Gr´afok ´es algoritmusok

Gr´ afok ´ es algoritmusok

A maxvissza sorrend tov´abbi alkalmaz´asai

2020. m´arcius 24.

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunkt vnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I Az ´ora v´eg´en sz´o volt m´eg ak-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´ar´ol, de ezt most r´eszletesebben megn´ezz¨uk.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunkt vnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I Az ´ora v´eg´en sz´o volt m´eg ak-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´ar´ol, de ezt most r´eszletesebben megn´ezz¨uk.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunktvnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I Az ´ora v´eg´en sz´o volt m´eg ak-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´ar´ol, de ezt most r´eszletesebben megn´ezz¨uk.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunktvnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I Az ´ora v´eg´en sz´o volt m´eg ak-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´ar´ol, de ezt most r´eszletesebben megn´ezz¨uk.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

Hol is tartunk

I Defini´altuk a maxvissza sorrendet: mindig az a soron

k¨ovetkez˝o gr´afcs´ucs, amelyik a legjobban kapcsol´odik az eddig sorba rendezett cs´ucshalmazhoz.

I A maxvissza sorrend folytonos: a gr´af minden komponense egy olyan intervallum ebben a sorrendben, amelyre az intervallum minden cs´ucs´anak (az els˝o kiv´etel´evel) van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja.

I A maxvissza sorrend utols´o k´et tagj´ara λ(vn,vn−1) =d(vn) teljes¨ul a pk´ent ´eldiszjunktvnvn−1-utak maxim´alis sz´am´ara.

I Az ´ora v´eg´en sz´o volt m´eg ak-szoros ´el¨osszef¨ugg˝os´eg ritka tan´uj´ar´ol, de ezt most r´eszletesebben megn´ezz¨uk.

I Az itt k¨oz¨olt bizony´ıt´asok Frank Andr´as Kombinatorikus algoritmusok II. c jegyzet´en alapulnak.

(http://web.cs.elte.hu/ frank/jegyzet/kombal)

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok 2:32

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´ejek lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja a G cs´ucshalmaz´an. Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), F_k a G_k gr´af egy gy¨ok´erb˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkor v_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut: F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok 2:32

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´eje k lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja a G cs´ucshalmaz´an. Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), F_k a G_k gr´af egy gy¨ok´erb˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkor v_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut: F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok 2:32

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´eje k lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja aG cs´ucshalmaz´an.

Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), Fk a G_k gr´af egy gy¨ok´erb˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkor v_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut: F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok 2:32

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´eje k lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja aG cs´ucshalmaz´an.

Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), Fk a G_k gr´af egy gy¨ok´erb˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkorv_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut:

F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

A maxvissza sorrendhez tartoz´ o ´ elhalmazok 2:32

I Legyen v1,v2, . . . ,vn a G cs´ucsainak egy maxvissza sorrendje,

´

es ir´any´ıtsunk minden ´elt balr´ol jobbra, azaz a sorrendben kor´abbi cs´ucsb´ol a k´es˝obb k¨ovetkez˝obe.

I Felc´ımk´ezz¨uk az ´eleket. Legyen v_iv_j aG egy ir´any´ıtott ´ele, azaz i <j. Ha v_i av_j beszomsz´edaik¨oz¨ul a sorrendben a k-dik, akkor avivj ´el c´ımk´eje k lesz.

I Legyen Fk ak c´ımk´et kap´o ´elek halmaza,Gk pedig a (k−1)-n´el nagyobb c´ımk´ej˝u ´elek gr´afja aG cs´ucshalmaz´an.

Mivel G_k minden cs´ucs´ab´ol vezet ak c´ımk´ej˝u ´eleken ´ut az adott komponens gy¨oker´ebe (sorrendben els˝o cs´ucs´aba), Fk a G_k gr´af egy gy¨ok´erb˝ol kifel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝o erdeje.

I Elc´ımk´´ ez´esi lemma: Ha vi ´esvj az Fk egy komponens´enek k´et cs´ucsa, akkorv_i ´esv_j k¨oz¨ott vezetk db ´eldiszjunkt ´ut:

F₁-ben az 1-es c´ımk´ej˝u ´eleken, F₂-ben a 2-es c´ımk´ej˝ueken, s´ıt.

