Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

Biz: Vanκ(u,v) bpduv-´ut, ez´ert minden vegyes v´ag´as legal´abb κ(u,v) m´eret˝u, hisz ezen utak mindegyik´er˝ol tartalmaz cs´ucsot vagy ´elt.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F₁. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

Biz: Vanκ(u,v) bpduv-´ut, ez´ert minden vegyes v´ag´as legal´abb κ(u,v) m´eret˝u, hisz ezen utak mindegyik´er˝ol tartalmaz cs´ucsot vagy ´elt.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

Biz: Vanκ(u,v) bpduv-´ut, ez´ert minden vegyes v´ag´as legal´abb κ(u,v) m´eret˝u, hisz ezen utak mindegyik´er˝ol tartalmaz cs´ucsot vagy ´elt.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ha u,v6∈U ´es aG −U−E⁰ gr´af nem tartalmaz uv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´as m´erete

|U|+|E⁰|.

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje. Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G₂ gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv₁ nem z¨old. Mivel F₁-ben nincs pz ´el, ez´ertv₁-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F1-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F₁. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k: Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u. I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele.

Ekkor (U,E⁰\F1)G2-ben egyvi-t ´esvj-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, ez´ert|U|+|E⁰| ≥ |U|+|E⁰\F1|+ 1≥k−1 + 1 =k, szuper.

X II. esetE⁰∩F₁ =∅, azaz F₁-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F1-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkor F1 vv1-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F₁. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F1-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG2 egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele.

P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

v_i

vj

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy |U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata

T´etel: TfhG egyszer˝u ´esv1,v2, . . . ,vn egy maxvissza sorrendje.

Hav_i,v_j az F_k egyazon komponens´ebe esnek, akkor κ(v_i,v_j)≥k.

Biz: Feltehet˝o, hogyG ¨of. Indukci´ok-ra: k = 1X. (k−1)7→k:

Tek. egyvivj-szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Az indukci´o miatt a G2 gr´af minden v_iv_j-szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele. P-z sz´ıncser´evel feltehet˝o, hogyv1 nem z¨old. Mivel F1-ben nincs pz ´el, ez´ertv1-b˝ol z¨old cs´ucsba vezet˝o F₁-beli ´uton van feh´er cs´ucs.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝o feh´er cs´ucsa. Minden z¨old cs´ucs u ut´an ´all a maxvissza sorrendben. Legyen v azu tetsz. z¨old szomsz´edja. Ha uv 6∈F₁, akkor F₁ vv₁-´utj´an nem lenne feh´er cs´ucs. Ez´ertuv ∈F1. Ha u-t ´atsz´ınezz¨uk pirosra, akkor a kapott vegyes v´ag´as ponthalmaza 1-gyel cs¨okken, ´elhalmaza pedig csak F₁-beli ´elekkel b˝ov¨ul. Ez´ert (U −u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa,

´ıgy|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

In document Gr´afok ´es algoritmusok (Pldal 21-36)