Gr´afok ´es algoritmusok

Gr´ afok ´ es algoritmusok

A maxvissza sorrend tov´abbi alkalmaz´asai

2022. m´arcius 29.

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunkt vnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I A mai ´or´an ak-szoros (´el)¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´anak el˝o´all´ıt´as´ahoz seg´ıt hozz´a a maxvissza sorrend.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunkt vnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I A mai ´or´an ak-szoros (´el)¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´anak el˝o´all´ıt´as´ahoz seg´ıt hozz´a a maxvissza sorrend.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunktvnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I A mai ´or´an ak-szoros (´el)¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´anak el˝o´all´ıt´as´ahoz seg´ıt hozz´a a maxvissza sorrend.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunktvnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I A mai ´or´an ak-szoros (´el)¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´anak el˝o´all´ıt´as´ahoz seg´ıt hozz´a a maxvissza sorrend.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunktvnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I A mai ´or´an ak-szoros (´el)¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´anak el˝o´all´ıt´as´ahoz seg´ıt hozz´a a maxvissza sorrend.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok (ism´ etl´ es)

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´ejek lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja a G cs´ucshalmaz´an. Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), F_k a G_k gr´af egy, a gy¨okereib˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkor v_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut: F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok (ism´ etl´ es)

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´eje k lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja a G cs´ucshalmaz´an. Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), F_k a G_k gr´af egy, a gy¨okereib˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkor v_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut: F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok (ism´ etl´ es)

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´eje k lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja aG cs´ucshalmaz´an.

Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), Fk a G_k gr´af egy, a gy¨okereib˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkor v_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut: F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok (ism´ etl´ es)

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´eje k lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja aG cs´ucshalmaz´an.

Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), Fk a G_k gr´af egy, a gy¨okereib˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkorv_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut:

F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok (ism´ etl´ es)

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´eje k lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja aG cs´ucshalmaz´an.

Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), Fk a G_k gr´af egy, a gy¨okereib˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkorv_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut:

F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨of.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha λ(G)≥k ´esn =|V(G)|, akkor van G

k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja. Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n a G egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza. MivelFi fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1). Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u v_iv_j ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝oF-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨of.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha λ(G)≥k ´esn =|V(G)|, akkor van G

k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n a G egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza. MivelFi fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1). Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u v_iv_j ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝oF-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨of.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha λ(G)≥k ´esn =|V(G)|, akkor van G

k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelFi fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1). Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u v_iv_j ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝oF-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨of.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha λ(G)≥k ´esn =|V(G)|, akkor van G

k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelF_i fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1).

Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u v_iv_j ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝oF-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨of.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha λ(G)≥k ´esn =|V(G)|, akkor van G

k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelF_i fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1).

Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u vivj ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝o F-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨of.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha λ(G)≥k ´esn =|V(G)|, akkor van G

k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelF_i fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1).

Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk.

II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u vivj ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝o F-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨of.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha λ(G)≥k ´esn =|V(G)|, akkor van G

k-´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelF_i fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1).

Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk.

II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u vivj ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken.

Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝o F-beli ´el.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

Megj: A vegyes v´ag´as tekinthet˝o a cs´ucsok piros-feh´er-z¨old sz´ınez´es´enek: azU-beli cs´ucsok feh´erek,E⁰ pedig a piros ´es z¨old cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elekb˝ol ´all.

u

v U

A vegyes v´ag´as pontosan a piros-z¨old cs´ucsp´arokat szepar´alja.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje. Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyv_iv_j-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G₂ gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv₁ nem z¨old. Mivel F₁-ben nincs pz ´el, ez´ertv₁-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F1-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkor F1 vv1-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje. Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G₂ gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv₁ nem z¨old. Mivel F₁-ben nincs pz ´el, ez´ertv₁-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F1-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

Megf: Menger t´etele miatt az u ´esv k¨oz¨ott fut´o bels˝oleg pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje. Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G₂ gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv₁ nem z¨old. Mivel F₁-ben nincs pz ´el, ez´ertv₁-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

Megf: Menger t´etele miatt az u ´esv k¨oz¨ott fut´o bels˝oleg pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

Biz: Vanκ(u,v) bpduv-´ut, ez´ert minden vegyes v´ag´as legal´abb κ(u,v) m´eret˝u, hisz ezen utak mindegyik´er˝ol tartalmaz cs´ucsot vagy ´elt.

u

v U

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje. Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden vivj-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F₁. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

Megf: Menger t´etele miatt az u ´esv k¨oz¨ott fut´o bels˝oleg pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

Biz: Vanκ(u,v) bpduv-´ut, ez´ert minden vegyes v´ag´as legal´abb κ(u,v) m´eret˝u, hisz ezen utak mindegyik´er˝ol tartalmaz cs´ucsot vagy ´elt.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje. Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G₂ gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv₁ nem z¨old. Mivel F₁-ben nincs pz ´el, ez´ertv₁-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

Megf: Menger t´etele miatt az u ´esv k¨oz¨ott fut´o bels˝oleg pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

Biz: Vanκ(u,v) bpduv-´ut, ez´ert minden vegyes v´ag´as legal´abb κ(u,v) m´eret˝u, hisz ezen utak mindegyik´er˝ol tartalmaz cs´ucsot vagy ´elt.

Hauv 6∈E, akkor Menger idev´ag´o t´etele az uv-utak lefoghat´ok κ(u,v) ponttal, ez´ert van κ(u,v) m´eret˝u pontv´ag´as, ami egy´uttal vegyes v´ag´asnak is tekinthet˝o.