I Innen azonnal ad´odik a Nagamochi-Ibaraki algoritmus kulcslemm´aja, de a ritka tan´u l´etez´es´et is igazolni tudjuk.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 7:43

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enektan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-´el¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza. MivelFi fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1). Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u v_iv_j ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝oF-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 7:43

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enektan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-´el¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza. MivelFi fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1). Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u v_iv_j ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝oF-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 7:43

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enektan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-´el¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelFi fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1). Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u v_iv_j ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝oF-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 7:43

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enektan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-´el¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelF_i fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1).

Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u v_iv_j ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝oF-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 7:43

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enektan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-´el¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelF_i fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1).

Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk. II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u vivj ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝o F-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 7:43

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enektan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-´el¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelF_i fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1).

Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk.

II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u vivj ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken. Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝o F-beli ´el.

Ritka tan´ u k -szoros ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 7:43

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

´el¨osszef¨ugg˝os´eg´enektan´uja, ha aG⁰ = (V,F) gr´afk-´el¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-´el¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, ´es legyenF =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza.

MivelF_i fesz´ıt˝o erd˝o, ez´ert|F_i| ≤n−1, teh´at|F| ≤k(n−1).

Azt kell igazolni, b´arhogy is v´agjuk kett´e aV cs´ucshalmazt, F legal´abbk olyan ´elt tartalmaz, ami a k´et r´esz k¨oz¨ott fut:

∀ ∅ 6=X (V eset´enX-b˝ol legal´abbk dbF-beli ´el l´ep ki.

I. esetMindenX-b˝ol kil´ep˝o ´elF-beli. G k-´el¨of, k´esz vagyunk.

II. esetX-b˝ol kil´ep egy k-n´al nagyobb c´ımk´ej˝u vivj ´el. L´attuk, hogy 1≤`≤k eset´en vezet ´ut vi-b˝ol ´esvj-be az` c´ımk´ej˝u ´eleken.

Ezek mindegyik´en vanX-b˝ol kil´ep˝o F-beli ´el.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´esv-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, hau,v 6∈U ´es a G−U−E⁰ gr´af nem tartalmazuv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´asm´erete |U|+|E⁰|.

T´etel: Legyenv1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh vi ´esvj azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(vi,vj)≥k. Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv. Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk.

Tek. egyvi-t ´esvj szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele.

X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele.

Tfhv1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkorF₁ vv₁-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´esv-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, hau,v 6∈U ´es a G−U−E⁰ gr´af nem tartalmazuv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´asm´erete |U|+|E⁰|.

Megf: Menger t´etele miatt azu ´esv k¨oz¨ott fut´o bels˝oleg pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

T´etel: Legyenv1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh vi ´esvj azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(vi,vj)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv. Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk.

Tek. egyvi-t ´esvj szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele.

X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele.

Tfhv1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkorF₁ vv₁-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

Def: G = (V,E),u,v ∈V,U ⊂V,E⁰ ⊆E eset´en (U,E⁰) egy u-t ´esv-t szepar´al´o vegyes v´ag´as, hau,v 6∈U ´es a G−U−E⁰ gr´af nem tartalmazuv-utat. Az (U,E⁰) vegyes v´ag´asm´erete |U|+|E⁰|.

Megf: Menger t´etele miatt azu ´esv k¨oz¨ott fut´o bels˝oleg pontdiszjunkt utak maxim´alis κ(u,v) sz´ama megegyezik az u-t ´es v-t szepar´al´o vegyes v´ag´as minim´alis m´eret´evel.

T´etel: Legyen v1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh v_i ´esv_j azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(v_i,v_j)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv. Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk.

Tek. egyvi-t ´esvj szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele.

X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele.

Tfhv1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkorF₁ vv₁-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

T´etel: Legyen v1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh v_i ´esv_j azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(v_i,v_j)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv. Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk. Tek. egyv_i-t ´esv_j szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele.

X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele.

Tfhv1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkorF1 vv1-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

T´etel: Legyen v1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh v_i ´esv_j azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(v_i,v_j)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv.

Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk.

Tek. egyv_i-t ´esv_j szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F₁ 6=∅, azaz F₁-nek van pz ´ele.

X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele.

Tfhv1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkorF1 vv1-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

T´etel: Legyen v1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh v_i ´esv_j azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(v_i,v_j)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv.

Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk. Tek. egy v_i-t ´esv_j szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele.

Tfhv1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkorF1 vv1-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

T´etel: Legyen v1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh v_i ´esv_j azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(v_i,v_j)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv.

Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk. Tek. egy v_i-t ´esv_j szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. Ekkor (U,E⁰\F1) a G2 egyv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa, ez´ert

|U|+|E⁰| ≥ |U|+|E⁰\F₁|+ 1≥k−1 + 1 =k, szuper.

X

II. esetE⁰∩F₁ =∅, azaz F₁-nek nincs pz ´ele.

Tfhv1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F₁, akkorF₁ vv₁-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

T´etel: Legyen v1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh v_i ´esv_j azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(v_i,v_j)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv.

Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk. Tek. egy v_i-t ´esv_j szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azaz F1-nek nincs pz ´ele. Tfh v1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkorF1 vv1-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

T´etel: Legyen v1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh v_i ´esv_j azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(v_i,v_j)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv.

Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk. Tek. egy v_i-t ´esv_j szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele.

Tfhv1 nem z¨old. Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkorF1 vv1-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F₁. Ekkor (U−u,E⁰) aG₂ egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Az ´ elc´ımk´ ez´ esi lemma er˝ os v´ altozata 14:05

T´etel: Legyen v1,v2, . . . ,vn aG egy maxvissza sorrendje, ´es tfh v_i ´esv_j azF_k ugyanazon komponens´ebe esnek. Ekkorκ(v_i,v_j)≥k.

Biz^∗: Csak av_i-t tartalmaz´o komponens ´erdekes, ´ıgy feltehet˝o, hogyG ¨of. k szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A k = 1 eset triv.

Tfh (k−1)-ig m´ar tudjuk. Tek. egy v_i-t ´esv_j szepar´al´o (U,E⁰) vegyes v´ag´ast. Ez tkp a cs´ucsok p-f-z sz´ınekkel t¨ort´en˝o kisz´ınez´ese, aholvi piros, vj z¨old, U cs´ucsai feh´erek, ´esE⁰ pedig a p es z cs´ucsokat ¨osszek¨ot˝o ´elek halmaza. Az indukci´o miatt aG2 gr´af mindenv_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´asa legal´abbk−1 m´eret˝u.

I. esetE⁰∩F1 6=∅, azaz F1-nek van pz ´ele. X

II. esetE⁰∩F1 =∅, azazF1-nek nincs pz ´ele. Tfh v1 nem z¨old.

Legyenu a maxvissza sorrend els˝oU-beli (feh´er) cs´ucsa, v pedig az u egyu ut´ani z¨old szomsz´edja. Hauv 6∈F1, akkorF1 vv1-´utja nem z¨old cs´ucsban v´egz˝odik ´es nincs pz ´ele. Teh´at van rajta egy feh´er u⁰ cs´ucs, amiu-t megel˝ozi a maxvissza sorrendben. Ez lehetetlen, teh´atuv ∈F1. Ekkor (U−u,E⁰) aG2 egy vegyes v´ag´asa, ´ıgy

|U|+|E⁰|=|U−u|+|E⁰|+ 1≥k−1 + 1 =k, gy˝ozelem.

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 30:17

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰= (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, legyen F =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza ´es G⁰ = (V,F). Azt kell megmutatni, hogy G tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´as´ara |U|+|E⁰∩F| ≥k .

I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetv_iv_j ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja v_i-t ´esv_j-t,

´es av_iv_j ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. Ezek szerint v_i ´esv_j F_k-nak is ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben minden v_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a.

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 30:17

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰= (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, legyen F =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza ´es G⁰ = (V,F). Azt kell megmutatni, hogy G tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´as´ara |U|+|E⁰∩F| ≥k .

I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetv_iv_j ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja v_i-t ´esv_j-t,

´es av_iv_j ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. Ezek szerint v_i ´esv_j F_k-nak is ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben minden v_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a.

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 30:17

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰= (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, legyen F =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza ´es G⁰ = (V,F). Azt kell megmutatni, hogy G tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´as´ara |U|+|E⁰∩F| ≥k .

I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetv_iv_j ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja v_i-t ´esv_j-t,

´es av_iv_j ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. Ezek szerint v_i ´esv_j F_k-nak is ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben minden v_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a.

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 30:17

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰= (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, legyen F =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza ´es G⁰ = (V,F). Azt kell megmutatni, hogy G tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´as´ara |U|+|E⁰∩F| ≥k .

I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetv_iv_j ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja v_i-t ´esv_j-t,

´es avivj ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. Ezek szerint vi ´esvj Fk-nak is ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben minden v_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a.

