Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

AG = (U∪V,E) gr´afsplitgr´af, ha U f¨uggetlen, V klikkG-ben.

AG = (V,E) gr´afintervallumgr´af, haV elemei intervallumok, ´elei pedig pontosan a metsz˝o intervallumok k¨oz¨ott futnak.

G egy v cs´ucsaszimplici´alis, ha v szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a vi,vi+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re. T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κ_G⁰(v_n,v_i) =d_G⁰(v_n) =k, azazG⁰-ben vezetv_n ´esv_i k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

AG = (U∪V,E) gr´afsplitgr´af, ha U f¨uggetlen, V klikkG-ben.

AG = (V,E) gr´afintervallumgr´af, haV elemei intervallumok, ´elei pedig pontosan a metsz˝o intervallumok k¨oz¨ott futnak.

Megf: (1) Minden splitgr´af ´es intervallumgr´af merevk¨or˝u.

(2) Merevk¨or˝u gr´afb´ol cs´ucsot t¨or¨olve vagy abban ´elt ¨osszeh´uzva merevk¨or˝u gr´afot kapunk. (Merevk¨or˝u gr´af minorjai merevk¨or˝uek.)

G egy v cs´ucsaszimplici´alis, ha v szomsz´edai klikket alkotnak. v₁,v₂, . . . ,v_n aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha v_i szimplici´alis cs´ucsa a vi,vi+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenv_i-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v₁,v₂, . . . ,v_i,v_n egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κ_G⁰(v_n,v_i) =d_G⁰(v_n) =k, azazG⁰-ben vezetv_n ´esv_i k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak. v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

Megf: HaG-nek van szimplici´alis sorrendje, akkorG merevk¨or˝u.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v₁,v₂, . . . ,v_n, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re vivn∈E(G). Megmutatjuk, hogy vi szomsz´edos vn

mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κ_G⁰(vn,vi) =d_G⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyvi

csakugyan szomsz´edos v_n mindenv_i-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

Megf: HaG-nek van szimplici´alis sorrendje, akkorG merevk¨or˝u.

Biz: Legyen C a G egy legal´abb 4 ´elb˝ol ´all´o k¨ore,v pedig aC els˝o cs´ucsa a szimplici´alis sorrendben. A sorrend szimplicialit´asa miattv-nek a C k¨or¨on fekv˝o szomsz´edai ¨ossze vannak k¨otve egym´assal. Teh´atC-nek van h´urja,G csakugyan merevk¨or˝u.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re vivn∈E(G). Megmutatjuk, hogy vi szomsz´edos vn

mindenv_i-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v₁,v₂, . . . ,v_i,v_n egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κ_G⁰(v_n,v_i) =d_G⁰(v_n) =k, azazG⁰-ben vezetv_n ´esv_i k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be avivn

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos v_n mindenv_i-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . .a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogy v_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . . a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogyv_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyv_i csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

Merevk¨ or˝ u gr´ afok 35:10

Def: AG = (V,E) gr´afmerevk¨or˝u (chordal), ha nem fesz´ıt 3-n´al hosszabb k¨ort, azaz minden ilyen k¨or´enek van h´urja.

G egyv cs´ucsaszimplici´alis, hav szomsz´edai klikket alkotnak.

v1,v2, . . . ,vn aG gr´af cs´ucsainak szimplici´alis sorrendje, ha vi

szimplici´alis cs´ucsa a v_i,v_i+1, . . . ,vn ´altal fesz´ıtett gr´afnak ∀i-re.

T´etel: Ha G merevk¨or˝u, akkorG tetsz˝oleges maxvissza sorrendj´enek megford´ıt´asa a G egy szimplici´alis sorrendje.

Biz: Legyen v1,v2, . . . ,vn, . . . a G egy maxvissza sorrendje, legyeni <n-re v_iv_n∈E(G). Megmutatjuk, hogyv_i szomsz´edos v_n mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval. Ekkor v1,v2, . . . ,vi,vn egy maxvissza sorrendje az ezen cs´ucsok ´altal fesz´ıtett G⁰ merevk¨or˝u gr´afnak. Ez´ert az ´elc´ımk´ez´esi lemma er˝os v´altozata miatt κG⁰(vn,vi) =dG⁰(vn) =k, azazG⁰-ben vezetvn ´esvi k¨oz¨ott k bels˝oleg pontdiszjunk ´ut. H´urmenti r¨ovid´ıt´esekkel ezek az utak h´urmentesnek v´alaszthat´ok. Mivel minden ´ut k¨ort z´ar be av_iv_n

´ellel ´esG⁰ merevk¨or˝u, ez´ert minden ilyen ´ut k´et ´elb˝ol ´all. ´Igyvi

csakugyan szomsz´edos vn mindenvi-t megel˝oz˝o szomsz´edj´aval.

In document Gr´afok ´es algoritmusok (Pldal 34-44)