 2-´el¨of gr´afok f¨ulfelbont´as´aban a f¨ul hozz´aad´asa felfoghat´o egy ´uj (hurok)´el beh´uz´as´anak majd egy ´el ¨onmag´aval t¨ort´en˝o t¨obbsz¨ori
¨
osszecs´ıp´es´enek.
v u
A bizony´ıt´ashoz rendk´ıv¨ul hasznos az al´abbi lemma.
Lemma: Ha G minim´alisank-´el¨osszef¨ugg˝o gr´af (azazG−e nemk-´el¨osszef¨ugg˝oG egyetlene ´el´ere sem), akkor G-nek van k-adfok´u cs´ucsa.
Biz: Ezt m´ar igazoltuk a maxvissza sorrend kapcs´an. Eml´ekeztet˝o¨ul: haG k-szorosan ¨osszef¨ugg˝o, akkor ennek F1∪F2∪. . .∪Fk egy ritka tan´uja, aholFi aG egy r¨ogz´ıtett maxvissza sorrendj´ehez tartoz´o erd˝o. Ha G minim´alis k-´el¨of gr´af, akkor ez a ritka tan´u megegyezik E(G)-vel. Tov´abb´a a maxvissza sorrend utols´o cs´ucs´anak foksz´ama a ritka tan´uban pontosank.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
A bizony´ıt´ashoz rendk´ıv¨ul hasznos az al´abbi lemma.
Lemma: Ha G minim´alisank-´el¨osszef¨ugg˝o gr´af (azazG−e nemk-´el¨osszef¨ugg˝oG egyetlene ´el´ere sem), akkor G-nek van k-adfok´u cs´ucsa.
Biz: Ezt m´ar igazoltuk a maxvissza sorrend kapcs´an. Eml´ekeztet˝o¨ul: haG k-szorosan ¨osszef¨ugg˝o, akkor ennek F1∪F2∪. . .∪Fk egy ritka tan´uja, aholFi aG egy r¨ogz´ıtett maxvissza sorrendj´ehez tartoz´o erd˝o. Ha G minim´alis k-´el¨of gr´af, akkor ez a ritka tan´u megegyezik E(G)-vel. Tov´abb´a a maxvissza sorrend utols´o cs´ucs´anak foksz´ama a ritka tan´uban pontosank.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
A bizony´ıt´ashoz rendk´ıv¨ul hasznos az al´abbi lemma.
Lemma: Ha G minim´alisan k-´el¨osszef¨ugg˝o gr´af (azazG−e nemk-´el¨osszef¨ugg˝oG egyetlene ´el´ere sem), akkor G-nek van k-adfok´u cs´ucsa.
Biz: Ezt m´ar igazoltuk a maxvissza sorrend kapcs´an. Eml´ekeztet˝o¨ul: haG k-szorosan ¨osszef¨ugg˝o, akkor ennek F1∪F2∪. . .∪Fk egy ritka tan´uja, aholFi aG egy r¨ogz´ıtett maxvissza sorrendj´ehez tartoz´o erd˝o. Ha G minim´alis k-´el¨of gr´af, akkor ez a ritka tan´u megegyezik E(G)-vel. Tov´abb´a a maxvissza sorrend utols´o cs´ucs´anak foksz´ama a ritka tan´uban pontosank.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
A bizony´ıt´ashoz rendk´ıv¨ul hasznos az al´abbi lemma.
Lemma: Ha G minim´alisan k-´el¨osszef¨ugg˝o gr´af (azazG−e nemk-´el¨osszef¨ugg˝oG egyetlene ´el´ere sem), akkor G-nek van k-adfok´u cs´ucsa.
Biz: Ezt m´ar igazoltuk a maxvissza sorrend kapcs´an.
Eml´ekeztet˝o¨ul: haG k-szorosan ¨osszef¨ugg˝o, akkor ennek F1∪F2∪. . .∪Fk egy ritka tan´uja, aholFi aG egy r¨ogz´ıtett maxvissza sorrendj´ehez tartoz´o erd˝o. Ha G minim´alis k-´el¨of gr´af, akkor ez a ritka tan´u megegyezik E(G)-vel. Tov´abb´a a maxvissza sorrend utols´o cs´ucs´anak foksz´ama a ritka tan´uban pontosank.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
2k -´ el¨ of gr´ afok el˝ o´ all´ıt´ asa.