Ritka tan´ u k -szoros pont¨ osszef¨ ugg˝ os´ egre 30:17

Def: Az F ⊆E ´elhalmaz aG = (V,E) gr´af k-szoros

¨

osszef¨ugg˝os´eg´enek tan´uja, ha aG⁰= (V,F) gr´afk-¨osszef¨ugg˝o.

´Ertelmes c´el egy min´el kevesebb ´elb˝ol ´all´o tan´u keres´ese.

T´etel: Ha G k-¨osszef¨ugg˝o, akkor van G-nek egy legfeljebb k·(n−1) ´elb˝ol ´all´o tan´uja, aholn=|V(G)|.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n aG egy maxvissza sorrendje, legyen F =F1∪F2∪. . .∪Fk a legfeljebb k c´ımk´ej˝u ´elek halmaza ´es G⁰ = (V,F). Azt kell megmutatni, hogy G tetsz. (U,E⁰) vegyes v´ag´as´ara |U|+|E⁰∩F| ≥k .

I. esetE⁰ ⊆F. Ekkor |U|+|E⁰∩F|=|U|+|E⁰| ≥k a G k-szoros ¨osszef¨ugg˝os´ege folyt´an.

II. esetv_iv_j ∈E⁰\F. Ekkor a vegyes v´ag´as szepar´alja v_i-t ´esv_j-t,

´es avivj ´el c´ımk´eje legal´abbk+ 1. Ezek szerint vi ´esvj Fk-nak is ugyanabba a komponens´ebe esnek. Az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt teh´atG⁰-ben minden v_i-t ´esv_j-t szepar´al´o vegyes v´ag´as legal´abbk m´eret˝u, hurr´a.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

AG = (U∪V,E) gr´afsplitgr´af, ha U f¨uggetlen, V klikkG-ben.

AG = (V,E) gr´afintervallumgr´af, haV elemei intervallumok, ´elei pedig pontosan a metsz˝o intervallumok k¨oz¨ott futnak.

G egy v cs´ucsaszimplici´alis, ha v szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a vi,vi+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re. T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κ_G⁰(v_n,v_i) =d_G⁰(v_n) =k, azazG⁰-ben vezetv_n ´esv_i k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

AG = (U∪V,E) gr´afsplitgr´af, ha U f¨uggetlen, V klikkG-ben.

AG = (V,E) gr´afintervallumgr´af, haV elemei intervallumok, ´elei pedig pontosan a metsz˝o intervallumok k¨oz¨ott futnak.

Megf: (1) Minden splitgr´af ´es intervallumgr´af merevk¨or˝u.

(2) Merevk¨or˝u gr´afb´ol cs´ucsot t¨or¨olve vagy abban ´elt ¨osszeh´uzva merevk¨or˝u gr´afot kapunk. (Merevk¨or˝u gr´af minorjai merevk¨or˝uek.)

G egy v cs´ucsaszimplici´alis, ha v szomsz´edai klikket alkotnak. v₁,v₂, . . . ,v_n aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha v_i szimplici´alis cs´ucsa a vi,vi+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenv_i-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v₁,v₂, . . . ,v_i,v_n egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κ_G⁰(v_n,v_i) =d_G⁰(v_n) =k, azazG⁰-ben vezetv_n ´esv_i k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak. v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

Megf: HaG-nek van szimplici´alis sorrendje, akkorG merevk¨or˝u.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re vivn∈E(G). Megmutatjuk, hogy vi szomsz´edos vn

mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κ_G⁰(vn,vi) =d_G⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyvi

csakugyan szomsz´edos v_n mindenv_i-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

Megf: HaG-nek van szimplici´alis sorrendje, akkorG merevk¨or˝u.

Biz: Legyen C a G egy legal´abb 4 ´elb˝ol ´all´o k¨ore,v pedig aC els˝o cs´ucsa a szimplici´alis sorrendben. A sorrend szimplicialit´asa miattv-nek a C k¨or¨on fekv˝o szomsz´edai ¨ossze vannak k¨otve egym´assal. Teh´atC-nek van h´urja,G csakugyan merevk¨or˝u.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re vivn∈E(G). Megmutatjuk, hogy vi szomsz´edos vn

mindenv_i-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v₁,v₂, . . . ,v_i,v_n egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κ_G⁰(v_n,v_i) =d_G⁰(v_n) =k, azazG⁰-ben vezetv_n ´esv_i k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be avivn

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos v_n mindenv_i-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . . a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogyv_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.