Ha pediguv ∈E, akkorG⁰ =G−uv-ben vank−1 m´eret˝u,u-t ´es v-t szepar´al´o pontv´ag´as, ´es ezt az uv ´ellel kieg´esz´ıtve aG egy k m´eret˝u,u-t ´esv-t szepar´al´o vegyes v´ag´as´at kapjuk.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje. Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G₂ gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv₁ nem z¨old. Mivel F₁-ben nincs pz ´el, ez´ertv₁-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje. Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G₂ gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv₁ nem z¨old. Mivel F₁-ben nincs pz ´el, ez´ertv₁-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F1-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Megj: A t´etelben szerepl˝o κ(vi,vj)≥k ´all´ıt´as nem csak a G gr´afra igaz, hanem a G⁰= (V(G),F1∪F2∪. . .∪F_k) r´eszgr´afra is.

Ugyanisv₁,v₂. . . .a G⁰ cs´ucsainak is maxvissza sorrendje, ez´ertv_i

´esvj aG⁰ gr´af k-as c´ımk´ej˝u ´elei ´altal alkotott fesz´ıt˝o erdej´enek is ugyanabba a komponens´ebe esnek.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden vivj-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F₁ =∅, azaz F₁-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F₁. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele.

Ekkor (U,E⁰\F1)G2-ben egyvi-t ´esvj-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ez´ert|U|+|E⁰| ≥ |U|+|E⁰\F1|+ 1≥k−1 + 1 =k, szuper.

X II. esetE⁰∩F₁ =∅, azaz F₁-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F1-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkor F1 vv1-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F₁. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F1-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG2 egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele.

P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

v_i

vj

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Ha uv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkorG k-¨osszef¨ugg¨os´eg´enek van egy legfeljebbkn− ^k+1₂

´

elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn =|V(G)|. Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrend ´esG⁰= (V,F), aholF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza. Igazoljuk, hogy tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´asra|U|+|E⁰∩F| ≥k. I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetvivj ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja vi-t ´esvj-t,

´es avivj ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. ´Igyvi ´esvj Fk-nak ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a. Utols´o l´ep´es: F becsl´ese. Ha v az F_i gy¨okere, akkorv izol´altF_i+1-ben. Ez´ert|F₁| ≤n−1,

|F₂| ≤n−2,. . .,|F_k| ≤n−k, ´ıgy|F| ≤kn− ^k+1₂ .

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkorG k-¨osszef¨ugg¨os´eg´enek van egy legfeljebbkn− ^k+1₂

´

elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn =|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrend ´esG⁰= (V,F), aholF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza. Igazoljuk, hogy tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´asra|U|+|E⁰∩F| ≥k. I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetvivj ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja vi-t ´esvj-t,

´es avivj ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. ´Igyvi ´esvj Fk-nak ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a. Utols´o l´ep´es: F becsl´ese. Ha v az F_i gy¨okere, akkorv izol´altF_i+1-ben. Ez´ert|F₁| ≤n−1,

|F₂| ≤n−2,. . .,|F_k| ≤n−k, ´ıgy|F| ≤kn− ^k+1₂ .

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkorG k-¨osszef¨ugg¨os´eg´enek van egy legfeljebbkn− ^k+1₂

´

elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn =|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrend ´esG⁰= (V,F), aholF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

Igazoljuk, hogy tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´asra|U|+|E⁰∩F| ≥k.

I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetvivj ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja vi-t ´esvj-t,

´es avivj ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. ´Igyvi ´esvj Fk-nak ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a. Utols´o l´ep´es: F becsl´ese. Ha v az F_i gy¨okere, akkorv izol´altF_i+1-ben. Ez´ert|F₁| ≤n−1,

|F₂| ≤n−2,. . .,|F_k| ≤n−k, ´ıgy|F| ≤kn− ^k+1₂ .

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkorG k-¨osszef¨ugg¨os´eg´enek van egy legfeljebbkn− ^k+1₂

´

elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn =|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrend ´esG⁰= (V,F), aholF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

Igazoljuk, hogy tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´asra|U|+|E⁰∩F| ≥k. I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetvivj ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja vi-t ´esvj-t,

´es avivj ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. ´Igyvi ´esvj Fk-nak ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben minden v_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a. Utols´o l´ep´es: F becsl´ese. Hav az F_i gy¨okere, akkorv izol´altF_i+1-ben. Ez´ert |F₁| ≤n−1,

|F₂| ≤n−2,. . .,|F_k| ≤n−k, ´ıgy|F| ≤kn− ^k+1₂ .

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre

Def: AzF ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkorG k-¨osszef¨ugg¨os´eg´enek van egy legfeljebbkn− ^k+1₂

´

elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn =|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrend ´esG⁰= (V,F), aholF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

Igazoljuk, hogy tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´asra|U|+|E⁰∩F| ≥k. I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetv_iv_j ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja v_i-t ´esv_j-t,

´es avivj ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. ´Igyvi ´esvj Fk-nak ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben minden v_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a.

Utols´o l´ep´es: F becsl´ese. Hav az F_i gy¨okere, akkorv izol´altF_i+1-ben. Ez´ert |F₁| ≤n−1,

|F₂| ≤n−2,. . .,|F_k| ≤n−k, ´ıgy|F| ≤kn− ^k+1₂ .