Def: AG gr´af k ´el´enek ¨osszecs´ıp´eseazt jelenti, hogyG k db
´el´et felosztjuk egy-egy cs´uccsal, ´es az oszt´opontokat azonos´ıtjuk.
T´etel: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af pontosan akkor
2k-´el¨osszef¨ugg˝o, ha G el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol az al´abbi l´ep´esek alkalmaz´as´aval: (i) ´el hozz´aad´asa, (ii)k db ´el ¨osszecs´ıp´ese.
Biz: El´egs´egess´eg: k¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a l´ep´esek alkalmaz´asa sor´an sosem keletkezik 2k-n´al kevesebb ´el˝u v´ag´as.
Sz¨uks´egess´eg: azt igazoljuk, hogy tetsz. 2k-´el¨ofG gr´af egy pontt´a reduk´alhat´o ´elek elhagy´as´aval ´es 2k-fok´u cs´ucsok teljes
leemel´es´evel. Egy ilyen redukci´o id˝obeli megford´ıt´asa ´epp a G egy el˝o´all´ıt´asa a t´etelben le´ırt l´ep´esekkel.
A redukci´o v´egz´esekor ´eleket hagyunk el, mindaddig m´ıg G 2k-´el¨of marad. Ha m´ar b´armely ´el elhagy´as´at´ol G nem marad 2k-´el¨of, ´es G-nek legal´abb k´et cs´ucsa van, akkorG-nek van pontosan 2k-fok´u cs´ucsa is. Ezt a cs´ucsot teljesen le tudjuk emelni a marad´ek gr´afon a 2k-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg megtart´as´aval. ´Igy el˝obb ut´obb G-t egy cs´ucsra reduk´aljuk.
k -´ el¨ of ir´ any´ıt´ as l´ etez´ ese
Nash-Williams t´etele: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af ´elei pontosan akkor ir´any´ıthat´ok ´ugy, hogy k-´el¨osszef¨ugg˝o gr´afot kapjunk, haG 2k-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: Sz¨uks´egess´eg: Tekints¨uk G egy k-´el¨of gr´aff´a ir´any´ıt´as´at. Ebben b´armely ∅ 6=X (V(G) ponthalmazba legal´abbk ´el l´ep be,
´es bel˝ole legal´abbk ´el l´ep ki. Ez´ertdG(X)≥2k, tetsz. X eset´en, azazG bizonyosan 2k-´el¨of.
El´egs´egess´eg: Tekints¨uk G egy
´elbeh´uz´asokkal ´esk ´el ¨osszecs´ıp´es´evel t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´as´at.
K´epezz¨uk G egy ir´any´ıt´as´at ´ugy, hogy az ´elek beh´uz´asa helyett az adott ´el egy tetsz˝oleges ir´any´ıt´ast h´uzzuk be, az ´el¨osszecs´ıp´esek sor´an pedig meg˝orizz¨uk az ¨osszecs´ıpett ´elek ir´any´ıt´ast. Vil´agos, hogy ´el hozz´aad´as´aval nem keletkezhet k-n´al kevesebb ´el˝u
ir´any´ıtott v´ag´as. Dek ´el ¨osszecs´ıpese nyoman sem ad´odhat ilyen. Ha u.i. a v´ag´as mindk´et oldal´an van az ¨osszecs´ıpett cs´ucst´ol k¨ul¨onb¨oz˝o cs´ucs, akkor az eredeti gr´afban is lenne k-n´al kisebb ir´any´ıtott v´ag´as, ´es ha az ¨osszecs´ıpett cs´ucs egymaga a v´ag´as egyik r´esze, akkor sem. A G´ıgy fel´ep´ıtett ir´any´ıt´asa teh´atk-´el¨of.
k -´ el¨ of ir´ any´ıt´ as l´ etez´ ese
Nash-Williams t´etele: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af ´elei pontosan akkor ir´any´ıthat´ok ´ugy, hogy k-´el¨osszef¨ugg˝o gr´afot kapjunk, haG 2k-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: Sz¨uks´egess´eg: Tekints¨uk G egy k-´el¨of gr´aff´a ir´any´ıt´as´at.
Ebben b´armely ∅ 6=X (V(G) ponthalmazba legal´abbk ´el l´ep be,
´es bel˝ole legal´abbk ´el l´ep ki. Ez´ertdG(X)≥2k, tetsz. X eset´en, azazG bizonyosan 2k-´el¨of.
El´egs´egess´eg: Tekints¨uk G egy
´elbeh´uz´asokkal ´esk ´el ¨osszecs´ıp´es´evel t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´as´at.
K´epezz¨uk G egy ir´any´ıt´as´at ´ugy, hogy az ´elek beh´uz´asa helyett az adott ´el egy tetsz˝oleges ir´any´ıt´ast h´uzzuk be, az ´el¨osszecs´ıp´esek sor´an pedig meg˝orizz¨uk az ¨osszecs´ıpett ´elek ir´any´ıt´ast. Vil´agos, hogy ´el hozz´aad´as´aval nem keletkezhet k-n´al kevesebb ´el˝u
ir´any´ıtott v´ag´as. Dek ´el ¨osszecs´ıpese nyoman sem ad´odhat ilyen. Ha u.i. a v´ag´as mindk´et oldal´an van az ¨osszecs´ıpett cs´ucst´ol k¨ul¨onb¨oz˝o cs´ucs, akkor az eredeti gr´afban is lenne k-n´al kisebb ir´any´ıtott v´ag´as, ´es ha az ¨osszecs´ıpett cs´ucs egymaga a v´ag´as egyik r´esze, akkor sem. A G´ıgy fel´ep´ıtett ir´any´ıt´asa teh´atk-´el¨of.
k -´ el¨ of ir´ any´ıt´ as l´ etez´ ese
Nash-Williams t´etele: Tetsz.G ir´any´ıtatlan multigr´af ´elei pontosan akkor ir´any´ıthat´ok ´ugy, hogy k-´el¨osszef¨ugg˝o gr´afot kapjunk, haG 2k-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: Sz¨uks´egess´eg: Tekints¨uk G egy k-´el¨of gr´aff´a ir´any´ıt´as´at.
Ebben b´armely ∅ 6=X (V(G) ponthalmazba legal´abbk ´el l´ep be,
´es bel˝ole legal´abbk ´el l´ep ki. Ez´ertdG(X)≥2k, tetsz. X eset´en, azazG bizonyosan 2k-´el¨of. El´egs´egess´eg: Tekints¨uk G egy
´elbeh´uz´asokkal ´esk ´el ¨osszecs´ıp´es´evel t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´as´at.
K´epezz¨ukG egy ir´any´ıt´as´at ´ugy, hogy az ´elek beh´uz´asa helyett az adott ´el egy tetsz˝oleges ir´any´ıt´ast h´uzzuk be, az ´el¨osszecs´ıp´esek sor´an pedig meg˝orizz¨uk az ¨osszecs´ıpett ´elek ir´any´ıt´ast. Vil´agos, hogy ´el hozz´aad´as´aval nem keletkezhet k-n´al kevesebb ´el˝u
ir´any´ıtott v´ag´as. Dek ´el ¨osszecs´ıpese nyoman sem ad´odhat ilyen.
Ha u.i. a v´ag´as mindk´et oldal´an van az ¨osszecs´ıpett cs´ucst´ol k¨ul¨onb¨oz˝o cs´ucs, akkor az eredeti gr´afban is lenne k-n´al kisebb ir´any´ıtott v´ag´as, ´es ha az ¨osszecs´ıpett cs´ucs egymaga a v´ag´as egyik r´esze, akkor sem. A G´ıgy fel´ep´ıtett ir´any´ıt´asa teh´atk-´el¨of.
